Groupe (mathématiques)/Exercice/Produit semi-direct
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| Exercice 14 | |||
| Leçon : Groupe (mathématiques) | |||
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| Chapitre du cours : | Produit semi-direct | ||
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Cet exercice est de niveau 13. |
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Groupe (mathématiques)/Exercice/Produit semi-direct », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Sommaire |
[modifier] Problème 1 (facile)
Si G est un groupe et H un sous-groupe (non forcément distingué) de G, on dit qu'un sous-groupe K de G est un complément de H (dans G) si H ∩ K = 1 et HK = G (d'où KH = G).
Soient p un nombre premier et G un groupe cyclique d'ordre p2. Soit H le sous-groupe d'ordre p de G. Prouver que H est un sous-groupe distingué de G qui n'a pas de complément dans G.
Puisque tout groupe cyclique est commutatif, H est sous-groupe distingué de G. Supposons que, par absurde, H admette un complément dans G. On a 
, autrement dit p2 = p 
, d'où 
Mais un groupe cyclique n'admet qu'un sous-groupe d'un ordre donné, donc H = K, ce qui est impossible puisque 
[modifier] Problème 2 (facile)
Soient G un groupe fini, H un sous-groupe distingué de G et K un sous-groupe de G. On suppose que 
et que 
. Prouver que G est produit semi-direct de K par H.
Puisque , la formule du produit (démontrée dans le chapitre sur les produits de groupes) donne 
. D'après l'hypothèse , il en résulte 
, donc, puisque G est fini, HK est G tout entier.
[modifier] Problème 3 (facile)
Soient a et b des nombres naturels premiers entre eux, G un groupe fini d'ordre ab. Si H est un sous-groupe distingué d'ordre a de G et K un sous-groupe d'ordre b de G, G est produit semi-direct de K par H.
Puisque 
est sous-groupe de H et de K, son ordre divise l'ordre a de H et l'ordre b de K. Puisque a et b sont premiers entre eux, l'ordre de est donc égal à 1, d'où . Les hypothèses du problème 2 sont donc satisfaites.
[modifier] Problème 4 (facile)
Soit n un nombre naturel ≥ 2, soit τ une transposition ∈ Sn. Prouver que Sn est produit semi-direct de An et du sous-groupe <τ>.
An est un sous-groupe distingué de Sn et, puisque n ≥ 2, d'indice 2 dans Sn, donc 
. Puisque τ est une permutation impaire et que < τ > = {1, τ}, il est clair que An ∩ <τ> = 1 </math>. L'énoncé résulte donc du problème 2.
[modifier] Problème 5 (facile)
Montrer que S6 et Z/6Z sont tous deux produits semi-directs d'un groupe d'ordre 2 par un groupe d'ordre 3. En conclure que si un groupe G1 est produit semi-direct d'un sous-groupe K1 par un sous-groupe distingué H1, si un groupe G2 est produit semi-direct d'un sous-groupe K2 par un sous-groupe distingué H2, si H1 est isomorphe à H2, si K1 est isomorphe à K2, G1 n'est pas forcément isomorphe à G2.
L'assertion relative à S6 résulte du problème 4. L'assertion relative à Z/6Z résulte du fait, démontré dans le chapitre sur les produits de groupes, que si a et b sont deux nombres naturels premiers entre eux, Z/abZ est le produit direct (et a fortiori semi-direct) de son sous-groupe (cyclique) d'ordre a par son sous-groupe (cyclique) d'ordre b. On sait que S6 n'est pas commutatif et que Z/6Z l'est, donc ces deux groupes ne sont pas isomorphes; comme deux groupes d'ordre 2 (resp. d'ordre 3) sont toujours isomorphes, ceci achève la solution.
