Groupe (mathématiques)/Exercice/Sous-groupe distingué, groupe quotient
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| Exercice 4 | |||
| Leçon : Groupe (mathématiques) | |||
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| Chapitre du cours : | Sous-groupe distingué et groupe quotient | ||
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Cet exercice est de niveau 13. |
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Groupe (mathématiques)/Exercice/Sous-groupe distingué, groupe quotient », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
[modifier] Problème 1
Prouver que tout sous-groupe d'indice 2 est distingué.
Soit H un sous-groupe d'indice 2 du groupe G. Les classes à gauche de G suivant H sont en quantité 2, donc il est clair que ces classes à gauche sont H et la partie complémentaire de H dans G. De même, les classes à droite suivant H sont H et la partie complémentaire de H dans G. Ainsi, les classes à gauche et les classes à droite suivant H sont identiques, donc H est distingué.
[modifier] Problème 2
Soient G un groupe et 
une famille de sous-groupes de G. On désigne par H le sous-groupe de G engendré par les Hi. Prouver que
et que l'inclusion réciproque n'est pas forcément vraie.
Prouvons la relation (1). Soit g un élément de G qui normalise tous les Hi; il s'agit de prouver que g normalise H. Désignons par σg l'automorphisme 
de G. Il s'agit de prouver que H est invariant par σg. Or σg(H) est le sous-groupe de G engendré par les σg(Hi); puisque g normalise tous les Hi, les σg(Hi) sont les Hi. Donc σg(H) est le sous-groupe de G engendré par les Hi, c'est-à-dire est égal à H, donc H est bien invariant par σg comme annoncé.
Nous avons donc prouvé la relation (1) de l'énoncé. Prouvons que l'inclusion réciproque n'est pas vraie. Soit G un groupe admettant un sous-groupe K non distingué. (On sait que le cas se présente.) Posons H1 = K et H2 = G. Le sous-groupe H engendré par H1 et H2 est G tout entier, donc NG(H) est G tout entier, donc NG(H) n'est pas contenu dans 
, car G n'est pas contenu dans NG(H1) = NG(K).
[modifier] Problème 3
Soient G1 et G2 deux groupes, f un homomorphisme surjectif de G1 sur G2. Soit A une partie de G1. Désignons par Dist(A) le sous-groupe distingué de G1 engendré par A. Prouver que f(Dist(A)) est le sous-groupe distingué de G2 engendré par f(A).
Du fait que f est surjectif, il résulte (théorie) que f(Dist(A)) est un sous-groupe distingué de G2. Puisque Dist(A) contient A, f(Dist(A)) contient f(A). Ainsi, f(Dist(A)) est un sous-groupe distingué de G2 contenant f(A). Il reste à prouver qu'il est contenu dans tout sous-groupe distingué de G2 contenant f(A). Soit K un sous-groupe distingué de G2 contenant f(A). Il s'agit de prouver que K contient f(Dist(A)). Puisque K contient f(A), A est contenu dans f-1(K), qui est un sous-groupe distingué de G1. Donc, par minimalité de Dist(A), Dist(A) est contenu dans f-1(K), autrement dit, f(Dist(A)) est contenu dans K, comme annoncé.
