Groupe (mathématiques)/Exercice/Théorèmes de Sylow

Si la condition a) est satisfaite, la condition b) l'est, car G admet au moins un p-sous-groupe de Sylow.
Supposons la condition b) satisfaite et prouvons c). Il existe donc un p-sous-groupe de Sylow P de G qui est distingué dans G. D'après la théorie, tout p-sous-groupe de Sylow de G est conjugué de P. Puisque P est distingué, il est son seul conjugué, donc il est le seul p-sous-groupe de Sylow de G, donc la condition c) est satisfaite.
Supposons enfin la condition c) satisfaite et prouvons a). soit P l'unique p-sous-groupe de Sylow de G. Tout conjugué de P est un p-sous-groupe de Sylow de G, donc, vu l'hypothèse c), est égal à P. Donc P est distingué. Puisque, par hypothèse, c'est le seul p-sous-groupe de Sylow de G, la condition a) est satisfaite.

Solution. Supposons que U et W sont conjugués dans G et prouvons qu'ils le sont dans N_G(P), ce qui est évidemment l'essentiel. Il existe un élément g de G tel que gUg^-1 = W. Puisque U est normal dans P, il en résulte que W est sous-groupe normal de gPg^-1. (Un isomorphisme d'un groupe sur un autre transforme les sous-groupes normaux de premier en les sous-groupes normaux du second. Appliquer cela à l'isomorphisme de P sur gPg^-1.) Ainsi, W est normal dans P et dans gPg^-1, donc dans le sous-groupe de G qu'ils engendrent, soit H. Il est clair que P et gPg^-1 sont des sous-groupes de Sylow de H, donc ils sont conjugués dans H, autrement dit il existe un élément h de H tel que hgPg^-1h^-1 = P. Alors et hgUg^-1h^-1 = hWh^-1 = W (cette dernière relation provenant de ce que W est normal dans H). Ainsi, W est conjugué de U par l'élément hg de N_G(P).

Le sous-groupe <x> de G engendré par x normalise P, donc le sous-groupe de G engendré par P et par x est l'ensemble <x> P. Le cardinal de cet ensemble divise (voir la formule du produit démontrée dans le chapitre Produit de groupes) et est donc une puissance de p. Par maximalité des p-sous-groupes de Sylow de G comme sous-groupes de G dont l'ordre est une puissance de p, <x> P est donc égal à P, donc x appartient à P.
On aurait pu dire aussi que <x> est un p-sous-groupe de N_G(P) et est donc contenu dans un p-sous-groupe de Sylow de N_G(P). Or P est évidemment un sous-groupe de Sylow de N_G(P) et c'est le seul, puisqu'il est sous-groupe distingué de N_G(P). Donc x appartient à P.

Soit Q un élément de Syl(P, G). Il est clair que tout élément de P ⋂ Q stabilise Q pour l'opération considérée. Réciproquement, soit x un élément de P qui stabilise Q, prouvons que x appartient à Q (et donc à P ⋂ Q). Dire que x stabilise Q signifie que xQx^-1 = Q, autrement dit que x normalise Q. Comme x a pour ordre une puissance de p (parce qu'il appartient à P), il appartient à Q d'après le point a).

Soit r le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G. Il s'agit de prouver que r est congru à 1 modulo pⁱ. Comme au point b), faisons opérer P sur Syl(p, G) par conjugaison. Si Q est un point fixe pour cette opération, son stabilisateur est P tout entier, donc, d'après le point b), P ⋂ Q = P, d'où P ⊆ Q. Comme P et Q ont le même ordre fini p^m, Q est donc égal à P. Ceci montre que P est le seul point fixe pour l'opération considérée. (On a d'ailleurs prouvé ce fait dans la théorie.)
Posons Q₁ = P et choisissons un système Q₂, ... , Q_s de représentants des orbites non ponctuelles. D'après l'équation aux classes,

r = 1 + [P:Stab(Q₂)] + ... + [P:Stab(Q_s)].

D'après le point b), cela peut s'écrire

(1) r = 1 + [P : P ⋂ Q₂)] + ... + [P : P ⋂ Q_s)].

Puisque Q₂, ... , Q_s sont tous distincts de P, il résulte des hypothèses de l'énoncé que, pour tout i ≥ 2, l'ordre de P ⋂ Q_i divise p^m-i, donc [P : P ⋂ Q_i], égal à , est multiple de pⁱ. La relation (1) montre donc que r est congru à 1 modulo pⁱ, ce qui démontre l'énoncé.

Faire i = m dans l'énoncé du point c).