Groupe (mathématiques)/Groupes commutatifs finis, 1

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**Groupes commutatifs finis, 1**
Leçon : Groupe

Chapitre 20
Chap. préc. :	Premiers résultats sur les groupes simples
Chap. suiv. :	Groupes commutatifs finis, 2

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Groupe (mathématiques) : Groupes commutatifs finis, 1
Groupe (mathématiques)/Groupes commutatifs finis, 1 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans tout ce chapitre, les groupes commutatifs seront notés additivement. L'élément neutre sera donc noté 0; le symétrique d'un élément x sera noté - x et appelé l'opposé de x; enfin, au lieu de xⁿ, on écrira nx.

Sommaire

1 Ordre d'un composé d'éléments et ordre d'un composé de sous-groupes dans un groupe commutatif fini
2 Théorème de Cauchy
3 Composantes primaires d'un groupe commutatif fini
4 Anneaux Z et Z/nZ
5 Les groupes commutatifs d'exposant premier comme espaces vectoriels
6 Décomposition d'un groupe commutatif fini en somme directe de groupes cycliques
7 Notes et références

[modifier] Ordre d'un composé d'éléments et ordre d'un composé de sous-groupes dans un groupe commutatif fini

Lemme

Soient G un groupe commutatif fini et x₁, ..., x_n des éléments de G. L'ordre du composé x₁ ... x_n divise le ppcm des ordres de x₁, ..., x_n (et donc aussi le produit de ces ordres).

Démonstration. Vu l'associativité du ppcm, il suffit de le démontrer dans le cas n = 2, le cas général s'en déduisant par récurrence sur n. Dans le cas n = 2, cela résulte immédiatement d'un problème de la série Groupes monogènes, ordre d'un élément.

Soit G un groupe. Le sous-groupe de G engendré par une famille de sous-groupes de G est parfois appelé le composé de ces sous-groupes. Nous adopterons cette expression, qui rend les expressions un peu moins lourdes.

Lemme

Soient G un groupe commutatif fini et H₁, ..., H_n des sous-groupes de G. Le composé de H₁, ..., H_n est l'ensemble H₁ .H₂ ... H_n.

Démonstration. Comme tout sous-groupe d'un groupe commutatif est distingué, c'est un cas particulier d'un théorème démontré pour les sous-groupes distingués. On peut évidemment le démontrer sans utiliser la notion de sous-groupe distingué. (Laissé au lecteur.)

Lemme

Soient G un groupe commutatif fini et H₁, ..., H_n des sous-groupes de G. L'ordre du composé de H₁, ..., H_n divise le produit des ordres de H₁, ..., H_n.

Démonstration. Ici encore, c'est un cas particulier d'un théorème relatif aux sous-groupes distingués, mais nous allons le démontrer sans utiliser la notion de sous-groupe distingué. Il suffit de démontrer l'énoncé dans le cas n = 2, le cas général s'en déduisant par récurrence sur n. Soient donc H₁ et H₂ deux sous-groupes de G; il s'agit de prouver que l'ordre du composé de H₁ et H₂ divise $\vert H_{1} \vert \cdot \vert H_{2} \vert$ . D'après le précédent lemme, le composé de H₁ et H₂ est l'ensemble H₁ H₂ et d'après la formule du produit (démontrée au chapitre Produit de groupes), le cardinal de cet ensemble divise $\vert H_{1} \vert \cdot \vert H_{2} \vert$ .

[modifier] Théorème de Cauchy

Pour rendre ce chapitre aussi autonome que possible, on va démontrer le théorème de Cauchy pour les groupes commutatifs par une méthode qui ne fait intervenir ni les théorèmes de Sylow ni les opérations d'un groupe sur un ensemble.

Théorème de Cauchy pour les groupes commutatifs.

Soient G un groupe commutatif fini et p un nombre premier divisant l'ordre de G. Il existe au moins un élément de G qui est d'ordre p.

Démonstration. Soient x₁, ..., x_n les éléments de G. Pour chaque i, désignons par <x_i> le sous-groupe de G engendré par x_i. Il est clair que G est égal à l'ensemble <x₁> ... <x_n>. D'après le lemme précédent, il en résulte que l'ordre de G divise $\ \vert <x_{1}> \vert \ldots \vert <x_{n}> \vert$ . Puisque p divise l'ordre de G, p divise donc l'ordre d'au moins un <x_i>, ce qui revient à dire que p divise l'ordre d'un élément x de G. Soit rp l'ordre de x, avec r naturel. Alors rx est d'ordre p, ce qui prouve l'énoncé.

[modifier] Composantes primaires d'un groupe commutatif fini

Soient G un groupe commutatif fini et p un nombre premier. Il résule du théorème de Cauchy que les deux conditions suivantes sont équivalentes :
1° l'ordre de G est une puissance de p;
2° tout élément de G a pour ordre une puissance de p.

Définition

Soit p un nombre premier. Un groupe commutatif fini dont l'ordre est une puissance de p, ou, ce qui revient au même, un groupe commutatif fini dont tout élément a pour ordre une puissance de p, est appelé un groupe p-primaire. Nous dirons qu'un groupe G est primaire s'il existe un nombre premier p tel que G soit p-primaire.

Remarque. Il est clair qu'un groupe fini est p-primaire si et seulement si c'est un p-groupe commutatif. Quand on traite de groupes commutatifs, on préfère parler de groupes p-primaires plutôt que de p-groupes.

Soient G un groupe commutatif fini et p un nombre premier. Puisque G est commutatif, tous ses sous-groupes sont distingués. Il en résulte que G admet un seul p-sous-groupe de Sylow, soit P. Puisque tout p-sous-groupe de G est contenu dans un p-sous-groupe de Sylow de G, il est clair que P est l'ensemble des éléments de G dont l'ordre est une puissance de p. Donc, si G est un groupe commutatif fini et p un nombre premier, l'ensemble des éléments de G dont l'ordre est puissance de p est un sous-groupe de G. On rendra cependant le présent chapitre indépendant de la théorie des sous-groupes de Sylow, car on peut le faire à très peu de frais et les théorèmes sur la structure des groupes commutatifs finis (ainsi que certaines de leurs généralisations immédiates) sont utilisés dans des domaines où la notion de sous-groupe de Sylow n'intervient pas.

Théorème

Soient G un groupe commutatif (non forcément fini) et p un nombre premier. Les éléments de G dont l'ordre est une puissance de p forment un sous-groupe de G.

Démonstration (indépendante de la théorie des sous-groupes de Sylow) : voir exercices.

Si G est un groupe commutatif fini et p un nombre premier, le sous-groupe de G formé par les éléments ayant pour ordre une puissance de p est évidemment p-primaire.

Définition

Soient G un groupe commutatif fini et p un nombre premier. Le sous-groupe de G formé par les éléments dont l'ordre est une puissance de p est appelé la composante p-primaire de G. Nous dirons qu'un sous-groupe H de G est une composante primaire de G s'il existe un nombre premier p divisant l'ordre de G tel que H soit la composante p-primaire de G.

Le théorème qui suit explique cette dénomination.

Théorème

Tout groupe commutatif fini est somme directe de ses composantes primaires.

Démonstration. C'est un cas particulier d'un théorème que nous avons démontré pour les groupes nilpotents finis, mais, pour rendre ce chapitre aussi autonome que possible, nous allons donner une démonstration indépendante de la théorie des groupes nilpotents. Soit G un groupe commutatif fini, soit n son ordre, soient p₁, ..., p_r les différents facteurs premiers de n. Pour chaque i ( 1 ≤ i ≤ n ), désignons par

$G_{p_{i}}$

la composante p_i-primaire de G.
Il s'agit de prouver que G est la somme directe

$G_{p_{1}} \oplus \ldots \oplus G_{p_{r}}.$

C'est banal si G est réduit à l'élément neutre. Nous supposerons donc qu'il ne l'est pas, d'où r ≥ 1.
Commençons par prouver que tout élément x de G peut s'écrire

$(1)\qquad x = x_{1} + \ldots + x_{r},$

avec

$x_{i} \in G_{p_{i}}$

pour tout i.
Soit

$n = p_{1}^{e_{1}} \ldots p_{r}^{e_{r}}$

la décomposition de n en facteurs premiers.
Pour chaque i, posons

$n_{i} = n/p_{i}^{e_{i}}.$

Les n_i sont premiers entre eux dans leur ensemble. En effet, puisque nous supposons r ≥ 1, un facteur premier commun à tous les n_i diviserait au moins un n_i, donc diviserait n, donc serait égal à un p_j. Mais p_j ne divise pas n_j, donc les n_i sont premiers entre eux dans leur ensemble comme annoncé. D'après le théorème de Bézout, il existe donc des entiers rationnels c₁, ... , c_r tels que

$c_{1}n_{1} + \ldots c_{r}n_{r} = 1$

d'où

$(2)\qquad c_{1}n_{1}x + \ldots c_{r}n_{r}x = x.$

Pour chaque i, c_i n_i x appartient à $G_{p_{i}}$ , car : $p i e i (c i n i x) = c i n x = 0.$ La relation (2) prouve donc notre thèse (1).
Prouvons maintenant que la décomposition (1) de x en somme d'éléments des composantes primaires de G est unique. Il revient au même de prouver que si

$(3)\qquad x_{1} + \ldots + x_{r} = 0$

avec

$x_{i} \in G_{p_{i}}$

pour tout i, alors

$(4) \qquad x_{1} = ... = x_{r} = 0.$

Pour tout indice j, la relation (3) peut s'écrire

$x_{j} = \sum _{i \not= j} (- x_{i})$ .

Chaque terme - x_i du second membre a pour ordre une puissance de p_i et est donc d'ordre premier avec p_j. D'après un précédent lemme, il en résulte que l'ordre du second membre, et donc aussi l'ordre du premier membre, est premier avec p_j. Puisque le premier membre est égal à x_j et a donc pour ordre une puissance de p_j, l'ordre de x_j est à la fois puissance de p_j et premier avec p_j, donc est égal à 1, donc x_j = 0. Ceci étant démontré pour tout indice j, notre thèse (4) est démontrée.

Corollaire 1

Soient G un groupe commutatif fini et p un nombre premier. L'ordre de la composante p-primaire de G est la plus grande puissance de p qui divise l'ordre de G.

Démonstration. C'est banal si p ne divise pas l'ordre de G, donc nous supposerons qu'il le divise. Soient n l'ordre de G, soient p₁, ... , p_s les différents facteurs premiers de n et, pour chaque i, soit $p_{i}^{e_{i}}$ la plus grande puissance de p_i qui divise n. Donc

$(1) \qquad n = \prod_{i} p_{i}^{e_{i}}$ .

D'autre part, l'ordre de la composante p_i-primaire de G est de la forme $p_{i}^{f_{i}}$ , d'où, d'après le théorème précédent,

$(2) \qquad n = \prod_{i} p_{i}^{f_{i}}$ .

La comparaison de (1) et (2) montre que f_i = e_i pour tout i. Comme p est un des p_i, ceci démontre l'énoncé.

Corollaire 2

Soit G un groupe commutatif fini d'ordre ab, où a et b sont des nombres naturels premiers entre eux; G est somme directe d'un sous-groupe d'ordre a et d'un sous-groupe d'ordre b.

Démonstration. Soit $\ a = p_{1}^{e_{1}} \ldots p_{r}^{e_{r}}$ la décomposition de a en facteurs premiers, soit $\ b = q_{1}^{f_{1}} \ldots q_{s}^{f_{s}}$ celle de b. Puisque a et b sont premiers entre eux, la décomposition de ab en facteurs premiers est $\ ab = p_{1}^{e_{1}} \ldots p_{r}^{e_{r}} q_{1}^{f_{1}} \ldots q_{s}^{f_{s}}$ . Donc G est somme directe $H_{1} \oplus \ldots H_{r} K_{1} \oplus \ldots K_{s}$ , où, pour chaque i, H_i est d'ordre $\ p_{i}^{e_{i}}$ et où, pour chaque j, K_j est d'ordre $\ q_{j}^{f_{j1}}$ . Posons $\ A = H_{1} \oplus \ldots H_{r}$ et $\ B = K_{1} \oplus \ldots K_{s}$ . Alors A est d'ordre a, B est d'ordre b et G est somme directe de A et de B, ce qui prouve l'énoncé.
Remarque. Sous les hypothèses du corollaire 2, G admet un et un seul sous-groupe d'ordre a, qui est l'ensemble des x tels que ax = 0. Voir les exercices.

[modifier] Anneaux Z et Z/nZ

Dans cette section et la suite du chapitre, on supposera connues les premiers éléments de la théorie des anneaux, y compris les notions d'idéal, d'anneau quotient et de corps.

L'addition et la multiplication usuelles dans Z font de Z un anneau commutatif (non nul) admettant 1 pour unité. Puisque tout sous-groupe du groupe additif Z est de la forme nZ pour un certain élément n de Z, tout sous-groupe du groupe additif Z est un idéal de l'anneau Z. Donc les idéaux de l'anneau Z sont exactement les sous-groupes du groupe additif Z. Comme tout quotient d'un anneau commutatif par un idéal, le quotient Z/nZ se munit d'une structure d'anneau, l'addition étant celle qui a déjà été définie et la multiplication (notée par juxtaposition) pouvant se caractériser par la relation

$(a + n \mathbb{Z}) (b + n \mathbb{Z}) = a b+ n \mathbb{Z}.$

Il nous arrivera de noter [x] la classe d'un entier rationnel modulo n (n étant sous-entendu dans la notation [x]). La relation ci-dessus peut alors s'écrire

$\ [a] [b] = [ab].$

Si r et a sont des entiers rationnels, on a

$\ r [a] = [r] [a].$

Soit n un nombre naturel; il est clair que l'anneau Z/nZ admet pour unité l'élément 1 + nZ et est nul si et seulement n = 1.

Théorème

Soient n un nombre naturel et X une classe résiduelle modulo n, autrement dit un élément de Z/nZ. Les trois conditions suivantes sont équivalentes :
1° tout élément de X est premier avec n.
2° X comprend un entier rationnel premier avec n;
3° X est un élément inversible de l'anneau Z/nZ.
Si a est un entier rationnel, a + nZ est un élément inversible de l'anneau Z/nZ si et seulement si a est premier avec n.

Démonstration. Il est banal que 1° entraîne 2°. Supposons 2° vraie et prouvons 3° Puisque 2° est vraie, X est de la forme x + nZ, où x est premier avec n. D'après le théorème de Bézout, il exite des entiers rationnels a et b tels que ax + bn = 1. En passant aux classes modulo n, nous trouvons [x] [a] = [1]. Puisque [x] est égal à X, il en résulte que X est inversible, ce qui prouve 3°. Enfin, supposons 3° et prouvons 1°. Soit x un élément de X, il s'agit de prouver que x est premier avec n. Nous avons X = [x]. Puisque 3° est satisfaite, X admet un inverse, que nous pouvons noter [a] pour un certain entier rationnel a. Alors [x] [a] = [1], donc xa - 1 est divisible par n. Soit xa - 1 = yn, avec y entier. Tout diviseur commun à x et à n divise xa - yn, autrement dit divise 1, donc x est premier avec n, ce qui prouve 1°. Ainsi, les conditions 1° à 3° sont équivalentes. La dernière assertion de l'énoncé s'en déduit facilement.

Théorème

Soit n un nombre naturel. L'anneau Z/nZ est un corps si et seulement n est un nombre premier.

Démonstration. Si n est premier, tout entier rationnel non divisible par n est premier avec n, ce qui, d'après le théorème précédent, revient à dire que tout élément non nul de l'anneau Z/nZ est inversible, donc cet anneau (non nul, puisque n > 1) est un corps. Réciproquement, supposons que l'anneau Z/nZ soit un corps et prouvons que n est un nombre premier. Puisqu'un corps a toujours au moins deux éléments, n est distinct de 1. D'autre part, Z/0Z est isomorphe à Z, qui n'est pas un corps, donc n est distinct de 0. Ainsi, n > 1. Puisque l'anneau Z/nZ est un corps, tout élément non nul de cet anneau est inversible, donc tout nombre naturel non divisible par n est premier avec n. Supposons que, par absurde, n ne soit pas un nombre premier. On a donc n = ab, où a et b sont des nombres naturels tous deux > 1. Alors a n'est pas divisible par n et n'est pas premier avec n, ce qui amène une contradiction.

[modifier] Les groupes commutatifs d'exposant premier comme espaces vectoriels

Dans cette section, on va utiliser, en les supposant connues du lecteur, les notions les plus classiques sur les espace vectoriel (bases, dimension). Ces notions et propriétés interviendront encore dans la suite du chapitre.

L'ensemble $\mathbb{Z}$ des entiers rationnels, muni de l'addition et de la multiplication usuelles, est un anneau (commutatif unitaire non nul) intègre. Les idéaux de cet anneau sont exactement les sous-groupes de son groupe additif. Autrement dit, les idéaux de l'anneau $\mathbb{Z}$ sont exactement les ensembles de la forme $n\mathbb{Z}$ , où n parcourt $\mathbb{Z}$ . Il en résulte que l'anneau $\mathbb{Z}$ est principal et que les anneaux quotients de $\mathbb{Z}$ sont les ensembles $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , munis de l'addition que nous connaissons déjà et d'une multiplication qu'on peut caractériser par la propriété suivante : le produit de la classe résiduelle de a par la classe résiduelle de b est la classe résiduelle de ab. Ces anneaux quotients sont évidemment commutatifs. Il est clair que si une classe résiduelle modulo n comprend un nombre premier avec n, tous les nombres appartenant à cette classe sont premiers avec n. Le théorème de Bézout permet de montrer que les éléments inversibles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sont les classes dont les éléments sont premiers avec n. En particulier, si p est un nombre premier, l'anneau $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un corps (commutatif). Ce corps est souvent noté $\mathbb{F}_{p}$ .

Définition

Soient G un groupe et n un nombre naturel. Si pour tout élément x de G, xⁿ = 1, on dit que G est d'exposant n.

Remarque. Sil existe un nombre naturel non nul n tel que le groupe G soit d'exposant n, il existe un plus petit nombre naturel non nul, soit n₀, possédant cette propriété. On montre facilement que n₀ divise tout nombre naturel n tel que G soit d'exposant n. Nous dirons que n₀ est l'exposant minimal de G. Certains auteurs^[1] définissent l'exposant de G comme égal à n₀ si n₀ existe (c'est-à-dire s'il existe un nombre naturel non nul n tel que xⁿ = 1 pour tout élément x de G) et comme égal à ∞ (l'infini) dans le cas contraire. Pour ces auteurs, dire que G est d'exposant n revient à dire que n est l'exposant de G, tel qu'ils le définissent.

Soit G un groupe commutatif (noté additivement) d'exposant p premier. On a donc p x = 0 pour tout élément x de G. Si r et s sont deux entiers rationnels congrus entre eux modulo p, il est clair que r x = s x. On en tire facilement qu'il existe une (et une seule) application de Z/pZ × G dans G qui, pour tout entier rationnel r et tout élément x de G, applique (r + pZ, x) sur r x. On munit ainsi G d'une structure d'espace vectoriel sur le corps Z/pZ, pour laquelle l'addition est la loi de groupe de G. Cette structure est unique car si * est la loi externe d'une telle structure d'espace vectoriel et si, de façon générale, [n] désigne la classe résiduelle de n modulo p, on doit avoir [1] * x = x pour tout x dans G, d'où, par récurrence sur n, [n] * x = n x pour tout x dans G. Dans l'espace vectoriel G ainsi défini, comme dans tout espace vectoriel, toute famille libre peut être complétée en une base et deux bases ont toujours le même cardinal.

Un groupe commutatif fini d'exposant premier p est aussi appelé un p-groupe abélien élémentaire.

[modifier] Décomposition d'un groupe commutatif fini en somme directe de groupes cycliques

Nous allons démontrer que tout groupe commutatif fini est somme directe de sous-groupes cycliques. Puisque nous avons démontré que tout groupe commutatif fini est somme directe de ses composantes primaires, il suffira de prouver que si p est un nombre premier, tout groupe p-primaire est somme directe de sous-groupes cycliques.

Définition

Soit G un groupe commutatif. Convenons de dire qu' une famille (x₁, ..., x_r) d'éléments de G est indépendante si les x_i sont tous non nuls et si, pour tous entiers rationnels a₁, ..., a_r, la relation a₁ x₁ + a_r x_r entraîne a₁ x₁ = ... = a_r x_r = 0.
Il revient au même de dire que les x_i sont tous non nuls et que le sous-groupe de G engendré par les x_i est somme directe de la famille (<x_i>).

Remarque. À l'intention du lecteur qui connaît la notion de module sur un anneau, notons que la condition a_i x_i = 0 n'entraîne pas forcément a_i = 0, de sorte que l'indépendance qu'on vient de définir n'est pas équivalente à l'indépendance linéaire dans le Z-module G.

Lemme

Soient p un nombre premier et G un groupe commutatif d'exposant p. Une famille (x₁, ..., x_r) d'éléments de G est indépendante si et seulement si c'est une famille linéairement indépendante (autrement dit libre) dans le $\mathbb{F}_{p}$ -espace vectoriel G.

Démonstration. Voir les exercices.

Lemme

Soient p un nombre premier et G un groupe commutatif fini d'exposant p (autrement dit un p-groupe abélien élémentaire). Toute famille indépendante x₁, ... , x_n d'éléments de G peut être étendue en une famille indépendante x₁, ... , x_n, y₁, ... , y_r telle que

$G = <x_{1}> \oplus \ldots \oplus <x_{n}> \oplus <y_{1}> \oplus \ldots <y_{r}>.$

Première démonstration. D'après le lemme qui précède, x₁, ... , x_n d'éléments de G est une famille linéairement indépendante dans le $\mathbb{F}_{p}$ -espace vectoriel G. D'après la théorie des espaces vectoriels, cette famille peut être étendue en une base du $\mathbb{F}_{p}$ -espace vectoriel G. Puisque G est fini, cette base est évidemment finie et convient pour la famille x₁, ... , x_n, y₁, ... , y_r de l'énoncé. (La possibilité d'étendre une partie libre d'un espace vectoriel en une base n'étant pas limitée aux espaces de dimension finie, on voit que l'énoncé reste vrai, mutatis mutandis, si on supprime l'hypothèse selon laquelle G est fini.)
Seconde démonstration. Voici une démonstration qui évite le langage des espaces vectoriels. Il y a au moins une famille indépendante d'éléments de G qui prolonge x₁, ... , x_n, à savoir cette famille elle-même. Nous pouvons donc considérer, parmi les familles indépendantes qui prolongent x₁, ... , x_n, une famille x₁, ... , x_n, ... , x_t pour laquelle t est maximal. Prouvons que

$G = <x_{1}> \oplus \ldots <x_{t}>.$

Désignons par H le second membre et supposons que, par absurde, H ne soit pas G tout entier. Il existe donc un élément y de G qui n'appartient pas au sous-groupe H. Prouvons que $H \cap <y> = 0$ . Il est clair que y n'est pas nul, donc, puisque G est d'exposant p, y est d'ordre p. Donc l'image de y dans G/H a pour ordre un diviseur de p (voir un problème de la série Groupes monogènes, ordre d'un élément). Puisque y n'appartient pas à H, l'ordre de son image dans G/H n'est pas égal à 1 et est donc égal à p. Il en résulte que si s est un entier rationnel tel que s y appartienne à H, alors s est divisible par p, donc s y = 0, ce qui montre que $H \cap <y> = 0$ comme annoncé. Donc H <y> est somme directe de H et de <y>, donc <x₁> ... <x_t <y> est somme directe

$<x_{1}> \oplus \ldots <x_{t}> \oplus <y>,$

autrement dit (puisque y n'est pas nul) la famille x₁, ... , x_t, y est indépendante, ce qui contredit la maximalité de t. Cette contradiction démontre l'énoncé.

Corollaire

Tout groupe commutatif fini d'exposant premier est somme directe de sous-groupes cycliques.

Démonstration. D'après le lemme précédent, la famille vide d'éléments d'un tel groupe, qui est indépendante, peut être prolongée en une famille indépendante x₁, ... , x_n telle que

$G = <x_{1}> \oplus \ldots \oplus <x_{n}>.$

Lemme

Soient p un nombre premier, G un groupe commutatif p-primaire et (x₁, ..., x_r) une famille d'éléments de G. Si la famille (px₁, ..., px_r) est indépendante, la famille (x₁, ..., x_r) l'est aussi.

Démonstration. Soient a₁, ..., a_r des entiers rationnels tels que

(1) a₁ x₁ + ... + a_r x_r = 0.

Il s'agit de prouver que

(2) a_i x_i = 0 pour tout i.

De la relation (1) résulte

p(a₁ x₁+ ... + a_r x_r) = 0,

ce qui peut s'écrire

a₁ px₁+ ... + a_r px_r,

d'où, puisque la famille (px₁, ..., px_r) est supposée indépendante,

a_i px_i = 0 pour tout i.

Donc l'ordre de px_i divise a_i. Si, pour un i, a_i était non divisible par p, l'ordre de px_i serait donc non divisible par p. Puisque l'ordre de px_i (comme l'ordre de tout élément de G) est une puissance de p, l'ordre de px_i serait donc égal à 1, donc px_i serait nul, ce qui (par définition d'une famille indépendante) contredit l'hypothèse selon laquelle la famille (px₁, ..., px_r) est indépendante.
Nous avons donc prouvé que, dans la relation (1), tous les a_i sont divisibles par p. Posons a_i = p b_i, avec b_i entier rationnel. La relation (1) s'écrit

b₁ p x₁ + ... + b_r p x_r = 0,

d'où, puisque la famille (px₁, ..., px_r) est supposée indépendante,

b_i p x_i = 0 pour tout i,

autrement dit

(2) a_i x_i = 0 pour tout i,

ce qui est notre thèse (2).

Lemme

Soient p un nombre premier, G un groupe commutatif p-primaire et (x₁, ..., x_r) une famille indépendante d'éléments de G. Si c₁, ..., c_r sont des entiers rationnels tels que, pour tout i, c_i x_i ≠ 0, alors la famille (c₁ x₁, ..., c_r x_r) est elle aussi une famille indépendante.

Démonstration. Nous savons déjà, par hypothèse, que les c_i x_i sont non nuls. Il reste donc à prouver que si a₁, ..., a_r sont des entiers rationnels tels que a₁ c₁ x₁ + ... + a_r c_r x_r = 0, alors a_i c_i x_i = 0 pour tout i. Cela résulte immédiatement du fait que les x_i forment une famille indépendante.

Théorème

Tout groupe commutatif fini est somme directe de sous-groupes cycliques primaires.

D'après un précédent théorème, tout groupe commutatif fini est somme directe de ses composantes primaires. Il suffit donc de prouver que pour tout nombre premier p, tout groupe p-primaire est somme directe de sous-groupes cycliques.
Soit G un groupe p-primaire. Il existe un nombre naturel n tel que G soit d'exposant pⁿ, par exemple le nombre naturel n tel que G soit d'ordre pⁿ. Notre thèse peut s'exprimer comme suit : tout groupe p-primaire d'exposant n est somme directe de sous-groupes cycliques. Nous allons prouver cet énoncé par récurrence sur n. C'est banal si n = 0 car alors G est réduit à l'élément neutre et est par exemple somme durecte d'une famille vide de sous-groupes cycliques. Si n = 1, notre thèse est l'énoncé d'un lemme démontré ci-dessus. Supposons que n soit un nombre naturel ≥ 2 tel que notre thèse soit vraie pour tout groupe p-primaire d'exposant p^n-1 et prouvons qu'elle est vraie pour tout groupe p-primaire d'exposant pⁿ.
Soit donc G un groupe p-primaire d'exposant pⁿ. Il s'agit de prouver que G est somme directe de sous-groupes cycliques. Désignons par $\ p G$ l'ensemble des éléments de G de la forme p x avec x dans G, et par G_p l'ensemble des éléments x de G tels que p x = 0. Il est clair que p G est un groupe d'exposant n - 1 et G_p un groupe d'exposant p. Par hypothèse de récurrence, p G est somme directe de sous-groupes cycliques, donc il existe des éléments x₁, ... , x_r de G tels que

$(1)\qquad p G = <p x_{1}> \oplus \ldots <p x_{r}>.$

Nous pouvons évidemment choisir les x_i de sorte que tous les p x_i soient non nuls. La relation (1) montre alors que les p x_i forment une famille indépendante d'éléments de G. D'après un précédent lemme, les x_i forment eux aussi une famille indépendante. Donc le sous-groupe X de G engendré par les x_i est somme directe des <x_i> :

$X = <x_{1}> \oplus \ldots \oplus <x_{r}>.$

Pour chaque i, désignons par c_i l'ordre de p x_i. Prouvons que l'ordre de c_i x_i est égal à p. Nous avons

p c_i x_i = 0,

donc c_i x_i est d'ordre 1 ou p. S'il était d'ordre 1, c'est-à-dire s'il était nul, on aurait

$(2)\qquad c_{i} x_{i}= 0.$

D'autre part, puisque les p x_i ont été choisis non nuls, les c_i sont tous distincts de 1. Puisque tout élément de G a pour ordre une puissance de p, les c_i sont donc tous divisibles par p. Posons c_i = p c'_i. La relation (2) peut s'écrire

$\qquad c'_{i} p x_{i}= 0$

avec 0 < c'_i < c_i, ce qui contredit le fait que p x_i est d'ordre c_i. Nous avons donc prouvé que, pour tout i, c_i x_i est d'ordre p, autrement dit que c_i x_i appartient à G_p et est non nul. D'après un précédent lemme, il en résulte que les c_i x_i forment une famille indépendante d'éléments de G_p (et donc une famille libre dans le F_p-espace vectoriel G_p). D'après un autre lemme démontré plus haut, cette famille peut être étendue en une famille indépendante qui engendre G_p (autrement dit en une base du F_p-espace vectoriel G_p). Choisissons une telle famille c₁ x₁, ... , c_r x_r, y₁, ... , y_s. Désignons par Y le sous-groupe de G_p engendré par les y_j. Puisque les y_j font partie d'une famille indépendante, ils forment eux-mêmes une famille indépendante, donc Y est somme directe des <y_j> :

$Y = <y_{1}> \oplus \ldots \oplus <y_{s}>.$

Prouvons que G est somme directe de X et de Y. Prouvons tout d'abord que $X \cap Y = 0.$ Soit g un élément de $X \cap Y.$ Il s'agit de prouver que g est nul. Puisque g appartient à la fois à X et à Y, nous avons à la fois

$(3) \qquad g = \sum a_{i}x_{i}$

et

$(4) \qquad g = \sum b_{j}y_{j}.$

Puisque g appartiet à Y, qui est contenu dans G_p, p g = 0, donc

$\sum a_{i} p x_{i} = 0,$

donc, puisque les p x_i sont indépendants, a_i p x_i = 0 pour tout i. Puisque l'ordre de p x_i est c_i, il en résulte que, pour chaque i, a_i est divisible par c_i. Soit a_i = a'_i c_i, où a'_i est un nombre naturel. La relation (3) peut s'écrire

$g = \sum a'_{i} c_{i} x_{i},$

d'où, par comparaison avec (4)

$\sum a'_{i} c_{i} x_{i} - \sum b_{j}y_{j} = 0.$

Puisque la famille c₁ x₁, ... , c_r x_r, y₁, ... , y_s a été choisie indépendante, nous avons donc b_j y_j = 0 pour tout j, donc g = 0, ce qui prouve que $X \cap Y = 0.$ Prouvons maintenant que X + Y = G. Soit g un élément de G. Il s'agit de prouver que g est somme d'un élément de X et d'un élément de Y. Puisque p g appartient à p G, il résulte de (1) qu'il existe une famille (a_i) d'entiers rationnels telle que

$pg = \sum a_{i} p x_{i}.$

On a alors

(5) $g - \sum a_{i} x_{i} \in G_{p}.$

Puisque la famille famille c₁ x₁, ... , c_r x_r, y₁, ... , y_s engendre G_p, il résulte clairement de (5) que g appartient à X + Y, comme annoncé.

Théorème

Tout groupe commutatif fini peut s'écrire comme somme directe

$G = H_{1} \oplus \ldots \oplus H_{r},$

où les H_i sont cycliques et où, n_i désignant l'ordre de H_i,

$n_{1} \vert n_{2} \vert \ldots \vert \ n_{r}$ .

Démonstration. Soient p₁, ... , p_s les différents facteurs premiers de l'ordre de G. Pour chaque i, désignons par G_i la composante p_i-primaire de G. D'après des résultats précédents,

(1) $G = G_{1} \oplus \ldots \oplus G_{s}$

et chaque G_i est somme directe de groupes cycliques :

(2) $G_{i} = C_{i,1} \oplus \ldots C_{i,r_{i}}$

où, pour un i donné, chaque C_{i, j} est un sous-groupe p_i-primaire de G. Étant donné un i, nous pouvons évidemment indexer les C_{i, j} de sorte que pour tout j tel que j < r_i, l'ordre de C_{i, j} divise l'ordre de C_{i, j + 1}. De plus, quitte à ajouter des sous-groupes nuls au début de la décomposition de certains G_i, nous pouvons évidemment supposer que tous les r_i ont une même valeur r. La relation (2) s'écrit alors

(3) $G_{i} = C_{i,1} \oplus \ldots \oplus C_{i,r}.$

Pour tout j (1 ≤ j ≤ r), posons

(4) $H_{j} = C_{1,j} \oplus \ldots \oplus C_{s,j}.$

De (1) et (3) résulte (compte tenu de l' « associativité » et de la « commutativité » de la somme interne)

(5) $G = H_{1} \oplus \ldots H_{r}.$

D'après (4), chaque H_j est somme directe de groupes cycliques dont les ordres sont premiers entre eux deux à deux, donc chaque H_j est cyclique. De plus

(6) $\vert H_{j} \vert = \vert C_{1,j}\vert \cdot \ldots \cdot \vert C_{s,j} \vert.$

Nous avons choisi les C_i,j de sorte que, si j < r, alors, pour chaque i, l'ordre de C_i,j divise l'ordre de C_{i,j + 1}. Il résulte donc de (6) que, si j < r, l'ordre de H_j divise l'ordre de H_{j + 1}. L'énoncé est donc démontré.

Définition

Si un groupe commutatif fini G peut s'écrire comme somme directe

$G = H_{1} \oplus \ldots \oplus H_{r},$

où les H_i sont cycliques non nuls et où, n_i désignant l'ordre de H_i,

$n_{1} \vert n_{2} \vert \ldots \vert \ n_{r},$

on dit que G admet la suite de facteurs invariants (n₁, ... n_r).

D'après le théorème précédent, tout groupe commutatif fini admet au moins une suite de facteurs invariants. Nous verrons plus loin que la suite de facteurs invariants d'un groupe commutatif fini donné est unique. Notons que les facteurs invariants sont les ordres de groupes non nuls, donc 1 ne figure jamais parmi les facteurs invariants.

Dans cette première partie du chapitre sur les groupes commutatifs finis, nous avons démontré des théorèmes d'existence relatifs à certains types de décompositions. Dans la seconde partie, nous démontrerons des théorèmes d'unicité relatifs à ces décompositions.

[modifier] Notes et références

↑ Par exemple W.R. Scott Ross, Group Theory, réimpr. Dover, 1987, p. 92. La définition adoptée dans le présent cours est conforme à J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4^e éd., tirage de 1999, p. 26.

Groupe

Premiers résultats sur les groupes simples

Groupes commutatifs finis, 2

[0] Par exemple W.R. Scott Ross, Group Theory, réimpr. Dover, 1987, p. 92. La définition adoptée dans le présent cours est conforme à J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4^e éd., tirage de 1999, p. 26.

[1]

Groupe (mathématiques)/Groupes commutatifs finis, 1

Une page de Wikiversité.

Sommaire

[modifier] Ordre d'un composé d'éléments et ordre d'un composé de sous-groupes dans un groupe commutatif fini

[modifier] Théorème de Cauchy

[modifier] Composantes primaires d'un groupe commutatif fini

[modifier] Anneaux Z et Z/nZ

[modifier] Les groupes commutatifs d'exposant premier comme espaces vectoriels

[modifier] Décomposition d'un groupe commutatif fini en somme directe de groupes cycliques

[modifier] Notes et références

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