Groupe (mathématiques)/Exercice/Lois de composition internes, monoïdes
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| Exercice 1 | |||
| Leçon : Groupe (mathématiques) | |||
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Cet exercice est de niveau 13. |
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Groupe (mathématiques)/Exercice/Lois de composition internes, monoïdes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
[modifier] Problème 1
Soit 
une loi de composition interne dans un ensemble E. On appelle neutre à gauche pour cette loi un élément e de E tel que, pour tout élément x de E, 
On appelle neutre à droite pour cette loi un élément e de E tel que, pour tout élément x de E, 
a) Prouver que si la loi admet un neutre à gauche et un neutre à droite, elle admet un élément neutre et que cet élément neutre est l'unique neutre à gauche et l'unique neutre à droite.
Soient e1 un neutre à gauche et e2 un neutre à droite. Prouvons que e1 = e2. Puisque e1 est neutre à gauche, le composé 
est égal à e2. Puisque e2 est neutre à droite, le même composé est égal à e1. Il en résulte que e1 et e2 sont égaux. Donc, si nous posons e = e1 = e2, e est un élément neutre. Le premier raisonnement tenu dans la démonstration prouve que tout neutre à gauche est égal à e2 = e, donc e est le seul neutre à gauche. De même, il est le seul neutre à droite.
b) Donner un exemple de loi de composition interne associative qui admet plusieurs neutres à gauche et n'admet aucun neutre à droite.
Soit E un ensemble d'au moins deux éléments. Définissons sur E une loi de composition interne par
pour tous éléments a, b de E.
Cette loi est associative car pour tous éléments x, y et z de E, 
et 
sont tous deux égaux à z. Il est clair que tout élément de E est neutre à gauche. Comme E est supposé avoir au moins deux éléments, il admet donc au moins deux neutres à gauche. D'après le point a), il n'admet donc pas de neutre à droite, ce qu'on peut évidemment montrer plus directement.
[modifier] Problème 2
Soient M un monoïde, noté multiplicativement, et x un élément de M. On dit qu'un élément x' de M est un symétrique à gauche de x si x' x = 1. (Définition analogue pour un symétrique à droite.) Prouver que si tout élément de M admet un symétrique à gauche, tout élément de M admet un symétrique (ce qui, comme nous le verrons au chapitre suivant, fait de M un groupe). Indication : pour un élément donné x de M, considérer un symétrique à gauche d'un symétrique à gauche de x.
Soit x un élément de M. Il s'agit de prouver que x admet un symétrique. Par hypothèse, il admet un symétrique à gauche, donc il existe un élément x' de M tel que
- (1) x' x = 1.
Par hypothèse, x' admet lui aussi un symétrique à gauche, donc il existe un élément x'' de M tel que
- (2) x'' x' = 1.
En vertu de l'associativité, nous avons
- (3) (x'' x') x = x'' (x' x).
Puisque x'' x' = x' x = 1, la relation (3) peut s'écrire x = x''. Nous pouvons donc remplacer x'' par x dans (2). Nous obtenons ainsi x x' = 1, ce qui, joint à (1), montre que x' est symétrique de x, d'où notre thèse.
