Groupe (mathématiques)/Groupes, premières notions

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**Groupes, premières notions**
Leçon : Groupe

Chapitre 2
Chap. préc. :	Lois de comopsition internes, monoïdes
Chap. suiv. :	Classes modulo un sous-groupe

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Sommaire

1 Groupe : définition et exemples
2 Extension de la loi aux parties
3 Construction du groupe des entiers relatifs (ou entiers rationnels)
4 Sous-groupes
5 Homomorphismes
6 Puissances d'un élément
7 Multiplication dans Z
8 Parties génératrices
9 Opposé d'un groupe
10 Notes et références

[modifier] Groupe : définition et exemples

Définition

Un groupe $(G,\star)$ est un monoïde où tout élément admet un symétrique.

Un groupe $(G,\star)$ est donc un ensemble muni d'une loi de composition interne $\ \star$ possédant les propriétés suivantes :

La loi de composition est associative : $\forall x,y,z \in G : x \star (y \star z) = (x \star y) \star z$ ;
Il existe un (et un seul) élément neutre, noté e vérifiant $\forall x \in G : x \star e = e \star x = x$ ;
Tout élément a un symétrique (dit aussi inverse en notation multiplicative et opposé en notation additive), $\forall x \in G, \exists y \in G, x \star y = y \star x = e.$

Remarque : le symétrique de x est noté x^-1 en notation multiplicative et -x en notation additive.

Comme on l'a vu dans le chapitre sur les monoïdes,

l'élément neutre est unique;
un élément donné n'a qu'un symétrique;
le symétrique du symétrique d'un élément x est x lui-même.

Théorème

Tout élément d'un groupe est simplifiable.

Démonstration. Nous avons vu dans le chapitre sur les monoïdes que tout élément inversible d'un monoïde est simplifiable.

Théorème

Soit x un élément d'un groupe G. Si y est un élément de G tel que xy = 1 ou yx = 1, y est l'inverse de x

Démonstration. Supposons d'abord xy = 1 et prouvons que y est l'inverse de x. Il suffit de multiplier à gauche les deux membres de l'égalité xy = 1 par x^-1 et d'appliquer l'associativité. Si maintenant y x = 1, on peut multiplier à droite par x^-1, ou encore dire que d'après le résultat précédent, x est l'inverse de y, ce qui entraîne que y est l'inverse de x.

Exemples. 1) * ${e}$ : groupe trivial (la loi est définie par $e . e = e$ ).

2) Soit X un ensemble. Rappelons qu'en théorie des ensembles, on appelle permutation de X une bijection de X sur lui-même. L'application de X dans lui-même qui applique chaque élément sur lui-même est évidemment une permutation de X, que nous noterons id_X. Soient f, g et h des permutations de X. On montre en théorie des ensembles que

$f \circ (g \circ h) = (f \circ g )\circ h$
$f \circ id_{X} = id_{X} \circ f = f$
$f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = id_{X}$ ,

où f^-1 désigne la permutation réciproque de f, définie en théorie des ensembles. Cela montre que l'ensemble des permutations de X, muni de la loi de composition $\circ$ , est un groupe, qu'on appelle groupe symétrique de X, et qu'on note $\ S_{E}$ ou $\mathfrak{S}(E)$ .

3) L'ensemble des entiers relatifs (ou entiers rationnels), muni de l'addition des entiers est un autre exemple de groupe. (Cet ensemble est connu dès le niveau des lycées et collèges, mais nous le construirons dans la suite du présent chapitre.) On peut constater que l'addition de deux entiers ne dépend pas de l'ordre dans lequel l'addition est effectuée. On dit que c'est un groupe commutatif :

Définition

Un groupe abélien (ou commutatif) $(G,\star)$ est un groupe dont la loi de composition est commutative, c'est-à-dire, rappelons-le, que cette loi satisfait à la condition :

$\forall x,y \in G : x \star y = y \star x$

Exemple de groupe non commutatif.

Si X est un ensemble d'au moins trois éléments, le groupe S_X n'est pas commutatif.

Démonstration. Si x et y sont deux éléments distincts de X, désignons par (x, y) la permutation de X qui applique x sur y, y sur x, et laisse fixes tous les autres éléments de X. Par hypothèse, nous pouvons choisir trois éléments distincts a, b et c de X. Les permutations

$(a,b)\circ (b,c)$ et $(b,c) \circ (a,b)$

ne sont pas égales, car la première applique b sur c et la seconde l'applique sur a. Ceci prouve bien que le groupe S_X n'est pas commutatif.

Remarque : Quand on parle d'un groupe, il arrive (souvent) que la loi soit sous-entendue, mais s'il y a un risque de confusion il faut la mettre explicitement.
Par convention tacite, la loi d'un groupe est généralement notée de la même façon que la multiplication, d'élément neutre 1. Les groupes abéliens sont notés comme l'addition, d'élément neutre 0 et d'inverse -x (on dit "l'opposé"). Attention cependant, aucune convention explicite n'existe, les auteurs sont donc libres de noter les lois comme ils veulent ; et souvent les notations dépendent de la nature des objets constituant le groupe.

[modifier] Extension de la loi aux parties

Si X et Y sont des parties de G, nous désignerons par XY l'ensemble des éléments de G de la forme xy avec $x \in X$ et $y \in Y$ . Nous désignerons par $X - 1$ l'ensemble des éléments de G de la forme $x - 1$ avec $x \in X$ .
Il est clair que, pour toutes parties X, Y et Z de G, nous avons :

(XY)Z = X(YZ)

(X Y) - 1 = Y - 1 X - 1

(X - 1) - 1 = X

Si X est le singleton {x}, on écrit xY au lieu de {x}Y et, de même, Yx au lieu de Y{x}.

En notation additive, on écrit X+Y au lieu de XY, et -X au lieu de $X - 1$ .

[modifier] Construction du groupe des entiers relatifs (ou entiers rationnels)

(Cette section peut être omise en première lecture.)

L'ensemble $\mathbb{N}$ des nombres naturels, muni de l'addition, est un monoïde commutatif où tout élément est simplifiable. Le seul élément de ce monoïde qui admette un opposé est 0^[1]. Nous allons montrer que $\mathbb{N}, +$ peut être « plongé » dans un groupe. De façon générale, si M est un monoïde commutatif, on peut «plonger» M dans un monoïde commutatif plus grand, où tout élément est de la forme $m s - 1$ ( $m - s$ en notation additive), m appartenant à M et s étant un élément simplifiable de M. On procède comme suit. Soit S l'ensemble des éléments simplifiables de M. Dans le produit cartésien $M \times S$ , on considère la relation d'équivalence entre $(m 1, s 1)$ et $(m 2, s 2)$ définie par la condition $m 1 s 2 = m 2 s 1$ . On note m/s (en contexte multiplicatif) la classe d'équivalence de (m,s). On montre que, pour $m, n \in M$ et $s, t \in S$ , la classe d'équivalence de (mn, st) ne dépend que des classes d'équivalence de (m,s) et (n,t), ce qui permet de munir l'ensemble quotient d'une loi de composition $\star$ qui peut être caractérisée par $m/s \star n/t = (mn)/(st)$ . On munit ainsi l'ensemble quotient d'une structure de monoïde. Ce monoïde est noté $M S$ . Le monoïde M est isomorphe au sous-monoïde de $M S$ formé par les éléments de la forme (m,1), m parcourant M. On identifie M à ce sous-monoïde de $M S$ et on a donc bien «plongé» M dans un monoïde tel qu'annoncé.
Si tout élément de M est simplifiable, S est égal à M tout entier et $M S$ est un groupe.
Dans le cas particulier où M est le monoïde additif $\mathbb{N}$ , on plonge ainsi $\mathbb{N}$ dans un groupe commutatif noté $\mathbb{Z}, +,$ qu'on appelle groupe des entiers rationnels, ou des entiers relatifs.
Si a, b sont deux nombres naturels, le couple (a,b) peut s'écrire d'une des deux façons (a,a+n), (b+n, b) avec n naturel (selon que $a \leq b$ ou $b \leq a$ ). On en tire que tout élément de $\mathbb{Z}$ est égal à un élément de la forme n ou -n, avec n naturel (si on identifie comme ci-dessus $\mathbb{N}$ à un sous-monoïde de $\mathbb{Z}$ ). Autrement dit, $\mathbb{Z} = \mathbb{N} \cup -\mathbb{N}$ . On peut aussi montrer que 0 est le seul élément de $\mathbb{Z}$ qui appartienne à la fois à $\mathbb{N}$ et à $-\mathbb{N}$ ^[2].
On a dans $\mathbb{Z}$ une relation d'ordre total

$a \leq b \Leftrightarrow b-a \in \mathbb{N}$

qui coïncide dans $\mathbb{N}$ avec la relation d'ordre usuelle dans $\mathbb{N}$ . Cette relation d'ordre dans $\mathbb{Z}$ est dite relation d'ordre usuelle dans $\mathbb{Z}$ . Quand nous parlerons d'une relation d'ordre dans $\mathbb{Z}$ sans la préciser, il s'agira de celle-là.

Si r est un entier rationnel, il résulte d'une remarque ci-dessus que r ou -r est naturel et qu'ils ne le sont tous deux que si r = -r = 0. On appelle valeur absolue de r et on note $\ \vert r \vert$ l'unique entier naturel qui appartient à l'ensemble {r, -r}. C'est aussi le plus grand des deux entiers rationnels r et -r.

Remarque : la méthode de plongement ci-dessus nous servira aussi à définir le corps des fractions d'un anneau intègre.

[modifier] Sous-groupes

Définition

Un sous-groupe d'un groupe $(G,\star)$ est un sous-ensemble H de G possédant les propriétés suivantes :

H est stable par la loi $\star$ : $\forall x,y \in H : x \star y \in H$
l'élément neutre de G appartient à H
l'inverse de tout élément de H est dans H

D'après la condition de stabilité, la loi * de G induit une loi de composition interne dans H, qui, pour tous éléments h₁, h₂ de H, applique (h₁, h₂) sur l'élément h₁ * h₂ de H. Cette loi induite est évidemment associative. Puisque l'élément neutre de G appartient à H, il est évidemment élément neutre pour la loi induite. Enfin, puisque pour tout élément h de H, l'inverse de h pour * appartient à H, il est clair que cet inverse est aussi l'inverse de h pour la loi induite. Tout ceci montre que la loi induite fait de H un groupe.

Pour exprimer que H est sous-groupe de G, on écrit souvent^[3] $H \leq G$ plutôt que $H \subseteq G$ . De même, pour exprimer que H est un sous-groupe propre de G (c'est-à-dire distinct de G), on écrit souvent^[4] $\ H < G$ .

Caractérisation

H est un sous-groupe de G si et seulement si :

$H \subset G$
$H \ne \varnothing$
$\forall x,y \in H : x \star y^{-1} \in H$

Démonstration

Le sens direct est évident. Pour l'autre sens, H est dans G donc l'associativité reste vraie. H non vide donc il existe un élément $x$ . D'après le troisième point, $x \star x^{-1} = e$ est dans H ce qui montre que l'élément neutre appartient à H. Ensuite, d'après le troisième point, en choisissant $x = e$ et y quelconque, $e \star y^{-1} = y^{-1} \in H$ donc l'inverse de tout élément est dans H. La loi est bien sûr interne car pour tout $x,y \in H$ , en choisissant x et $y - 1$ dans le troisième point, $x \star (y^{-1})^{-1} = x \star y \in H$ . Donc la loi est bien interne. D'où la conclusion.

Exemples :

Dans tout groupe, l'ensemble constitué de l'élément neutre est un sous-groupe.
Dans $(\mathbb{Z},+)$ , toute partie de la forme $n\mathbb{Z}$ avec $n \in \mathbb{N}$ est un sous-groupe. Nous verrons dans un autre chapitre que tout sous-groupe de $(\mathbb{Z},+)$ est de cette forme.

Proposition

L'intersection d'une famille non vide de sous-groupes est un sous-groupe.

Démonstration

Soient $(H_i)_{i\in I}$ une famille non vide de sous-groupes de (G,*). (On suppose cette famille non vide pour que son intersection soit définie.)

L'élément neutre appartient à tous les sous-groupes, donc appartient à l'intersection.
Si x,y appartiennent à l'intersection, alors pour tout $i \in I$ , on a que x et y appartiennent à $H i$ , donc x*y appartient à $H i$ . Comme c'est vrai pour tout i, x*y appartient à l'intersection.
Si x appartient à l'intersection, alors pour tout i, on a que x appartient à $H i$ , donc x admet un inverse $x - 1$ dans $H i$ . L'inverse d'un élément étant unique, $x - 1$ appartient à l'intersection.

Une union de sous-groupes n'est pas toujours un sous-groupe. (Par exemple, dans $\mathfrak{S}_3$ ,

{i d,(12)}

groupe,

{(i d,(13)}

groupe mais l'union

{i d,(12),(13)}

n'est pas un groupe car

(13)(12) = (123)

.) Voir dans les exercices à quelle condition la réunion de deux sous-groupes est un sous-groupe.

[modifier] Homomorphismes

Définition

Un homomorphisme de groupes, parfois appelé morphisme de groupes, est une application $f : G \rightarrow H$ , où $(G,*)\,$ et $(H,\star)$ sont des groupes, vérifiant :

$\forall x,y \in G : f(x*y) = f(x) \star f(y)$

Remarques :

Un homomorphisme d'un groupe G dans lui-même est appelé endomorphisme (de groupe) de G.
Si un homomorphisme $f : G \rightarrow H$ est bijectif, on parle d'isomorphisme de groupes. (On montre qu'alors $f - 1$ est également un morphisme de groupes).
Un isomorphisme d'un groupe G sur lui-même est appelé un automorphisme de G.

Proposition

Un homomorphisme de groupes applique élément neutre sur élément neutre.

Démonstration. Soient G et H deux groupes, notés multiplicativement, soit f un homomorphisme de G dans H. Il s'agit de prouver que f(1) = 1 (où, évidemment, le premier 1 désigne le neutre de G et où le second désigne le neutre de H). De $1 \cdot 1 = 1$ résulte $f(1 \cdot 1) = f(1),$ ce qui, puisque f est un homomorphisme, peut s'écrire $f(1) \cdot f(1) = f(1),$ ou encore $f(1) \cdot f(1) = 1 \cdot f(1).$ Puisque tout élément d'un groupe est simplifiable, f(1) est simplifiable dans G, donc f(1) = 1 comme annoncé.

Rappelons que selon les conventions sur la préséance des évaluations, f(x)^-1 désigne ( f(x) )^-1. Cela étant, nous avons la

Proposition

Soit f un homomorphisme d'un groupe G dans un groupe H. Pour tout élément x de G, f(x^-1) = f(x)^-1.

Démonstration. De l'égalité x x^-1 = 1 résulte f(x x^-1) = f(1). Puisque f est un homomorphisme, le premier membre est égal à f(x) f(x^-1); d'autre part, d'après le précédent théorème, le second membre est égal à 1. nous avons donc f(x) f(x^-1) = 1, ce qui, d'après un précédent théorème, entraîne que f(x^-1) est l'inverse de f(x).

Soient G, H et K trois groupes. Il existe évidemment un isomorphisme de G sur lui-même, car la transformation identique est un tel isomorphisme. S'il existe un isomorphisme de G sur H, il existe un isomorphisme de H sur G (l'inverse de n'importe quel isomorphisme de G sur H). Enfin, s'il existe un isomorphisme f de G sur H et un isomorphisme g de H sur K, alors il existe un isomorphisme de G sur K, car $g \circ f$ est un tel isomorphisme. Ceci montre que la relation « il existe un isomorphisme de G sur H » est une relation d'équivalence entre groupes.

Définition

Deux groupes sont dits isomorphes s'il existe un isomorphisme de groupes de l'un sur l'autre.

D'après ce qui précède, la relation « être des groupes isomorphes » est une relation d'équivalence. On peut considérer que deux groupes isomorphes ont la même structure de groupe, qu'on passe de l'un à l'autre par un changement de notation.

Nous écrirons $G \approx H$ ou encore $G \cong H$ pour exprimer que deux groupes G et H sont isomorphes.

Exemples d'homomorphismes.

1) Si G et H sont des groupes, l'application de G dans H qui envoie tout élément de G sur l'élément neutre de H est un homomorphisme de G dans H, qu'on appelle l'homomorphisme trivial de G dans H.

2) Nous avons vu que, dans Z, la multiplication est distributive par rapport à l'addition. On en tire que si n est un élément de Z, l'application $x \mapsto nx$ de Z dans lui-même (multiplication par n) est un endomorphisme de Z.

Exemples d'isomorphismes de groupes.

1) Si G est un groupe, la permutation identique de G est évidemment un automorphisme de G.

2) L'application $n \mapsto -n$ de Z dans lui-même est un automorphisme du groupe (additif) Z. Plus généralement, si G est un groupe commutatif, l'application $x\mapsto x^{-1}$ de G dans lui-même est un automorphisme de G.

3) Automorphismes intérieurs. Soient G un groupe et g un élément de G. L'application $x \mapsto gxg^{-1}$ est un automorphisme de G. (Par exemple, pour montrer que cette application est une permutation, on peut montrer qu'elle admet l'application $x \mapsto g^{-1}xg$ pour réciproque.) Un tel automorphisme est appelé automorphisme intérieur de G.

4) Si X et Y sont des ensembles équipotents, si f est une bijection de X sur Y, l'application $\sigma \mapsto f \circ \sigma \circ f^{-1}$ du groupe symétrique S_X dans le groupe symétrique S_Y est un isomorphisme de S_X sur S_Y. (Pour montrer que c'est une bijection, noter qu'on obtient sa réciproque en remplaçant $\ f$ par $\ f^{-1}$ .) Dans le cas particulier où X et Y sont égaux, f est un élément du groupe S_X et l'isomorphisme en question est un automorphisme intérieur.

L'ensemble des automorphismes d'un groupe G, muni de la composition, forme un groupe.

Si $f:G\rightarrow H$ est un morphisme de groupes, la préimage de l'élément neutre de H, appelée noyau de f, est un sous-groupe de G ; l'image de f est un sous-groupe de H.

Le lecteur vérifiera facilement les deux propositions suivantes :

Proposition

Un homomorphisme est injectif si et seulement si son noyau est réduit à l'élément neutre.

Proposition

Soient f et g deux homomorphismes d'un groupe G dans un groupe H. L'ensemble des éléments x de G tels que f(x) = g(x) est un sous-groupe de G.

[modifier] Puissances d'un élément

Soient G un groupe noté multiplicativement, x un élément de G et n un nombre naturel. On appelle n-ième puissance de x et on note $x n$ le composé d'une séquence de n éléments égaux à x. (Ce composé a été défini au chapitre Lois de composition internes, monoïdes.)
Si le groupe G est noté additivement, on écrit nx plutôt que $x n$ .
En particulier, en notation multiplicative, $x 0 = 1$ , et en notation additive, 0x = 0 (le premier zéro étant celui de Z et le second celui de G).
On étend la définition de $x n$ au cas où n est un entier rationnel négatif en posant, pour r naturel > 0,

x - r = (x r) - 1

.

En notation additive, ceci s'écrit

( - r) x = - (r x)

.

On démontre (par d'assez fastidieuses récurrences et distinctions entre cas positif et négatif) que, pour tous entiers rationnels m et n,

x m + n = x m x n

,

ce qui montre que, pour un x donné, l'application $n \mapsto x^{n}$ de $\mathbb{Z}$ dans G est un homomorphisme.
En notation additive : (m+n)x = mx+nx et, pour un x donné, l'application $n \mapsto nx$ de $\mathbb{Z}$ dans G est un homomorphisme. Si le groupe G est commutatif, alors $(x y) n = x n y n$ (récurrence sur n ou application d'un résultat plus général sur les séquences si n est naturel; passage aux inverses si n est négatif). En notation additive, cela s'écrit $n (x + y) = n x + n y$ . Cela revient à dire que si G est commutatif, alors, pour un entier rationnel n donné, l'application

$x \mapsto x^{n}$

( $x \mapsto nx$ en notation additive)

de G dans lui-même est un endomorphisme.

Théorème

Soient G et H deux groupes et f un homomorphisme de G dans H. Pour tout élément x de G et tout entier rationnel n,

$\ f(x^{n}) = f(x)^{n}$ .

Démonstration. Récurrence sur n pour n positif; passage aux inverses pour n négatif.

[modifier] Multiplication dans Z

Dans le cas particulier où G est le groupe commutatif Z noté additivement, l'application $\mathbb{Z} \times G \rightarrow G : n \mapsto nx$ est une loi de composition interne dans $\mathbb{Z},$ qu'on appelle multiplication dans $\mathbb{Z}$ et qu'on note multiplicativement (par juxtaposition ou au moyen du symbole $\ \cdot$ ). À l'aide des résultats mentionnés dans la section précédente, on peut démontrer les propriétés classiques de la multiplication dans $\mathbb{Z}$ : coïncidence dans $\mathbb{N}$ avec la multiplication dans $\mathbb{N}$ définie en théorie des ensembles, associativité, neutralité de 1, commutativité, distributivité à gauche et à droite par rapport à l'addition. (Nous verrons plus loin qu'en raison de ces propriétés, l'addition et la multiplication font de Z un anneau commutatif.)

Si r et s sont des entiers rationnels, $\ \vert rs \vert = \vert r \ \vert \cdot \vert s \vert$ . On dit qu'un entier rationnel a divise un entier rationnel b s'il existe un entier rationnel c tel que a c = b. Il est clair qu'un entier rationnel a divise un entier rationnel b dans $\mathbb{Z}$ si et seulement si $\ \vert a \vert$ divise $\ \vert b \vert$ dans $\mathbb{N}$ . En particulier, un nombre naturel a divise un nombre naturel b dans $\mathbb{Z}$ si et seulement si a divise b dans $\mathbb{N}$ .

Si G est un groupe, x un élément de G et m, n des entiers rationnels, nous avons

(x m) n = x m n

en notation multiplicative

et

n (m x) = (n m) x

en notation additive.

[modifier] Parties génératrices

Si A est une partie d'un groupe G, l'intersection des sous-groupes de G qui contiennent A est un sous-groupe de G d'après ce qui précède. C'est évidemment le plus petit sous-groupe de G contenant A. On l'appelle le sous-groupe engendré par A et nous le noterons <A>. On dit qu'une partie A d'un groupe G engendre G, ou encore est une partie génératrice de G, si <A> = G.

Description constructive du sous-groupe engendré

Soit A une partie d'un groupe G. Le sous-groupe de G engendré par A est l'ensemble des produits de séquences d'éléments de G où n'apparaissent que des éléments de A ou des inverses d'éléments de A. Autrement dit, c'est l'ensemble des éléments de G qui peuvent se mettre sous la forme

$x_{1} \ldots x_{n}$ ,

n parcourant les nombres naturels ( $\geq 0)$ et les $x i$ parcourant les éléments de $A \cup A^{-1}$ .

Démonstration. Ces éléments de G forment un sous-groupe H de G qui contient A et tout sous-groupe de G qui contient A doit comprendre ces éléments, donc doit contenir H, ce qui prouve la minimalité de H comme sous-groupe contenant A.

Si $A_{1}, \ldots , A_{n}$ sont des parties de G, le sous-groupe de G engendré par $A_{1} \cup \ldots \cup A_{n}$ se désigne aussi comme le sous-groupe de G engendré par $A_{1}, \ldots , A_{n}$ et se note $<A_{1}, \ldots , A_{n}>$ plutôt que $<A_{1} \cup \ldots \cup A_{n}>$ .

Si la partie A de G se réduit à un élément a, on dit « sous-groupe engendré par a » au lieu de « sous-groupe engendré par {a} » et on écrit <a> au lieu de <{a}>. De même, le sous-groupe engendré par la partie finie $\{a_{1}, \ldots , a_{n}\}$ est appelé « sous-groupe engendré par $a_{1}, \ldots , a_{n}$ » et noté $<a_{1}, \ldots , a_{n}>$ . Un groupe est dit monogène s'il est engendré par une partie à un élément.
D'après la caractérisation ci-dessus des éléments de <A>, il est clair que si a est un élément de G, <a> est l'ensemble des éléments de G de la forme $a n$ , n parcourant $\mathbb{Z}$ .

Proposition

Soient $f : G \rightarrow H$ un homomorphisme de groupes et A une partie de G. Désignons par <A> le sous-groupe de G engendré par A. Le sous-groupe de H engendré par f(A) est égal à f(<A>).

Démonstration. D'après la « description constructive » que nous avons donnée de <A>, les éléments de <A> sont les éléments de G de la forme

$a_{1} \ldots a_{n}$ ,

où n parcourt les nombres naturels $\geq 0$ et où $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}$ parcourent $A \cup A^{-1}$ .
Puisque f est un homomorphisme, il en résulte clairement que les éléments de f(<A>) sont les éléments de H de la forme

$f(a_{1}) \ldots f(a_{n})$ ,

où n parcourt les nombres naturels $\geq 0$ et où $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}$ parcourent $A \cup A^{-1}$ .
Autrement dit, f(<A>) est l'ensemble des éléments de H de la forme

$b_{1} \ldots b_{n}$ ,

où n parcourt les nombres naturels $\geq 0$ et où $b_{1}, b_{2}, \ldots b_{n}$ parcourent $f(A \cup A^{-1}) = f(A) \cup f(A)^{-1}$ .
D'après la « description constructive » du sous-groupe engendré, cela revient à dire que f(<A>) est le sous-groupe de H engendré par f(A), ce qui démontre l'énoncé.

Remarque. Il existe des structures mathématiques pour lesquelles on n'a pas de « description constructive » de la sous-structure engendrée. (On en rencontre en théorie de la mesure.) On peut donc trouver que la démonstration qui précède repose sur un aspect un peu adventice du sous-groupe engendré. Voici une démonstration qui n'a pas cet inconvénient.
Puisque l'image d'un sous-groupe par un homomorphisme est un sous-groupe du groupe d'arrivée, f(<A>) est un sous-groupe de H; de plus, puisque $A \subseteq <A>$ , f(<A>) contient f(A). Ainsi, f(<A>) est un sous-groupe de H qui contient f(A). Par minimalité de <f(A)>, nous avons donc

$<f(A)> \subseteq f(<A>)$ .

Prouvons l'inclusion réciproque, à savoir

$f(<A>) \subseteq <f(A)>$ .

Il revient au même de prouver que tout sous-groupe K de H qui contient f(A) contient f(<A>). Or $f - 1 (K)$ est un sous-groupe de G qui contient A, donc, par minimalité de <A>,

$<A> \subseteq f^{-1}(K)$ , donc $f(<A>) \subseteq K$ , ce qui démontre notre argument.

Proposition

Soient f et g deux homomorphismes d'un groupe G dans un groupe H, X une partie génératrice de G. Si f et g coïncident en tout point de X, ils sont égaux.

Démonstration. D'après une précédente proposition, l'ensemble des éléments x de G tels que f(x) = g(x) est un sous-groupe de G. D'après les hypothèses, ce sous-groupe contient la partie génératrice X et est donc égal à G tout entier, ce qui prouve que f = g.

Proposition

Soient G, H deux groupes et X une partie génératrice de G. Un homomorphisme f de G dans H est surjectif si et seulement si f(X) est une partie génératrice de H.

Démonstration. D'après une précédente proposition, <f(X)> = f(<X>), donc, puisque X est une partie génératrice de G (ce qui entraîne <X> = G),

(1) <f(X)> = f(G).

Dire que f est surjectif revient à dire que f(G) = H, autrement dit, d'après (1), que <f(X)> = H, ce qui revient à dire que f(X) est une partie génératrice de H.

[modifier] Opposé d'un groupe

Soit G un groupe, noté multiplicativement (par juxtaposition). La loi de composition $\star$ sur l'ensemble sous-jacent de G définie par :

$x \star y = yx$

est une loi de groupe. Le groupe ainsi défini est appelé le groupe opposé de G, ou l'opposé de G^[5]. L'élément neutre est le même dans les deux groupes et le symétrique d'un élément donné est également le même dans les deux groupes. L'opposé de l'opposé de G est G lui-même. Un groupe est identique à son opposé si et seulement s'il est commutatif. Dans tous les cas, G est isomorphe à son opposé par l'application $x \mapsto x^{-1}$ .
(La considération du groupe opposé nous permettra d'éclaircir les rapports entre actions à gauche et actions à droite d'un groupe sur un ensemble.)

[modifier] Notes et références

↑ Pour le prouver dans le cadre de Bourbaki, où les entiers naturels sont définis comme des cardinaux, on peut dire que si un entier naturel a admet un opposé b, alors a + b = 0, d'où (N. Bourbaki, Théorie des ensembles, Paris, 1998, ch. III, § 3, prop. 13, p. 29) a ≤ 0, d'où, puisque 0 est le plus petit des cardinaux (ib. § 3, p. 25), a = 0.
↑ Voir les détails dans N. Bourbaki, Algèbre, Paris, Hermann, 1970, ch. I, § 2, num. 4 et 5, pp. 17-21.
↑ Voir par exemple J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 30.
↑ Voir par exemple J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 30.
↑ N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 4, n° 1; Paris, Hermann, 1970, p. 29.

Groupe

Lois de composition internes, monoïdes

Classes modulo un sous-groupe

[0] Pour le prouver dans le cadre de Bourbaki, où les entiers naturels sont définis comme des cardinaux, on peut dire que si un entier naturel a admet un opposé b, alors a + b = 0, d'où (N. Bourbaki, Théorie des ensembles, Paris, 1998, ch. III, § 3, prop. 13, p. 29) a ≤ 0, d'où, puisque 0 est le plus petit des cardinaux (ib. § 3, p. 25), a = 0.

[1] Voir les détails dans N. Bourbaki, Algèbre, Paris, Hermann, 1970, ch. I, § 2, num. 4 et 5, pp. 17-21.

[2] Voir par exemple J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 30.

[3] Voir par exemple J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 30.

[4] N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 4, n° 1; Paris, Hermann, 1970, p. 29.

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Groupe (mathématiques)/Groupes, premières notions

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Sommaire

[modifier] Groupe : définition et exemples

[modifier] Extension de la loi aux parties

[modifier] Construction du groupe des entiers relatifs (ou entiers rationnels)

[modifier] Sous-groupes

[modifier] Homomorphismes

[modifier] Puissances d'un élément

[modifier] Multiplication dans Z

[modifier] Parties génératrices

[modifier] Opposé d'un groupe

[modifier] Notes et références

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