Groupe (mathématiques)/Groupes nilpotents

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**Groupes nilpotents**
Leçon : Groupe

Chapitre 17
Chap. préc. :	Groupes résolubles
Chap. suiv. :	Groupes diédraux

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Groupe (mathématiques)/Groupes nilpotents », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Lemme 1

Soient G un groupe, H un sous-groupe de G, K un sous-groupe distingué de G. Pour que l'image canonique de H dans G/K soit contenue dans le centre de G/K, il faut et il suffit que (G, H) soit contenu dans K.

Démonstration. Dire que l'image canonique de H dans G/K est contenue dans le centre de G/K signifie que pour tout élément h de H, l'élément hK de G/K commute avec tout élément de G/K. Cela revient à dire que pour tout élément h de H et tout élément g de G, les éléments hK et gK de G/K commutent. Cela revient à dire que pour tout élément h de H et tout élément g de G, le commutateur (gK)^-1 (hK)^-1 (gK) (hK) d'éléments de G/K est égal à l'élément neutre de G/K. Cela revient à dire que pour tout élément h de H et tout élément g de G, le commutateur g^-1h^-1gh d'éléments de G appartient à K. Cela revient évidemment à dire que (G, H) est contenu dans K.

Définition

Soit G un groupe. On appelle suite centrale descendante de G la suite (Cⁿ(G))_n)_{n ≥ 1} de sous-groupes de G définie par récurrence par

C 1 (G) = G

C n + 1 (G) = (G, C n (G))

pour tout n ≥ 1, Cⁿ⁺¹(G)

Proposition

La suite centrale descendante d'un groupe est décroissante (pour la relation d'inclusion).

Démonstration. Il s'agit de prouver que, pour tout n ≥ 1, Cⁿ⁺¹(G) ⊆ Cⁿ(G). C'est évident si n = 1. Supposons que ce soit vrai pour un nombre naturel n et prouvons que c'est vrai pour n + 1. Par hypothèse de récurrence, Cⁿ⁺¹(G) ⊆ Cⁿ(G). Nous avons vu au chapitre Commutateurs, groupes dérivés que si A, A', B et B' sont des sous-groupes de G tels que A ⊆ A' et B ⊆ B', alors (A, B) ⊆ (A', B'). En faisant A = A' = G, B = Cⁿ⁺¹(G) et B' = Cⁿ(G), nous trouvons (G, Cⁿ⁺¹(G)) ⊆ (G, Cⁿ(G)), autrement dit Cⁿ⁺²(G) ⊆ Cⁿ⁺¹(G), d'où la démonstration par récurrence sur n.

Théorème

Soit $f : G_{1} \mapsto G_{2}$ un homomorphisme de groupes. Pour tout nombre naturel n ≥ 1,

$f(C^{n}(G_{1})) \subseteq C^{n}(G_{2})$

et on a l'égalité si f est surjectif.

Démonstration. C'est banal si n = 1. Supposons que ce soit vrai pour un nombre naturel n et prouvons que cela reste vrai si on remplace n par n + 1. Nous avons vu dans le chapitre Commutateurs, groupe dérivé que si A et B sont des sous-groupes de $G 1$ , alors l'image de (A, B) par f est (f(A), f(B)). En faisant $\ A =G_{1},\ B = C^{n}(G_{1})$ , nous trouvons

$\ (1) \quad f(C^{n+1}(G_{1})) = (f(G_{1}), f(C^{n}(G_{1}))).$

Par hypothèse de récurrence, nous avons $\ f(C^{n}(G_{1})) \subseteq C^{n}(G_{2})$ et l'égalité est vraie si f est surjectif. En appliquant la règle A ⊆ A' ⇒ (f(G₁), A) ⊆ ((G₂, A') aux sous-groupes A = f(Cⁿ(G₁)) et A' = Cⁿ(G₂), nous trouvons que

$\ (f(G_{1}), f(C^{n}(G_{1}))) \subseteq (G_{2}, C^{n}(G_{2})$

et que l'égalité est vraie si f est surjectif. Cela revient à dire que l'image par f de (G₁, Cⁿ(G₁)), autrement dit de Cⁿ⁺¹(G₁), est contenue dans Cⁿ⁺¹(G₂) et qu'on a l'égalité si f est surjectif. Ceci démontre l'énoncé par récurrence sur n.

En particulier, si H est un sous-groupe d'un groupe G, Cⁿ(H) est contenu dans Cⁿ(G) pour tout n. (Dans le précédent théorème, faire G₁ = H, G₂ = G et prendre pour f l'homomorphisme inclusion $x \mapsto x$ de H dans G.)

Proposition

Soit G un groupe. Les groupes $C n (G)$ sont des sous-groupes caractéristiques (et donc distingués) de G.

Démonstration. Dans le théorème précédent, faisons G₁ = G₂ = G. Nous trouvons que $\ C^{n}(G)$ est stable par tout endomorphisme de G, donc est caractéristique dans G.

Remarque. Du fait que $\ C^{n}(G)$ est distingué dans G, on tire facilement que (G, Cⁿ(G)) est contenu dans Cⁿ(G), autrement dit que Cⁿ⁺¹(G) est contenu dans Cⁿ(G). C'est une autre façon de prouver que la suite centrale descendante est décroissante.

Proposition

Soit G un groupe. Pour tout n ≥ 1, Cⁿ(G)/Cⁿ⁺¹(G) est contenu dans le centre de G/Cⁿ⁺¹(G).

Démonstration. Dans le lemme 1, faire H = Cⁿ(G) et K = Cⁿ⁺¹(G).

Lemme 2

Soient G un groupe et $\ (G_{n})$ une suite décroissante de sous-groupes de G possédant les propriétés suivantes : $G 1 = G$ et, pour tout n, (G, G_n) ⊆ G_n+1 Alors, pour tout n, G_n est distingué dans G et Cⁿ(G) ⊆ G_n pour tout n.

Démonstration. Prouvons que Cⁿ(G) ⊆ G_n. C'est banal si n = 1. Supposons que ce soit vrai pour un nombre naturel n et prouvons que cela reste vrai si on remplace n par n + 1. Par hypothèse de récurrence,

$(1) \qquad C^{n}(G) \subseteq G_{n}$ ,

d'où

$(G, C^{n}(G)) \subseteq (G, G_{n}),$

c'est-à-dire

$(2) \qquad C^{n+1}(G)) \subseteq (G, G_{n}).$

Par hypothèse de l'énoncé, (G, G_n) est contenu dans G_n+1. Le second membre de (2) est donc contenu dans G_n+1, d'où Cⁿ⁺¹(G) ⊆ G_n+1, ce qui prouve la relation Cⁿ(G) ⊆ G_n par récurrence sur n.
Prouvons maintenant que, pour tout n, G_n est distingué dans G. Puisque la suite des G_n est décroissante, l'hypothèse (G, G_n) ⊆ G_n+1 entraîne (G, G_n) ⊆ G_n, ce qui équivaut (chapitre Commutateurs, groupe dérivé) à dire que G_n est distingué dans G.

Définition

Un groupe G est dit nilpotent s'il existe un nombre naturel n ≥ 0 tel que Cⁿ⁺¹(G) = 1. Dans ce cas, le plus petit nombre naturel n (≥ 0) tel que Cⁿ⁺¹(G) = 1 est appelé la classe de nilpotence de G. On dit aussi que G est nilpotent de classe n.

Remarques.
1) Si G est un groupe nilpotent de classe n, la suite finie $\ G = C^{1}(G), C^{2}(G), \ldots , C^{n+1}(G) = 1$ est évidemment strictement décroissante. (Si on avait $\ C^{i}(G) = C^{i+1}(G)$ pour un certain $i \leq n$ , n - i applications successives de $\ H \mapsto (G, H)$ aux deux membres donneraient Cⁿ(G) = Cⁿ⁺¹(G), d'où Cⁿ(G) = 1, ce qui contredit la minimalité de n.)
2) Un groupe est nilpotent de classe 0 si et seulement s'il est réduit à l'élément neutre.
3) Un groupe est nilpotent de classe 1 si et seulement s'il est commutatif et non réduit à l'élément neutre. Tout groupe commutatif est nilpotent.
4) Un groupe nilpotent non réduit à l'élément neutre a un centre non réduit à l'élément neutre. En effet, soit G un groupe nilpotent non réduit à l'élément neutre, soit n sa classe de nilpotence. Puisque G n'est pas réduit à l'élément neutre, n > 0, donc nous pouvons parler de Cⁿ(G). D'après la remarque 1), Cⁿ(G) > Cⁿ⁺¹(G), donc Cⁿ(G) n'est pas réduit à l'élément neutre. D'autre part, d'après une proposition ci-dessus, Cⁿ(G)/Cⁿ⁺¹(G), c'est-à-dire Cⁿ(G)/{1}, est contenu dans le centre de G/Cⁿ⁺¹(G) = G/{1}, ce qui revient à dire que Cⁿ(G) est contenu dans le centre de G. Nous avons donc montré que Cⁿ(G) n'est pas réduit à l'élément neutre et est contenu dans le centre de G, donc le centre de G n'est pas réduit à l'élément neutre.
5) Tout groupe nilpotent de classe n est résoluble de classe ≤ n. En effet, on montre facilement par récurrence sur n que Dⁿ(G) ⊆ Cⁿ⁺¹(G) pour tout n ≥ 0. (En fait, on peut même prouver^[1] que tout groupe nilpotent de classe ≤ 2ⁿ - 1 est résoluble de classe ≤ n.) 6) Un groupe résoluble n'est pas forcément nilpotent. Par exemple, nous avons vu que S₃ est résoluble, mais nous avons vu aussi que son centre est réduit à l'élément neutre, donc il résulte de la remarque 5) ci-dessus qu'il n'est pas nilpotent. 7) Soit f un homomorphisme d'un groupe G₁ dans un groupe G₂. Nous avons vu que pour tout n, f(Cⁿ(G₁)) est contenu dans Cⁿ(f(G₁)). Il en résulte que si G est un groupe nilpotent de classe n, f(G) est nilpotent de classe ≤ n. En particulier, si H est un sous-groupe distingué de G, si G est nilpotent de classe n, alors G/H est nilpotent de classe ≤ n. (Considérer l'homomorphisme canonique de G sur G/H.)
8) En appliquant la remarque 7) à un isomorphisme f et à l'isomorphisme réciproque, on voit que si G est un groupe nilpotent de classe n, tout groupe isomorphe à G est nilpotent de classe n.
9) Nous avons vu que si H est un sous-groupe d'un groupe G, Cⁿ(H) est contenu dans Cⁿ(G) pour tout n. Donc si G est un groupe nilpotent de classe n, tout sous-groupe de G est nilpotent de classe ≤ n. 10) Le théorème d'après lequel, si G est un groupe et H un sous-groupe distingué de G, si H et G/H sont résolubles, alors G est résoluble, ne s'étend pas aux groupes nilpotents, en ce sens qu'un groupe G peut avoir un sous-groupe distingué H nilpotent tel que G/H soit nilpotent sans que G soit nilpotent. Par exemple, si G = S₃, si H = A₃, alors H et G/H sont respectivement d'ordre 3 et 2, donc sont commutatifs, donc sont nilpotents, mais nous avons vu que G = S₃ n'est pas nilpotent. 11) Le produit direct d'un groupe nilpotent de classe p et d'un groupe nilpotent de classe q est nilpotent de classe r, où r désigne le plus grand des deux nombres p et q. (Voir exercices.)

Théorème

Un groupe G est nilpotent si et seulement si G/Z(G) est nilpotent. Si G/Z(G) est nilpotent de classe n et que G n'est pas réduit à l'élément neutre (auquel cas, d'après une remarque précédente, Z(G) n'est pas réduit à l'élément neutre), G est nilpotent de classe n + 1.

Démonstration. Si G est nilpotent, G/Z(G) est nilpotent d'après une des remarques ci-dessus. Réciproquement, supposons G/Z(G) nilpotent et prouvons que G est nilpotent. Nous pouvons évidemment supposer que G n'est pas réduit à l'élément neutre. Dans ce cas, prouvons, plus précisément, que si G/Z(G) est nilpotent de classe n, G est nilpotent de classe n + 1.
Nous avons Cⁿ⁺¹(G/Z(G)) = 1 et Cⁿ(G/Z(G)) > 1. Si nous désignons par φ l'homomorphisme canonique de G sur G/Z(G), cela s'écrit Cⁿ⁺¹(φ(G)) = 1 et Cⁿ(φ(G)) > 1. D'après une des remarques ci-dessus, cela peut s'écrire φ(Cⁿ⁺¹(G)) = 1 et φ(Cⁿ(G)) > 1, autrement dit Cⁿ⁺¹(G) ⊆ Z(G) et Cⁿ(G) ⊈ Z(G). De la première de ces relations résulte (G, Cⁿ⁺¹(G)) = 1 et de la seconde (G, Cⁿ(G)) ⊋ 1. Autrement dit, Cⁿ⁺²(G) = 1 et Cⁿ⁺¹(G) ⊋ 1, donc G est nilpotent de classe n + 1, ce qui achève la démonstration.

Le théorème qui précède est donné (en exercice) par Rotman^[2]. Bourbaki^[3] donne ce théorème voisin :

Proposition

Soient G un groupe et n un nombre naturel ≥ 1. Les deux conditions suivantes sont équivalentes :
a) G est nilpotent de classe ≤ n;
b) il existe un sous-groupe H de G, contenu dans le centre de G (et donc distingué dans G), tel que G/H soit nilpotent de classe ≤ n – 1.

Démonstration. Supposons la condition a) satisfaite et prouvons que b) l'est. C'est banal si G est réduit à l'élément neutre. Dans le cas contraire, il résulte du théorème précédent que Z(G) est nilpotent de classe ≤ n – 1, donc b) est vraie avec H = Z(G). (Remarque : on pourrait aussi prendre H = Cⁿ(G). Voir exercices.)
Réciproquement, supposons b) et prouvons a). D'après une remarque précédente, il résulte de b) que le quotient (G/H)/(Z(G)/H) est nilpotent de classe ≤ n – 1. D'après le troisième théorème d'isomorphisme (chapitre Sous-groupe distingué et groupe quotient), (G/H)/(Z(G)/H) est isomorphe à G/Z(G), donc G/Z(G) est nilpotent de classe ≤ n – 1, donc, d'après le théorème précédent, G est nilpotent de classe ≤ n. (Autre justification : du fait que G/H est nilpotent de classe ≤ n – 1 résulte Cⁿ(G/H) = 1, ou encore, si φ désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/H, Cⁿ(φ(G)) = 1, ce qui, d'après une remarque ci-dessus, peut s'écrire φ(Cⁿ(G)) = 1, autrement dit Cⁿ(G) ⊆ H, d'où, puisque H est contenu dans le centre de G, (G, Cⁿ(G)) = 1, c'est-à-dire Cⁿ⁺¹(G)) = 1, donc G est nilpotent de classe ≤ n.)

Théorème

Soient G un groupe et n un nombre naturel. Les deux conditions suivantes sont équivalentes :
1) G est nilpotent de classe ≤ n;
2) il existe une suite G = G₁ ⊇ ... ⊇ G_n+1 = 1 de sous-groupes de G telle que, pour tout i ≤ n, (G, G_i) soit contenu dans G_i+1.

Démonstration. Si 1) est vraie, 2) l'est avec G_i = Cⁱ(G). Réciproquement, supposons 2) vraie et prouvons 1). D'après le lemme 2, Cⁱ(G) ⊆ G_i pour tout i. C'est vrai en particulier pour i = n + 1, donc Cⁿ⁺¹(G) ⊆ G_n+1. Par l'hypothèse 2), le second membre est réduit à l'élément neutre, donc Cⁿ⁺¹(G) = 1, donc 1) est vraie.

Proposition

Soient G un groupe nilpotent de classe ≤ n et H un sous-groupe de G. Il existe une suite de sous-groupes

G = H₁ ⊇ H₂ ⊇ ... ⊇ H_n+1 = H,

telle que pour tout i (1 ≤ i ≤ n), H_i+1 soit distingué dans H_i et H_i/H_i+1 commutatif.

Démonstration. Pour tout i (1 ≤ i ≤ n+1), Cⁱ(G) est un sous-groupe distingué de G, donc HCⁱ(G) est un sous-groupe de G. Posons H_i = HCⁱ(G) et prouvons que les H_i sont comme dans l'énoncé. Il est clair que la suite des H_i est décroissante et que H_n+1 = H.
Prouvons que pour tout i (1 ≤ i ≤ n), H_i+1 est distingué dans H_i. Il s'agit de prouver que H_i+1 est normalisé par H_i = HCⁱ(G). Comme il contient H, il est normalisé par H, donc il suffit de prouver que H_i+1 est normalisé par Cⁱ(G). Soient h un élément de H_i+1 et g un élément de Cⁱ(G); il s'agit de prouver que ghg^-1 appartient à H_i+1. Nous avons ghg^-1 = ghg^-1h^-1.h ∈ (G, Cⁱ(G)) H_i+1 = Cⁱ⁺¹(G) H_i+1 = H_i+1, d'où ghg^-1 ∈ H_i+1, comme annoncé. Nous avons donc prouvé que pour tout i (1 ≤ i ≤ n), H_i+1 est distingué dans H_i.
Prouvons maintenant que le quotient H_i/H_i+1 est commutatif. En faisant suivre l'homomorphisme inclusion Cⁱ(G) → H_i de l'homomorphisme canonique H_i → H_i/H_i+1, nous obtenons un homomorphisme f : Cⁱ(G) → H_i/H_i+1, qui, puisque H_i = HCⁱ(G), est clairement surjectif. (Tout élément de H_i = HCⁱ(G) est congru à un élément de Cⁱ(G) modulo H, et a fortiori modulo H_i+1.) Puisque Cⁱ⁺¹(G) est contenu dans H_i+1, il est contenu dans le noyau de f, donc f induit un homomorphisme surjectif Cⁱ(G)/Cⁱ⁺¹(G) → H_i/H_i+1 (voir chapitre Sous-groupe distingué et groupe quotient, remarque finale sur le premier théorème d'isomorphisme). Comme Cⁱ(G)/Cⁱ⁺¹(G) est commutatif (puisqu'il est contenu dans le centre de G/Cⁱ⁺¹(G)), H_i/H_i+1 l'est donc aussi.
Remarque. Pour prouver que H_i/H_i+1 est commutatif, on pourrait également noter que H_i = HG_i = H (G_i+1G_i) = (H G_i+1) G_i = H_i+1 G_i, donc H_i/H_i+1 = H_i+1 G_i/H_i+1, donc, d'après le second théorème d'isomorphisme (chapitre Sous-groupe distingué et groupe quotient), H_i/H_i+1 est isomorphe à G_i/G_i ⋂ H_i+1, lequel, d'après le troisième théorème d'isomorphisme, est isomorphe à (G_i/G_i+1)/(G_i ⋂ H_i+1/G_i+1). Ainsi, H_i/H_i+1 est isomorphe à un quotient du groupe commutatif G_i/G_i+1 et est donc commutatif.

Proposition

Soient G un groupe nilpotent et H un sous-groupe de G distinct de G. Le normalisateur N_G(H) de H dans G est distinct de H.

Démonstration. D'après la proposition précédente, il existe une suite de sous-groupes

G = H₁ ⊇ H₂ ⊇ ... ⊇ H_n+1 = H,

telle que pour tout i (1 ≤ i ≤ n), H_i+1 soit distingué dans H_i. Il existe au moins un indice i (à savoir i = 1) tel que H_i soit distinct de H. Considérons le plus grand de ces indices i. Alors H est sous-groupe distingué de H_i, donc N_G(H) contient H_i. Puisque H_i ⊋ H, on a donc bien N_G(H) ⊋ H.

Proposition

Soient G un groupe nilpotent et H un sous-groupe de G distinct de G. Il existe un sous-groupe distingué N de G, distinct de G et contenant H, tel que G/N soit commutatif.

Démonstration. D'après une proposition précédente, il existe une suite de sous-groupes

G = H₁ ⊇ H₂ ⊇ ... ⊇ H_n+1 = H,

telle que pour tout i (1 ≤ i ≤ n), H_i+1 soit distingué dans H_i et H_i/H_i+1 commutatif. Il existe au moins un indice i (à savoir n + 1) tel que H_i soit distinct de G. Si i désigne le plus petit de ces indices, il est clair que H_i convient pour N.

Corollaire

Soient G un groupe nilpotent et M un sous-groupe maximal de G, c'est-à-dire un sous-groupe de G distinct de G et tel que M et G soient les seuls sous-groupes de G contenant M. Alors M est sous-groupe distingué de G et le quotient G/M est cyclique d'ordre premier.

Démonstration. D'après la proposition précédente, il existe un sous-groupe distingué N de G, distinct de G et contenant H, tel que G/N soit commutatif. Puisque M est maximal, N doit être égal à M, donc M est sous-groupe distingué de G et G/M est commutatif. Du fait que M est maximal résulte que le groupe quotient G/M est simple (voir section Sous-groupes d'un groupe quotient dans le chapitre Sous-groupe distingué et groupe quotient). Ainsi, G/M est simple et commutatif, donc est cyclique d'ordre premier.

Remarque. Un groupe fini non réduit à l'élément neutre admet toujours au moins un sous-groupe maximal (considérer un sous-groupe propre du plus grand ordre possible), mais ce n'est pas forcément le cas pour un groupe infini. Par exemple, il résulte du théorème précédent que si G est un groupe commutatif (et donc nilpotent) qui n'a pas d'autre sous-groupe d'indice fini que lui-même, alors G n'a pas de sous-groupe maximal. Or il existe de tels groupes G, par exemple le groupe additif Q des nombres rationnels. (Si H est un sous-groupe d'indice n de ce groupe, nx appartient à H pour tout nombre rationnel x. Comme tout nombre rationnel y est de la forme nx pour un nombre rationnel x, H est égal à Q tout entier.)

Proposition

Soient G un groupe nilpotent et H un sous-groupe de G tel que H D(G) = G. Alors H est égal à G tout entier.

Démonstration. Supposons que, par absurde, H soit distinct de G. D'après une proposition précédente, il existe un sous-groupe distingué N de G, distinct de G et contenant H tel que G/N soit commutatif. Dire que G/N est commutatif revient à dire que N contient D(G) (chapitre Commutateurs, groupe dérivé), donc N contient à la fois H et D(G), donc il contient H D(G) = G, donc N = G, ce qui contredit nos hypothèses sur N. La contradiction obtenue prouve que H = G.

Proposition

Soient G un groupe nilpotent de classe ≤ n et H un sous-groupe distingué de G. Il existe une suite de sous-groupes

H = H₁ ⊇ H₂ ⊇ ... ⊇ H_n+1 = 1,

telle que (G, H_i) ⊆ H_i+1 pour tout i (1 ≤ i ≤ n).

Démonstration. Pour tout i, posons H_i = H ⋂ Cⁱ(G). Puisque C¹(G) = G, que Cⁿ⁺¹(G) =1 et que la suite des Cⁱ(G) est décroissante, nous avons

H = H₁ ⊇ H₂ ⊇ ... ⊇ H_n+1 = 1.

Reste à prouver que si 1 ≤ i ≤ n, alors (G, H_i) ⊆ H_i+1. Puisque H est distingué dans G, (G, H) est contenu dans H. Puisque H_i est contenu dans H, il en résulte que (G, H_i) est contenu dans H. D'autre part, puisque H_i est contenu dans Cⁱ(G), (G, H_i) est contenu dans (G, Cⁱ(G) ), c'est-à-dire dans Cⁱ⁺¹(G). Ainsi, (G, H_i) est contenu à la fois dans H et dans Cⁱ⁺¹(G), donc il est contenu dans leur intersection H_i+1, ce qui achève la démonstration.

Proposition

Soient G un groupe nilpotent et H un sous-groupe distingué de G non réduit à l'élément neutre. Alors H ⋂ Z(G) n'est pas réduit à l'élément neutre.

Démonstration. D'après la proposition précédente, il existe une suite de sous-groupes

H = H₁ ⊇ H₂ ⊇ ... ⊇ H_n+1 = 1,

telle que (G, H_i) ⊆ H_i+1 pour tout i (1 ≤ i ≤ n). Puisque H n'est pas réduit à l'élément neutre, il y a au moins un indice i (1 ≤ i ≤ n), à savoir i = 1, tel que H_i soit distinct de 1. Soit k le plus grand de ces indices. Alors k < n + 1, H_k ⊋ 1 et H_k+1 = 1. Puisque (G, H_i) ⊆ H_i+1 pour tout i, nous avons en particulier (G, H_k) ⊆ H_k+1 = 1, ce qui montre que H_k est contenu dans Z(G) et donc dans H ⋂ Z(G). Puisque H_k ⊋ 1, H ⋂ Z(G) n'est donc pas réduit à l'élément neutre.

Définition

Soit p un nombre premier. On appelle p-groupe fini un groupe fini dont l'ordre est une puissance de p.

Lemme

Soient p un nombre premier et G un p-groupe fini opérant sur un ensemble fini X. Le nombre des points fixes de cette opération (c'est-à-dire le nombre des éléments x de X tels que gx = x pour tout élément g de G) est congru modulo p au nombre d'éléments de X.

Démonstration. On sait que le nombre d'éléments d'une orbite divise toujours l'ordre de G. Puisque G est un p-groupe, il en résulte que le cardinal d'une orbite non ponctuelle est de la forme pⁿ avec n > 0, donc les cardinaux des orbites non ponctuelles sont divisibles par p. Comme X est la réunion des orbites et que les orbites sont deux à deux disjointes, la réunion des orbites non ponctuelles a donc un cardinal congru modulo p au cardinal de X. Comme la réunion des orbites ponctuelles est l'ensemble des points fixes, l'énoncé en résulte.

Lemme

Soit G un groupe fini dont l'ordre est une puissance de nombre premier. Si G n'est pas réduit à l'élément neutre, son centre ne l'est pas non plus.

Faisons opérer G sur son ensemble sous-jacent par conjugaison. D'après le lemme précédent, le nombre des points fixes pour cette opération est congru modulo p à l'ordre de G. D'après les hypotèses, il existe un nombre premier tel que l'ordre de G soit de la forme pⁿ, avec n ≥ 1, donc l'ordre de G est divisible par p. Ainsi, le nombre des points fixes pour l'opération considérée est divisible par p. Ces points fixes sont les éléments du centre de G, donc l'ordre du centre de G est divisible par p et, en particulier, n'est pas égal à 1. Le centre de G n'est donc pas réduit à l'élément neutre.

Proposition

Tout groupe fini dont l'ordre est une puissance de nombre premier est nilpotent.

Démonstration. Soit p un nombre premier. Il s'agit de prouver que pour tout nombre naturel n, tout groupe fini d'ordre pⁿ est nilpotent. Supposons que ce soit vrai pour tout nombre naturel < n et prouvons que c'est vrai pour n. C'est banalement vrai si n = 0, donc nous pouvons supposer n ≥ 1. Soit G un groupe d'ordre pⁿ. D'après le lemme qui précède, le centre Z(G) n'est pas réduit à l'élément neutre, donc l'ordre de G/Z(G) est de la forme pⁱ avec i < n. Par hypothèse de récurrence, G/Z(G) est nilpotent. D'après un précédent théorème, il en résulte que G est nilpotent.

Remarque. On trouvera un énoncé un peu plus précis en exercice.

Proposition

Soit G un groupe nilpotent fini Tout sous-groupe de Sylow de G est distingué dans G (et donc seul de son ordre parmi les sous-groupes de G).

Démonstration. Soit P un sous-groupe de Sylow de G. Désignons par N le normalisateur N_G(P). Il s'agit de prouver que N est G tout entier. D'après un théorème vu au chapitre Théorèmes de Sylow, N est son propre normalisateur dans G. Or nous avons vu au chapitre Groupes nilpotents que, dans un groupe nilpotent, un sous-groupe propre n'est pas son propre normalisateur. Donc N n'est pas sous-groupe propre de G, ce qui prouve notre argument.

Proposition

Tout groupe fini nilpotent est le produit direct de ses sous-groupes de Sylow.

Démonstration. Soient p₁, ... p_n les facteurs premiers de l'ordre de G. Il résulte de la proposition précédente que, pour chaque i (1 ≤ i ≤ n), G admet un seul p_i-sous-groupe de Sylow, soit P_i, et que ce sous-groupe est distingué dans G. Les ordres des P_i sont premiers entre eux deux à deux et le produit de ces ordres est égal à l'ordre de G. D'après un énoncé démontré au chapitre Produit de groupes, G est donc produit direct des P_i, c'est-à-dire de ses sous-groupes de Sylow.

Corollaire

Un groupe fini est nilpotent si et seulement s'il est produit direct de groupes dont les ordres sont des puissances de nombres premiers.

Démonstration. Si un groupe fini est nilpotent, il est produit direct de ses sous-groupes de Sylow d'après la proposition précédente. Comme l'ordre d'un sous-groupe de Sylow est une puissance de nombre premier, G est donc produit direct de groupes dont les ordres sont des puissances de nombres premiers. Réciproquement, supposons qu'un groupe fini G soit produit direct de groupes H_i dont les ordres sont des puissances de nombres premiers. D'après un des énoncés qui précèdent, chaque H_i est nilpotent, donc G est un produit direct de groupes nilpotents. Or nous avons vu que le produit direct d'une famille finie de groupes nilpotents est nilpotent, donc G est nilpotent.

[modifier] Notes et références

↑ N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, Paris, 1970, p. 71.
↑ J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4^e éd., tirage 1999, exerc. 5.36, p. 117.
↑ N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, n° 3, prop. 7, c), Paris, 1970, p. 69.

Groupe

Groupes résolubles

Groupes diédraux

[0] N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, Paris, 1970, p. 71.

[1] J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4^e éd., tirage 1999, exerc. 5.36, p. 117.

[2] N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, n° 3, prop. 7, c), Paris, 1970, p. 69.

[1]

[2]

[3]

Groupe (mathématiques)/Groupes nilpotents

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