Groupe (mathématiques)/Groupes diédraux

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[modifier] Groupes diédraux comme produits semi-directs

Soient n un nombre naturel ≥ 1, A un groupe cyclique d'ordre n et B un groupe d'ordre 2. Ces deux groupes seront notés multiplicativement. Puisque A est commutatif, la permutation x ↦ x^-1 de A est un automorphisme de A. Si nous désignons cet automorphisme par inv, nous avons inv² = 1 (où 1 désigne l'automorphisme identique de A). On en tire facilement qu'il existe un et un seul homomorphisme de B dans Aut(A) (groupe des automorphismes de A) qui applique l'élément non neutre de B sur inv. Cet homomorphisme de B dans Aut(A), que nous désignerons par τ, peut être considéré comme une opération de B sur A par automorphismes (voir chapitre Produit semi-direct). L'application correspondante de B × A dans A est définie par si b = 1 et si b est l'élément de B distinct du neutre.

Supposons maintenant que A₁ et A₂ soient deux groupes cycliques d'ordre n et B₁ et B₂ deux groupes d'ordre 2. Soient τ₁ et τ₂ respectivement les homomorphismes de B₁ dans Aut(A₁) et de B₂ dans Aut(A₂) définis comme ci-dessus. Il existe un unique isomorphisme de B₁ sur B₂, que nous désignerons par σ. De plus, il existe au moins un isomorphisme de A₁ sur A₂ (voir le chapitre sur les groupes monogènes). Choisissons un tel isomorphisme, soit f.
Montrons que f et σ constituent un isomorphisme de l'opération τ₁ sur l'opération τ₂ (selon la terminologie introduite au chapitre produit semi-direct). Il s'agit de prouver que, pour tout élément a de A₁ et tout élément b de B₁,

Si b est l'élément neutre de B₁, est égal à a et (puisque σ(b) est l'élément neutre de B₂) est égal à f(a). Donc, si b est l'élément neutre de B₁, les deux membres de (1) sont tous deux égaux à f(a), donc (1) est vraie dans ce cas.
Si maintenant b est l'élément de B₁ distinct du neutre, est égal à a^-1 et (puisque σ(b) est l'élément de B₂ distinct du neutre) est égal à f(a)^-1; ainsi, (1) revient à f(a^-1) = f(a)^-1 et est donc encore vraie.

Nous avons donc prouvé, comme annoncé, que f et σ constituent un isomorphisme de l'opération τ₁ sur l'opération τ₂. Il en résulte (voir le chapitre Produit semi-direct) que l'application (a, b) ↦ (f(a), σ(b)) est un isomorphisme de groupes du produit semi-direct (externe) sur le produit semi-direct (externe) . (On pourrait évidemment le vérifier plus directement.) Ceci montre que, dans les notations et hypothèses ci-dessus, la structure de groupe de est identique quel que soit le choix du groupe cyclique A d'ordre n et quel que soit le choix du groupe B d'ordre 2.

Définition

Soit n un nombre naturel non nul. Tout groupe isomorphe au produit semi-direct , où A est un groupe cyclique d'odre n, B un groupe d'ordre 2 et τ l'homomorphisme de B dans Aut(A) qui applique l'élément non neutre de B sur l'automorphisme x ↦ x-1 de A, est appelé un groupe diédral d'ordre 2n.

D'après ce qui précède, les groupes diédraux d'ordre 2n sont tous isomorphes entre eux. Pour ce motif, on dit couramment «le » groupe diédral d'odre 2n, sans choisir explicitement un représentant particulier. « Le » groupe diédral d'ordre 2n se note D_2n. (Certains auteurs^[1] le notent D_n).

Remarque. Selon les définitions de certains auteurs^[2], les groupes d'ordre 2 ne sont pas des groupes diédraux. Bourbaki^[3] ne fait pas cette restriction.

Théorème

Soit n un nombre naturel ≥ 1, soit G un groupe. Les deux conditions suivantes sont équivalentes : a) G est un groupe diédral d'ordre 2n; b) G est engendré par un élément a d'ordre n et un élément b d'ordre 2 n'appartenant pas à <a> et tel que bab = a-1.

Démonstration. Supposons d'abord la condition a) satisfaite et prouvons b). Par définition d'un groupe diédral, G est isomorphe à un produit semi-direct tel que considéré ci-dessus et il est clair que nous pouvons supposer que G est un tel produit semi-direct. Il existe alors un groupe cyclique A d'ordre n et un groupe B d'ordre 2 tel que G soit le produit semi-direct , où τ est l'unique homomorphisme de B dans Aut(A) qui applique l'élément de B distinct du neutre sur l'automorphisme x ↦ x^-1 de A. Choisissons un générateur a₀ de A et désignons par b₀ l'élément de B distinct du neutre. Désignons par a et b respestivement les éléments (a₀, 1) et (1, b₀) de G = . Tout élément de G = est de la forme (a₀^r, b₀^s) pour certains nombres naturels r et s, autrement dit, vu la définition de la loi de composition dans le produit semi-direct, de la forme a^r b^r, ce qui montre que a et b engendrent G = . Puisque la première inclusion canonique de A dans A × B induit un isomorphisme de A sur le sous-groupe A × {1} de , l'image a de a₀ par cette inclusion est d'ordre n. De même, puisque la seconde inclusion canonique de B dans induit un isomorphisme de B sur le sousgroupe {1} × B de , b est un élément d'ordre 2 de G. Comme noté dans le chapitre Produit semi-direct, , ce qui peut encore s'écrire, puisque b est d'ordre 2, bab = a^-1. Enfin, puisque la seconde composante de b n'est pas égale à 1, b n'appartient pas à <a>. Nous avons donc prouvé que a) entraîne b).

Supposons maintenant b) satisfaite et prouvons a). Puisque b est d'ordre 2, la relation bab = a^-1 peut s'écrire bab^-1 = a^-1. Puisque la conjugaison par b est un automorphisme (intérieur) de G, on en tire facilement que

pour tout élément x de <a>. En particulier, b normalise <a>. Puisque a et b engendrent G, il en résulte que <a> est un sous-groupe distingué de G. Dès lors, G = <a> <b>. Par hypothèse, b n'appartient pas à <a>, donc, puisque b est d'ordre 2, <a> ⋂ <b> = 1. Donc G est produit semi-direct interne de <a> par <b>, donc il est isomorphe au produit semi-direct externe , où τ est l'homomorphisme de <b> dans Aut(<a>) qui applique un élément y de <b> sur l'automorphisme x ↦ yxy^-1 de <a>. D'après (2), τ applique l'élément b de <b> = {1, b} sur l'automorphisme x ↦ x^-1 de <a>, donc G est bien un groupe diédral d'ordre 2n.

Remarque. Si n ≥ 3, l'hypothèse selon laquelle b n'appartient pas à <a> est entraînée par l'hypothèse bab = a^-1. En effet, si b appartenait à <a>, il commuterait avec a, donc on aurait bab = bab^-1 = a, d'où, d'après l'hypothèse bab = a^-1, a^-1 = a, d'où a² = 1, ce qui est impossible puisque a est d'ordre n ≥ 3.

Corollaire (ou autre forme)

Soit n un nombre naturel ≥ 1, soit G un groupe. Les deux conditions suivantes sont équivalentes : a) G est un groupe diédral d'ordre 2n; b) G est un groupe d'ordre 2n qui comprend un élément a d'ordre n et un élément b d'ordre 2 n'appartenant pas à <a> et tel que bab = a-1.

Démonstration. L'implication a) ⇒ b) résulte immédiatement du théorème précédent. Si b) est satisfaite, <a> est un sous-groupe d'ordre n et <b> un sous-groupe d'ordre 2 tels que <a> ⋂ <b> = 1. L'ensemble <a> <b> compte donc 2n éléments (formule du produit, démontrée dans le chapitre Produit de groupes) et est donc égal à G tout entier, donc a et b engendrent G et on peut appliquer le théorème précédent.

Théorème

Soit G un groupe diédral d'ordre 2n, soit A un sous-groupe cyclique d'ordre n de G tel qu'il existe un élément b d'ordre 2 de G - A satisfaisant à la condition : pour tout élément x de A, bxb = x-1. Soit t un élément de G - A. Alors t est d'ordre 2 et pour tout élément x de A, txt = x-1.

Démonstration. Les éléments de la forme ab, où a parcourt A, n'appartiennent pas à A et sont en quantité n, donc ils constituent G - A tout entier. Donc t est de la forme ab pour un certain élément a de A. Prouvons que t est d'ordre 2. Il s'agit donc de prouver que, pour tout a dans A, (ab)² = 1. Or (ab)² = abab = a(bab) = aa^-1 = 1, donc t est bien d'ordre 2. En outre, si x est un élément de A, nous avons txt = (ab)x(ab) = ab(xa)b. Comme xa appartient à A, nous pouvvons remplacer b(xa)b par (xa)^-1 = a^-1x^-1, d'où txt = aa^-1x^-1 = x^-1.

Théorème

Le groupe diédral D4 est un groupe de Klein. Pour n ≥ 3, D2n n'est pas commutatif.

Démonstration. D'après le théorème précédent, D₄ est formé de 4 éléments qui ont tous pour carré 1, donc (exercices Produit de groupes) c'est un groupe de Klein. Si n ≥ 3, D_2n comprend un élément a d'ordre n et un élément b d'ordre 2 tels que bab^-1 = bab = a^-1. Si D_2n était commutatif, on aurait bab^-1 = a, d'où a^-1 = a, d'où a² = 1, ce qui est impossible puisque a est d'ordre n ≥ 3.

Théorème

Tout groupe fini engendré par deux éléments d'ordre 2 est diédral.

Démonstration. Soit G un groupe fini engendré par deux éléments a et b d'ordre 2. Il est clair que G est engendré par ab et b. Nous avons b(ab)b = ba. Puisque a et b sont d'ordre 2, ba est l'invers de ab, donc l'égalité précédente peut s'écrire

Montrons que b n'appartient pas à <ab>. Supposons que, par absurde, b appartienne à <ab>. Alors b commute avec ab, donc la relation (3) entraîne ab = (ab)^-1. Ainsi, ab est d'ordre 1 ou 2, donc <ab> = {1, ab}. Puisque b appartient à <ab> et n'est pas égal à 1, on doit avoir b = ab, d'où a = 1, contradiction. Cette contradiction prouve que b n'appartient pas à <ab>.
Dès lors, nos résultats montrent, compte tenu du précédent théorème, que G est un groupe diédral d'ordre 2n, où n est l'ordre de ab.

[modifier] Version géométrique des groupes diédraux

Soit n un nombre naturel ≥ 2, soit P un polygone régulier à n sommets. On admet que deux points distincts forment un polygone régulier à 2 sommets, bien que ce cas soit exceptionnel : par exemple un tel polygone n'a pas le même nombre de sommets (deux) et de côtés (un seul), contrairement aux polygones réguliers d'au moins trois sommets.
Si n = 2, nous appellerons centre du polygone P le milieu du segment de droite joignant les deux sommets. Si n ≥ 3, nous appellerons centre du polygone P l'unique point du plan qui est équidistant de tous les sommets. Nous désignerons ce centre par c.
Nous pouvons numéroter les sommets a₀, ..., a_n-1, de sorte que, pour une rotation ϱ d'angle 2π/n autour du centre c de P, on ait a_k+1 = ϱ(a_k) pour tout k et donc a_k = ϱ^k(a₀) pour tout k. Nous pouvons étendre les indices à Z tout entier en posant, pour tout entier rationnel s, a_s = a_r, où r désigne le reste de s par n.

Nous utiliserons le fait suivant :

Lemme

Soient ϱ une rotation du plan autour d'un point c et σ une symétrie axiale par rapport à une droite passant par ce point. Alors σ ϱ σ = ϱ-1.

Démonstration. Puisque ϱ est une rotation autour du point c, elle est le produit de deux symétries axiales par rapport à des droites passant par c^[4], donc ϱ σ est le produit de trois telles symétries. Comme le produit d'un nombre impair de symétries axiales par rapport à des droites passant par c est une symétrie axiale par rapport à une droite passant par c^[5], ϱ σ est donc une symétrie axiale (par rapport à une droite passant par c). Comme une symétrie axiale est d'ordre 2, nous avons donc

ϱ σ ϱ σ = 1.

En multipliant à gauche par ϱ^-1, nous trouvons σ ϱ σ = ϱ^-1, comme annoncé.

Théorème

Soient n un nombre naturel ≥ 2 et P un polygone régulier à n sommets. Les isométries du plan qui transforment en lui-même l'ensemble des sommets de P forment (pour la composition) un groupe diédral d'ordre 2n.

Démonstration.
Il est clair que les isométries du plan qui transforment en lui-même l'ensemble des sommets de P forment un sous-groupe du groupe des isométries du plan. Soit G ce sous-groupe. Prouvons que G est un groupe diédral d'ordre 2n.
Le groupe G contient un sous-groupe cyclique d'ordre n, à savoir le sous-groupe engendré par la rotation ϱ d'angle 2π/n considérée plus haut.
Il est clair que G opère de façon naturelle sur l'ensemble des n sommets de P. Cette opération est transitive, car l'opération de <ϱ> est déjà transitive, comme le montre la relation notée plus haut : a_k = ϱ^k(a₀), vraie pour tout k.
Déterminons le stabilisateur du sommet a₀. Soit f un élément de ce stabilisateur. Puisque f est une isométrie du plan, f fixe le centre c de P. (Si n = 2, noter qu'une isométrie conserve le milieu. Si n ≥ 3, noter que c est le seul point du plan équidistant des sommets.) Donc f a au moins deux points fixes, à savoir c et a₀. Une isométrie du plan qui admet au moins deux points fixes est l'identité ou la symétrie axiale autour de la droite joignant ces deux points^[6], donc f est égale à l'identité ou à la symétrie axiale par rapport à la droite ca₀. Il est clair que l'identité appartient bien au stabilisateur de a₀.
Prouvons que la symétrie axiale par rapport à ca₀, que nous désignerons par f, appartient elle aussi à ce stabilisateur. Comme f fixe a₀, il suffit de prouver qu'elle appartient à G, c'est-à-dire qu'elle transforme tout sommet de P en un sommet de P. Pour cela, prouvons que, pour tout nombre naturel k ≥ 0, f(a_k) est un sommet de P. Nous avons f(a_k) = f(ϱ^k(a₀)). D'après le précédent lemme, f ϱ^k = ϱ^-k f, donc notre résultat peut s'écrire f(a_k) = ϱ^-k(f(a₀)). Puisque f fixe a₀, ceci peut encore s'écrire f(a_k) = ϱ^-k(a₀), donc f(a_k) est bien un sommet de P, donc 'f appartient à G et appartient donc au stabilisateur de a₀.
Ainsi, le stabilisateur de a₀ comprend exactement deux éléments (l'identité et la symétrie par rapport à la droite ca₀. Nous avons vu que l'action de G sur l'ensemble des sommets est transitive, autrement dit que l'ensemble des sommets tout entier est la seule orbite pour cette opération. Comme le cardinal d'une G-orbite est égal à l'indice dans G du stabilisateur d'un élément de cette orbite, le groupe G est donc d'ordre 2n. Nous avons vu qu'il comprend une rotation ϱ d'angle 2π/n autour de c telle que ϱ(a_j) = a_j+1 pour tout j. Nous avons vu aussi qu'il comprend la symétrie axiale f par rapport à la droite ca₀ et que f ϱ^k f= ϱ^-k pour tout nombre naturel k, en particulier pour k = 1. Enfin, puisqu'une symétrie axiale n'est pas une rotation, f n'appartient pas à < ϱ >. Il résulte donc d'un théorème ci-dessus que G est un groupe diédral d'ordre 2n.

Remarque. On peut montrer que si n est impair, les symétries axiales qui transforment en lui-même l'ensemble des sommets de P ont pour axes les n droites cs, où c est le centre de P et où s parcourt les sommets de P. Si n est pair, les symétries axiales qui transforment en lui-même l'ensemble des sommets de P sont les n/2 droites cs, où s parcourt les sommets de P (deux sommets opposés fournissant la même droite) et les n/2 droites cm, où m parcourt les milieux des côtés (deux côtés opposés fournissant la même droite).

[modifier] Notes et références

1. ↑ Par exemple J. Calais, éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 121.
2. ↑ Par exemple J. J. Rotman , An Introduction to the Theory of Groups, 4^e éd., tirage de 1999, p. 68.
3. ↑ N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, exerc. 4, Paris, 1970, pp. 134-135.
4. ↑ G. Choquet, L'enseignement de la géométrie, Paris, 1971, p. 75.
5. ↑ G. Choquet, L'enseignement de la géométrie, Paris, 1971, prop. 46.6, p. 77.
6. ↑ G. Choquet, L'enseignement de la géométrie, Paris, 1971, prop. 45.3, p. 74.