Groupe (mathématiques)/Groupes monogènes, ordre d'un élément

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**Groupes monogènes, ordre d'un élément**
Leçon : Groupe

Chapitre 6
Chap. préc. :	Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z
Chap. suiv. :	Conjugaison, centralisateur, normalisateur

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[modifier] Groupes monogènes

Nous avons vu qu'un groupe est dit monogène s'il est engendré par un seul élément et que le sous-groupe (monogène) d'un groupe G engendré par un élément a de G est l'ensemble des éléments de G de la forme $a n$ , n parcourant $\mathbb{Z}.$ Nous avons vu aussi que Z est monogène.

Si a est un générateur d'un groupe monogène G, tout élément de G est de la forme $a n$ , avec $n \in \mathbb{Z}$ . Il en résulte que tout groupe monogène est commutatif.

Proposition

Si G est un groupe monogène, tout groupe image de G par un homomorphisme, et en particulier tout groupe quotient de G, est monogène. De façon plus précise, si G est un groupe monogène admettant un élément a pour générateur, si f est un homomorphisme de groupes partant de G, f(G) est un groupe monogène admettant f(a) pour générateur.

Démonstration. Nous avons vu, de façon générale, que si A est une partie de G, si <A> désigne le sous-groupe de G engendré par A, alors f(<A>) est engendré par f(A). En faisant A = {a}, nous trouvons que, dans nos hypothèses, f(G) est engendré par f(a).

Proposition

Un groupe est monogène si et seulement s'il est isomorphe à un quotient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , où $\ n$ est un nombre naturel $\geq 0$ . Si un groupe monogène est infini, il est isomorphe à Z; s'il est d'ordre fini s, il est isomorphe à Z/s.Z. Deux groupes monogènes de même ordre sont isomorphes. Plus précisément, si G et H sont deux groupes monogènes de même ordre, si g est un générateur de G et h un générateur de H, il existe un et un seul isomorphisme de G sur H qui applique g sur h; pour tout entier rationnel r, cet isomorphisme applique g^r sur h^r.

Démonstration. Si un groupe est isomorphe à un quotient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , où $\ n$ est un nombre naturel $\geq 0$ , il est monogène d'après la proposition précédente. Réciproquement, soit G un groupe monogène. Choisissons un élément g de G engendrant G. L'application $f : n \mapsto g^{n}$ de $\mathbb{Z}$ dans G est un homomorphisme surjectif. Le noyau de cet homomorphisme est un sous-groupe de Z, donc est de la forme nZ pour un certain $n \geq 0$ . D'après le principe de décomposition des homomorphismes (voir premier théorème d'isomorphisme), G est isomorphe à Z/n.Z et, plus précisément, il existe un isomorphisme de Z/n.Z sur G qui applique 1 + Z sur g. Nous avons vu que si n > 0, Z/nZ est d'ordre n. Ceci montre tout d'abord que si l'ordre de G est infini, on doit avoir n = 0, de sorte que G est isomorphe à Z; et ensuite que si G est d'ordre fini s, il est isomorphe à Z/sZ.
Comme dans l'énoncé, soient G et H deux groupes monogènes de même ordre, g un générateur de G et h un générateur de H. Désignons par n l'ordre de G et de H si cet ordre est fini et 0 dans le cas contraire. Le principe de décomposition des homomorphismes, appliqué à f, montre non seulement que G est isomorphe à Z/n.Z mais, plus précisément, qu'il existe un isomorphisme $λ$ de Z/n.Z sur G qui applique 1 + Z sur g. De même, il existe un isomorphisme $μ$ de Z/n.Z sur H qui applique 1 + Z sur h. Alors $\mu \circ \lambda^{-1}$ est un isomorphisme de G sur H qui applique g sur h. Le reste de l'énoncé se démontre facilement.

Définition

On appelle groupe cyclique un groupe monogène fini.

Proposition

Soient n un nombre naturel > 0, G un groupe cyclique d'ordre n et g un générateur de G. Alors les éléments $g^{0} = 1, g^{1} = g, g^{2}, \ldots , g^{n-1}$ de G sont deux à deux distincts et représentent G tout entier.

Démonstration. Nous l'avons vu (chapitre Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z) dans le cas particulier où G est le groupe Z/nZ et g le générateur 1 + nZ, et nous venons de voir qu'il existe un isomorphisme de Z/nZ sur G qui applique 1 + nZ sur g, d'où on conclut facilement de Z/nZ à G.

Proposition

Soient $\ G$ un groupe cyclique d'ordre $\ n$ et $\ d$ un diviseur de $\ n$ . Alors $\ G$ admet un et un seul sous-groupe d'ordre $\ d$ ; si $\ a$ est un générateur de $\ G$ (noté multiplicativement), l'unique sous-groupe d'ordre $\ d$ de $\ G$ est le sous-groupe engendré par $\ a^{n/d}$ .

Démonstration. Nous commençons par le cas particulier où $\ G$ = $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ . Posons $\ n' = n/d$ . Alors $\ n'$ divise $\ n$ , donc $n\mathbb{Z}$ est sous-groupe de $n'\mathbb{Z}$ . En appliquant la formule des indices aux groupes $n\mathbb{Z} \subseteq n'\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}$ , nous trouvons que le groupe quotient $n'\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est d'ordre $\ d$ . Comme ce quotient est un sous-groupe de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , nous avons prouvé que $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ admet un sous-groupe d'ordre $\ d$ .
Prouvons qu'il n'en admet qu'un. Soit $\ H$ un sous-groupe d'ordre $\ d$ de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ . D'après la caractérisation que nous avons donnée des sous-groupes d'un groupe quotient, il existe un sous-groupe $\ S$ de $\mathbb{Z}$ contenant $n\mathbb{Z}$ tel que $H = S/n\mathbb{Z}$ . D'après ce que nous avons vu des sous-groupes de $\mathbb{Z}$ , il existe un nombre naturel $\ r$ tel que $S = r\mathbb{Z}$ . Puisque $\ S$ contient $n\mathbb{Z}$ , $\ r$ divise $\ n$ et, d'après la formule des indices utilisée comme dans la première partie de la démonstration, $r\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est d'ordre $\ n/r$ . Autrement dit, $\ H$ est d'ordre $\ n/r$ , donc $\ r = n/d = n'$ et $\ H$ est le quotient $n'\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , ce qui prouve l'unicité annoncée.
Ainsi, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ admet un et un seul sous-groupe d'ordre $\ d$ et ce sous-groupe est le sous-groupe engendré par l'élément $n'+n\mathbb{Z}$ , élément qui est la somme de $\ n'$ termes égaux à $1+n\mathbb{Z}$ . Nous avons vu qu'il existe un isomorphisme de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sur $\ G$ qui applique $1+n\mathbb{Z}$ sur $\ a$ , donc l'énoncé se transporte de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ à $\ G$ par cet isomorphisme.

Corollaire

Tout sous-groupe d'un groupe monogène est monogène.

Démonstration. D'après la proposition précédente, tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique. (En effet, soit G un groupe cyclique d'ordre n et H un sous-groupe de G. D'après le théorème de Lagrange, l'ordre d de H divise n et, d'après la proposition précédente, H est le sous-groupe de G engendré par $\ g^{n/d},$ où g désigne n'importe quel générateur de G.) Il suffit donc de prouver que si G est un groupe monogène infini, tout sous-groupe de G est monogène. Or G est isomorphe à Z et nous avons vu que tout sous-groupe de Z est de la forme n.Z, donc est monogène. La thèse en résulte clairement. (Soit f un isomorphisme de G sur Z, soit H un sous-groupe de G. Alors f(H) est un sous-groupe de Z, donc est de la forme <a> pour un certain $a \in \mathbb{Z}$ , d'où $H = f - 1 ( < a > ) = < f - 1 (a) >$ , donc H est monogène.)

[modifier] Ordre d'un élément

Définition

Si g est un élément d'un groupe G, on appelle ordre de g (dans G) l'ordre du sous-groupe (monogène) de G engendré par g.

Nous avons vu que le sous-groupe de G engendré par g est l'ensemble des éléments de G de la forme gⁿ, n parcourant les nombres rationnels. Il en résulte clairement que le sous-groupe de G engendré par g^-1 est égal au sous-groupe de G engendré par g. Donc g et g^-1 ont le même ordre.

Proposition

Si g est d'ordre fini s, s est le plus petit nombre naturel r > 0 tel que g^r = 1. De plus, s divise tout entier rationnel a tel que g^a = 1.

Démonstration. Nous avons vu qu'il existe un isomorphisme f de Z/s.Z sur <g> qui applique 1 + s.Z sur g. Puisque, comme nous l'avons vu aussi, les nombres $0, 1, \ldots , s-1$ forment une transversale de s.Z dans Z, s est le plus petit nombre naturel r > 0 tel que r(1 + s.Z) soit nul dans Z/s.Z. En passant aux valeurs par f, nous trouvons que s est le plus petit nombre naturel r > 0 tel que g^r = 1. De plus, s divise évidemment tout entier rationnel a tel que a(1 + s.Z) soit nul dans Z/s.Z; en passant aux valeurs par f, nous trouvons que s divise tout entier rationnel a tel que g^a = 1.

Proposition

Soit G un groupe fini d'ordre n. Pour tout élément x de G, $x n = 1$ .

Démonstration. Soit d l'ordre de x dans G. Par définition de l'ordre de x, d est l'ordre d'un sous-groupe de G (à savoir <x>), donc, d'après le théorème de Lagrange, d divise n. D'autre part, d'après la proposition précédente, $x d = 1$ . Puisque n est multiple de d, on a donc aussi $x n = 1$ .

Proposition

Soient G un groupe cyclique d'ordre n et d un diviseur naturel de n. Le sous-groupe d'ordre d de G est l'ensemble des éléments x de G tels que x^d = 1.

Démonstration. Désignons par H le sous-groupe d'ordre d de G. Il s'agit de prouver que H est l'ensemble des éléments x de G tels que x^d = 1. Choisissons un générateur a de G. Nous avons vu que H est le sous-groupe de G engendré par $\ a^{n/d}$ . Donc tout élément x de H est de la forme $\ x = a^{rn/d}$ pour un certain entier rationnel r. Alors $\ x^{d} = a^{rn}$ et le second membre est égal à 1 (par exemple d'après le théorème précédent). Ainsi, tout élément x de H satisfait à la relation x^d = 1. Réciproquement, soit x un élément de G tel que x^d = 1. Puisque a est un générateur de G, il existe un entier rationnel s tel que x = a^s. L'hypothèse x^d = 1 peut alors s'écrire a^sd = 1. Puisque a est d'odre n, il résulte d'un théorème précédent que sd est divisible par n, donc s est divisible par n/d. La relation x = a^s montre dès lors que x est une puissance de $\ a^{n/d}$ et appartient donc à H.

Corollaire

Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué d'indice fini n de G. Pour tout élément x de G, $x^{n} \in H$ .

Démonstration. Le groupe quotient G/H est d'ordre n, donc, d'après le théorème précédent, (xH)ⁿ est égal à l'élément neutre H de G/H. Ceci revient à dire que xⁿH = H, autrement dit $x^{n} \in H$ .

[modifier] Groupes simples commutatifs

Proposition

Les groupes simples commutatifs sont les groupes cycliques d'ordre premier, autrement dit les groupes isomorphes aux groupes $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ , où p parcourt les nombres premiers.

Démonstration. Puisque tout sous-groupe d'un groupe commutatif est distingué, les groupes simples commutatifs sont les groupes commutatifs tels que G n'ait pas de sous-groupe autre que 1 et G. Prouvons que si p est un nombre premier, $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ est simple. Soit H un sous-groupe de $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ ; il s'agit de prouver que H est égal à 0 ou à $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ . L'ordre de H divise p, donc, puisque p est premier, l'ordre de H est 1 ou p. Dans le premier cas, H = 0; dans le second cas, H est $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ tout entier, ce qui, comme nous l'avons vu, prouve que $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ est simple. Puisque tout groupe isomorphe à un groupe simple est simple, il en résulte que tout groupe cyclique d'ordre premier est simple.
Réciproquement, prouvons que tout groupe commutatif simple est isomorphe à un groupe de la forme $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ , où p est un nombre premier. Soit G un groupe commutatif simple, que nous noterons additivement. Par définition d'un groupe simple, G n'est pas réduit à son élément neutre, donc nous pouvons choisir un élément a non nul dans G. Le sous-groupe <a> de G engendré par a n'est pas réduit à l'élément neutre, donc, d'après la caractérisation que nous avons donnée des groupes simples commutatifs, <a> est égal à G tout entier. Ainsi, G est monogène. S'il était infini, il serait isomorphe à $\mathbb{Z}$ , qui serait donc un groupe (commutatif) simple (puisque tout groupe isomorphe à un groupe simple est simple). C'est impossible, car le groupe (commutatif) $\mathbb{Z}$ n'est pas simple. En effet il admet des sous-groupes, par exemple $2 \mathbb{Z}$ , qui sont distincts à la fois de 0 et de $\mathbb{Z}$ . Ainsi, G est un groupe monogène fini, autrement dit un groupe cyclique, et il est donc isomorphe à un groupe $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ , n étant un nombre naturel > 0. Puisque $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ est isomorphe au groupe simple G, il est lui-même simple. Si n était égal à 1, $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ n'aurait qu'un élément, ce qui contredit la définition des groupes simples. Prouvons que n est premier. Puisque nous venons de prouver que n > 1, il suffit de prouver qu'il n'exite pas de diviseur d de n tel que 1 < d < n. S'il existait un tel diviseur d de n, il existerait un sous-groupe d'ordre d de $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ (voir un précédent théorème). Vu les hypothèses sur d, un tel sous-groupe serait d'ordre > 1 et < n, donc serait distinct de 0 et de $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ , ce qui contredit la simplicité de $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ . La contradiction obtenue prouve qu'il n'existe pas de diviseur d de n tel que 1 < d < n, ce qui, comme nous l'avons vu, prouve que n est un nombre premier, ce qui achève la démonstration.

Remarques.
1) Le théorème précédent et le théorème de Jordan-Hölder (qui sera démontré plus loin mais ne dépend d'aucun des théorèmes non triviaux sur la divisibilité dans N ou Z) permettent de prouver le théorème fondamental de l'arithmétique (existence et unicité de la décomposition en facteurs premiers). Ce sera fait dans les exercices sur le théorème de Jordan-Hölder. En revanche, cette méthode ne prouve pas le théorème de Bachet-Bézout.
2) Les groupes alternés nous fourniront des exemples de groupes simples finis non commutatifs. Dans les exercices sur les groupes symétriques finis, nous rencontrerons un groupe simple infini (non commutatif d'après le précédent théorème).

Groupe

Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z

Conjugaison, centralisateur, normalisateur

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