Groupe (mathématiques)/Groupes symétriques finis/Groupe alterné

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Soit E un ensemble fini. Les permutations paires de E constituent le noyau de l'homomorphisme de dans {1, − 1} et forment donc un sous-groupe normal de .

Groupe alterné d'un ensemble fini

Soit E un ensemble fini. On appelle groupe alterné de E et on note ou le sous-groupe de formé par les permutations paires. Si E est l'ensemble , on écrit ou plutôt que ou .

Si E et F sont deux ensembles finis équipotents, les groupes et sont isomorphes. En effet, soit f une bijection de E sur F. Nous avons vu que l'isomorphisme

de S_E sur S_F applique les transpositions sur les transpositions, donc il induit un isomorphisme de A_E sur A_F.

Si n est un nombre naturel , il existe au moins une transposition dans S_n, donc l'homomorphisme est surjectif, donc son noyau est d'indice 2 dans le groupe de départ, donc

Ordre du groupe alterné

Si , est d'indice 2 dans et est donc d'ordre .

Remarques. 1) Si n est un nombre naturel 2, le seul homomorphisme non trivial du groupe S_n dans le groupe {1, -1} est l'homomorphisme signature ε. En effet, soit f un tel homomorphisme. Puisque f n'est pas trivial et que les transpositions engendrent S_n, il existe au moins une transposition dont la valeur par f est -1. Comme les transpositions sont toutes conjuguées les unes des autres (voir l'effet de la conjugaison sur la décomposition en cycles), f les applique toutes sur -1. (En effet, on vérifie facilement qu'un homomorphisme d'un groupe G dans un groupe commutatif applique toujours deux éléments conjugués sur la même valeur.) Ainsi, f possède une propriété dont nous avons vu qu'elle caractérise ε.

2) Il résulte de la précédente remarque que si n 2, A_n est le seul sous-groupe d'indice 2 dans S_n. En effet, soit H un sous-groupe d'indice 2 de S_n. D'après un exercice, nous savons que H est distingué dans S_n. Le groupe quotient S_n / H est d'ordre 2, donc il existe un (et un seul) isomorphisme σ de S_n / H sur {1, -1}. Si désigne l'homomorphisme canonique de S_n sur S_n / H, H est le noyau de et donc aussi de . Mais est un homomorphisme non trivial de S_n dans {1, -1}, donc, d'après la précédente remarque, c'est l'homomorphisme signature ε. Ainsi, H est le noyau de ε, donc est égal à A_n. Nous avons donc bien prouvé que si n 2, A_n est le seul sous-groupe d'indice 2 dans S_n. Il en résulte que A_n est un sous-groupe caractéristique dans S_n (même, évidemment, si n < 2).

Proposition

est le sous-groupe de engendré par les cycles de longueur 3.

Prouvons d'abord que le sous-groupe de engendré par les cycles de longueur 3 est contenu dans . Il suffit évidemment de prouver que tout cycle de longueur 3 dans appartient à . Un tel cycle est de la forme (a b c), où a, b, et c sont trois éléments distints de {1, 2, ..., n}. Alors (a b c) = (a b)(b c), donc (a b c) est le produit de deux transpositions, donc est une permutation paire, donc appartient à . Réciproquement, prouvons que si C₃ désigne le sous-groupe de engendré par les cycles de longueur 3, est contenu dans C₃. Soit s un élément de ; il s'agit de prouver que s appartient à C₃. Puisque s est une permutation paire, on peut l'écrire comme un produit de permutations toutes de la forme t₁t₂, où t₁ et t₂ sont des transpositions. Il suffit donc de prouver que le produit de deux transpositions t₁ et t₂ appartient toujours à C₃. Si les supports de t₁ et de t₂ sont égaux, t₁ et t₂ sont égales, donc leur produit est le permutation identique et appartient bien à C₃. Si les supports de t₁ et de t₂ ont un et un seul élément commun, elles sont de la forme (a b) et (b c), a, b et c étant trois éléments distincts; alors (a b)(b c) = (a b c) comme déjà noté, donc t₁t₂ est un cycle de longueur 3 et appartient bien à C₃. Enfin, si les supports de t₁ et de t₂ sont disjoints, nous avons t₁ = (a b) et t₂ = (c d), où a, b, c, d sont quatre éléments distincts. Alors t₁t₂ = (a b)(c d) = (a b c)(b c d), donc t₁t₂ est le produit de deux cycles de longueur 3 et appartient bien à C₃, ce qui achève la démonstration.