Groupe (mathématiques)/Exercice/Sous-groupes caractéristiques

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**Sous-groupes caractéristiques**
Leçon : Groupe (mathématiques)

Exercice 11
Chapitre du cours :	Sous-groupes caractéristiques
Cet exercice est de niveau 13.

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Groupe (mathématiques)/Exercice/Sous-groupes caractéristiques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Problème 1

Soient H un groupe non commutatif et K un sous-groupe commutatif de H non contenu dans le centre de H. Puisque K est sous-groupe de H, il est clair que pour tout élément (x, y) de $K \times H$ , (1,x) appartient lui aussi à $K \times H$ . Il est clair aussi que l'application f : $(x,y) \mapsto (1,x)$ est un endomorphisme de $K \times H$ . Montrer que le centre $Z(K \times H)$ de $K \times H$ n'est pas stable pour cet endomorphisme, c'est -à-dire que

$f(Z(K \times H)) \not\subseteq Z(K \times H)$ .

En déduire que le centre d'un groupe n'est pas forcément stable pour tout endomorphisme de ce groupe^[1].

Solution

Comme vu dans un exercice, le centre de $K \times H$ est $Z(K) \times Z(H)$ . Puisque K est commutatif, Z(K) = K, donc le centre de $K \times H$ est $Z(K \times H) = K \times Z(H)$ . Donc

$f(Z(K \times H)) = \{1\} \times K$ .

Puisque, par hypothèse, K n'est pas contenu dans le centre de H, il en résulte que $f(Z(K \times H))$ n'est pas contenu dans $K \times Z(H)$ , autrement dit dans $Z(K \times H)$ , ce qui démontre la première partie de l'énoncé.
Montrons maintenant qu'il existe des H et des K tels que dans l'énoncé. Choisissons un groupe non commutatif H (par exemple le groupe symétrique d'un ensemble d'au moins trois éléments). Puisque H n'est pas commutatif, son centre n'est pas égal à H tout entier. Choisissons un élément a de H qui n'appartient pas au centre de H. Le sous-groupe <a> de H engendré par a est commutatif et n'est pas contenu dans le centre de H, donc il convient pour K. Compte tenu de la première partie de la solution, nous avons prouvé que le centre d'un groupe G n'est pas forcément stable par tout endomorphisme de G.

[modifier] Références

↑ Pour ce dernier énoncé, voir N. Bourbaki, Algèbre, ch I, § 5, exerc. 22, Paris, 1970, pp. 53 et 132.

[0] Pour ce dernier énoncé, voir N. Bourbaki, Algèbre, ch I, § 5, exerc. 22, Paris, 1970, pp. 53 et 132.

[1]

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