Groupe (mathématiques)/Exercice/Produit de groupes

Prouvons que le centre de est le produit des centres de G et de H. Prouvons tout d'abord que est contenu dans le centre de . Il s'agit de prouver que si x appartient au centre de G et y au centre de H, (x,y) commute avec tout élément (g,h) de . Nous avons (x,y) (g,h) = (xg, yh). Puisque x appartient au centre de G, xg peut être remplacé par gx; de même, puisque y appartient au centre de H, yh peut être remplacé par hyx. nous avons donc (x,y) (g,h) = (gx, hy), ce qui peut s'écrire (x,y) (g,h) = (g,h) (x,y), ce qui montre bien que (x,y) commute avec tout élément (g,h) de . Nous avons donc prouvé que est contenu dans le centre de . Prouvons l'inclusion réciproque. Il s'agit de prouver que si un élément (x, y) de commute avec tout élément de , alors x commute avec tout élément de G et y avec tout élément de H. Soit g un élément de G. Par hypothèse, (x, y) commute avec (g, 1), donc x commute avec g. De même, si h est un élément de H, (x, y) commute avec (1, h), donc y commute avec h.

À tout élément g de G, faisons correspondre la famille ; il est clair que nous définissons ainsi un homomorphisme de G dans . Si un élément g de G appartient au noyau de cet homomorphisme, gG_i est l'élément neutre de G/G_i pour tout i, autrement dit, g appartient à chaque G_i. Par hypothèse, ceci entraîne g = 1, donc notre homomorphisme est injectif, donc G est isomorphe à l'image de cet homomorphisme.

Pour chaque élément j de I, désignons par f_j la j-ième injection canonique de dans . D'après la théorie, les engendrent . Pour chaque j, engendre , donc les engendrent . D'autre part, puisque, pour chaque j, comprend l'élément neutre de , il est clair que est contenu dans , qui est donc une partie génératrice de .

Prendre tous les égaux à un même groupe monogène non trivial G, choisir un générateur g de G et prendre toutes les parties égales à . Le sous-groupe de engendré par est la diagonale de (c'est-à-dire l'ensemble des éléments de dont toutes les composantes sont égales) et n'est donc pas tout entier (si I compte au moins deux éléments).

G admet au moins un sous-groupe qui est produit direct d'une famille de groupes d'ordre 2, à savoir le sous-groupe 1 (qui est produit direct de la famille vide de sous-groupes de G). Parmi les sous-groupes de G qui sont produits directs de sous-groupes d'ordre 2, choisissons-en un, soit H, dont l'ordre est maximal. Il s'agit de prouver que H = G. Supposons que, par absurde, H ne soit pas G tout entier. Choisissons un élément x de G qui n'appartient pas à H. Par hypothèse, x² = 1, donc le sous-groupe <x> de G engendré par x est {1, x}, donc <x> ⋂ H = 1. D'autre part, les hypothèses de l'énoncé entraînent que G est commutatif (exercice sur le premier chapitre), donc, d'après ce qui précède, <x> H est produit direct de <x> et de H. Comme H est produit direct de sous-groupes d'ordre 2, il en résulte (« associativité » de la somme restreinte interne) que <x> H est lui aussi produit direct de sous-groupes d'ordre 2, ce qui contredit l'hypothèse de maximalité sur l'ordre de H. La contradiction prouve que H = G, ce qui, comme nous l'avons vu, prouve l'énoncé.
Remarque. Nous avons vu que dans les hypothèses de l'énoncé, G est commutatif. Dès lors, puisque, par hypothèse, x² = 1 pour tout élément x de G, G se munit naturellement d'une structure d'espace vectoriel sur le corps à deux éléments. Comme tout espace vectoriel admet une base, on en tire facilement l'énoncé, et même que G, si on ne le suppose pas fini, est somme restreinte d'une famille de groupes d'ordre 2.