Groupe (mathématiques)/Exercice/Groupes résolubles

Le groupe dérivé de S₃ est A₃. Comme A₃ est un groupe d'ordre 3, il est commutatif, donc son dérivé est réduit à l'élément neutre. Ceci prouve que S₃ est résoluble de classe 2.

Supposons a) et prouvons b). Soit G un groupe fini simple non commutatif. Il s'agit de prouver que l'ordre de G est pair. D'après une remarque faite dans la théorie, G n'est pas résoluble. Vu notre hypothèse a), il est donc d'ordre pair.
Réciproquement, supposons b) et prouvons a). Supposons que, par absurde, a) ne soit pas satisfaite. Il existe donc au moins un groupe fini d'ordre impair non résoluble. Choisissons-en un d'ordre minimal, soit G, et prouvons que G est simple. Dans le cas contraire, G admet un sous-groupe distingué H distinct de 1 et de G. Alors H et G/H sont deux groupes finis dont les ordres sont impairs et strictement inférieurs à celui de G. Par minimalité de l'ordre de G, les groupes H et G/H sont donc résolubles, donc (théorie) G est résoluble, ce qui contredit les hypothèses. La contradiction obtenue prouve que G est simple. Ainsi, G est un groupe fini simple d'ordre impair et non résoluble, et donc non commutatif. Ceci contredit l'hypothèse b). La contradiction obtenue prouve a).

Récurrence facile sur n. L'énoncé est banal pou n = 0. Supposons-le vrai pour un nombre naturel n et prouvons qu'il reste vrai si on y remplace n par n + 1. Par hypothèse de récurrence, nous avons donc

En égalant les dérivés des deux membres, nous trouvons

Nous avons vu dans les exercices que le dérivé d'un produit fini de groupes est le produit des dérivés des facteurs, donc l'égalité que nous avons obtenue peut s 'écrire

ce qui prouve la thèse par récurrence.

Soit n un nombre naturel. D'après le point a), la condition

équivaut à

ce qui équivaut à ce que, pour tout i, Dⁿ(G_i) = 1, ce qui équivaut à ce que, pour tout i, on ait n ≥ c_i, ce qui équivaut à n ≥ c. Ainsi, la relation

a lieu si et seulement n ≥ c, ce qui prouve bien que le groupe est résoluble de classe c.

C'est vrai si G est commutatif. En effet, soit alors {a₁, ... a_n} une partie génératrice finie de G. Par hypothèse, chaque a_i est d'ordre fini r_i. Puisque G est commutatif, on montre facilement que tout élément de G est de la forme

avec s₁, ... , s_n entiers rationnels. Puisque, pour chaque i, a_i est d'ordre fini r_i, nous pouvons prendre s_i tel que 0 ≤ s_i < r_i. Il en résulte clairement que G est fini.
Nous avons donc prouvé que l'énoncé est vrai dans le cas particulier où G est commutatif. Passons au cas général en raisonnant par récurrence sur la classe de résolubilité n de G. Si n = 0, G = 1, donc l'énoncé est vrai dans ce cas. Supposons que n soit un nombre naturel ≥ 0 tel que l'énoncé soit vrai pour tout groupe résoluble de classe n et prouvons que l'énoncé est vrai pour tout groupe résoluble de classe n + 1. Soit G un groupe résoluble de classe n + 1. Le groupe G/D(G) est commutatif. De plus, il est clair que ce groupe admet lui aussi une partie génératrice finie (par exemple l'image canonique d'une partie génératrice finie de G) et que tout élément de G/D(G) est d'ordre fini. (D'après le chapitre Groupes monogènes, ordre d'un élément, l'ordre de l'image canonique d'un élément x de G divise l'ordre de x.) D'après la première partie de la démonstration, G/D(G) est donc fini. D'après un théorème démontré au chapitre Classes modulo un sous-groupe, tout sous-groupe de type fini d'un sous-groupe de type fini est lui-même de type fini, donc D(G) est de type fini. En outre, puisque D(G) est un sous-groupe de G, tout élément de D(G) est d'ordre fini. Enfin, puisque G est de classe de résolubilité n + 1 > 0, D(G) est résoluble de classe n. Par hypothèse de récurrence, D(G) est donc fini. Puisque nous avons vu que G/D(G) est fini, G est fini, ce qui prouve l'énoncé.