Groupe (mathématiques)/Exercice/Groupes nilpotents

Désignons par φ l'homomorphisme canonique de G sur G/Cⁿ. Nous avons Cⁿ(G/Cⁿ(G)) = Cⁿ(φ(G)) = φ(Cⁿ(G)) et le dernier membre est réduit à l'élément neutre de G/Cⁿ(G), d'où l'énoncé.

Il s'agit de prouver que pour tout i ≥ 1 tel que Cⁱ(G/Cⁿ(G)) soit réduit à l'élément neutre, i ≥ n. Comme au point a), désignons par φ l'homomorphisme canonique de G sur G/Cⁿ. L'hypothèse Cⁱ(G/Cⁿ(G)) = 1 peut s'écrire Cⁱ(φ(G)) = 1, ou encore φ(Cⁱ(G)) = 1, autrement dit Cⁱ(G) ⊆ Cⁿ(G). Par hypothèse, C^j(G) ⊋ Cⁿ(G) pour tout j < n, donc i ≥ n.

Les hypothèses du point b) sont satisfaites.

Preuve par récurrence sur n. C'est banalement vrai pour n = 1. Supposons que ce soit vrai pour un nombre naturel n et prouvons que c'est vrai pour n + 1. Par hypothèse de récurrence, nous avons

d'où, en appliquant aux deux membres,

Nous avons vu dans les exercices sur le chapitre Commutateurs, groupe dérivé que si est une famille finie de groupes, et deux familles telles que pour tout i, A_i et B_i soient des sous-groupes de G_i, alors

Notre relation (1) peut donc s'écrire

autrement dit

ce qui démontre la thèse par récurrence sur n.

Soit n un nombre naturel ≥ 0. D'après le problème précédent, la relation

équivaut à la relation

,

qui équivaut à ce que, pour tout i, n soit ≥ c_i. La relation

a donc lieu si et seulement si n ≥ c, ce qui prouve l'énoncé.

Remarque. Voir une démonstration différente dans le cours en ligne de K. Igusa, Math 101a (Algebra I), théor. 7.9, p. 21.

Supposons d'abord qu'il existe un nombre naturel r tel que ζ_r(G) = G. Prouvons par récurrence sur i que pour tout i tel que 1 ≤ i ≤ r + 1, Cⁱ(G) ⊆ ζ_r+1-i(G). Pour i = 1, cela résulte de l'hypothèse ζ_r(G) = G. Supposons que ce soit vrai pour un i ≤ r et prouvons que c'est vrai pour i + 1.
Par hypothèse de récurrence, Cⁱ(G) ⊆ ζ_r+1-i(G), donc (G,Cⁱ(G)) ⊆ (G,ζ_r+1-i(G)), c'est-à-dire Cⁱ⁺¹(G) ⊆ (G,ζ_r+1-i(G)). D'après la remarque 3) ci-dessus (selon laquelle (G, K) ⊆ H), le second membre est contenu dans ζ_r-i(G). Donc Cⁱ⁺¹(G) ⊆ ζ_r-i(G), de sorte que nous sommes bien passés de i à i + 1. Nous avons donc prouvé par récurrence sur i que pour tout i tel que 1 ≤ i ≤ r + 1, Cⁱ(G) ⊆ ζ_r+1-i(G). En faisant i = r + 1, nous trouvons C^r+1(G) ⊆ ζ₀(G) = 1, d'où C^r+1(G) = 1, ce qui montre que G est nilpotent et que si n désigne sa classe de nilpotence, alors n ≤ r.
Réciproquement, supposons que G soit nilpotent de classe n. Nous avons donc Cⁿ⁺¹(G) = ζ₀(G). Prouvons par récurrence sur i que, pour tout i tel que 0 ≤ i ≤ n, C^n+1-i(G) ⊆ ζ_i(G). Supposons que ce soit vrai pour un nombre i ≤ n - 1 et prouvons que c'est vrai avec i + 1 au lieu de i. L'hypothèse de récurrence C^n+1-i(G) ⊆ ζ_i(G) peut s'écrire (G, C^n-i(G))⊆ ζ_i(G). D'après la remarque 3) ci-dessus (maximalité de K), nous avons donc C^n-i(G) ⊆ ζ_i+1(G), de sorte que nous sommes bien passés de i à i + 1. Nous avons donc prouvé par récurrence sur i que, pour tout i tel que 0 ≤ i ≤ n, C^n+1-i(G) ⊆ ζ_i(G). En faisant i = n, nous trouvons G ⊆ ζ_n(G), autrement dit ζ_n(G) = G, donc il existe bien un r ≥ 0 tel que ζ_r+1(G) = G et le plus petit de ces nombres r est ≤ n, où n désigne la classe de nilpotence de G.
Nos deux résultats combinés fournissent l'énoncé.

C'est banal pour n = 1. Supposons (hypothèse de récurrence) que ce soit vrai pour un nombre naturel n et prouvons que c'est vrai pour n + 1. Par hypothèse de récurrence, Cⁿ(G) est le sous-groupe distingué de G engendré par X_n. Nous avons vu dans les exercices de la série Commutateurs, groupe dérivé que si X est une partie génératrice de G et Y une partie quelconque de G, si Dist(Y) désigne le sous-groupe distingué de G engendré par Y, alors (G, Dist(Y)) est le sous-groupe distingué de G engendré par les commutateurs (x, y), où x parcourt X et y parcourt Y. En faisant Y = X_n, nous trouvons que (G, Dist(X_n)) est le sous-groupe distingué de G engendré par les commutateurs (x, y), où x parcourt X et où y parcourt X_n. Par hypothèse de récurrence, Dist(X_n = Cⁿ(G). D'autre part, l'ensemble des commutateurs (x, y), où x parcourt X et où y parcourt X_n est X_n+1. Nous avons donc prouvé que (G, Cⁿ(G)), autrement dit Cⁿ⁺¹(G), est le sous-groupe distingué de G engendré par X_n+1, ce qui démontre l'énoncé par récurrence sur n.

Désignons par φ l'homomorphisme canonique de G sur G/Cⁿ⁺¹(G). D'après le point a) et un théorème qui a été démontré dans un exercice de la série Sous-groupe distingué, groupe quotient,

(1) le sous-groupe distingué de G/Cⁿ⁺¹(G) engendré par φ(X_n) est φ(Cⁿ(G)) = Cⁿ(G)/Cⁿ⁺¹(G).

Mais le groupe Cⁿ(G)/Cⁿ⁺¹(G) est contenu dans le centre de G/Cⁿ⁺¹(G) (voir théorie, chapitre Groupes nilpotents), donc le sous-groupe <φ(X_n)> de G/Cⁿ⁺¹(G) engendré par φ(X_n) est contenu dans ce centre, donc est un sous-groupe distingué de G/Cⁿ⁺¹(G), donc est égal au sous-groupe distingué de G/Cⁿ⁺¹(G) engendré par X_n. Notre résultat (1) signifie donc que <φ(X_n)> = Cⁿ(G)/Cⁿ⁺¹(G), ce qui démontre l'énoncé.

Puisque G est nilpotent de classe n, Cⁿ⁺¹(G) = {1}. Soit φ l'homomorphisme canonique de G sur G/Cⁿ⁺¹(G) = G/{1}. D'après le point b), φ(X_n) est une partie génératrice de φ(Cⁿ(G)) = Cⁿ(G)/{1}. Comme, dans le présent cas, l'homomorphisme φ est un isomorphisme de G sur G/{1}, il en résulte que X_n est une partie génératrice de Cⁿ(G).

Dire que G est nilpotent de classe ≤ n revient à dire que Cⁿ⁺¹(G) = 1. Il s'agit donc de prouver que X_n+1 = 1 si et seulement si Cⁿ⁺¹(G) = 1.
Supposons d'abord Cⁿ⁺¹(G) = 1. Puisque (par exemple d'après le point a)) X_n+1 est contenu dans Cⁿ⁺¹(G) = 1, on a alors X_n+1 = 1.
Réciproquement, supposons X_n+1 = 1. D'après le point a), Cⁿ⁺¹(G) = 1 est le sous-groupe distingué de G engendré par X_n+1 = 1, donc Cⁿ⁺¹(G) = 1.

Par définition des commutateurs, (ab, c) = b^-1 a^-1 c^-1 abc = b^-1 (a, c) b (b, c).
Puisque c appartient à ζ₂(G), (a, c) et (b, c) appartiennent au centre de G, donc on peut permuter les facteurs (a, c) et b^-1, d'où l'énoncé.

D'après un précédent problème, C^n-1(G) est contenu dans ζ₂(G). Il suffit donc d'appliquer le point a).

Il est clair qu'il suffit de le prouver dans le cas où G est nilpotent de classe n. Si n = 0, G est réduit à l'élément neutre et l'énoncé est banalement vrai. Si G = 1, G est commutatif et on montre facilement que, pour tout élément y de G, y^r = 1, d'où la thèse dans ce cas. Reste le cas où n ≥ 2. Puisque G est nilpotent de classe n, Cⁿ(G) est contenu dans le centre de G, donc est commutatif. De plus, d'après le problème 5, c), Cⁿ(G) est engendré par X_n (où les X_n sont définis à partir de X comme au problème 5, a) ). Il suffit donc de prouver que y^r = 1 pour tout élément y de X_n. Or tout élément y de X_n est de la forme y = (a, c) avec a dans X et b dans X_n-1. Puisque X_n-1 est contenu dans C^n-1(G), nous avons, d'après le problème 6, b), y^r = (a^r, c) = (1, c) = 1. Comme nous l'avons vu, cela prouve l'énoncé.

Puisque G est nilpotent de classe ≤ n, son sous-groupe <X> engendré par X est nilpotent de classe ≤ n. Donc, quitte à remplacer G par X, nous pouvons supposer que X est une partie génératrice de X. (La thèse porte alors sur tout élément y de G.)
Soit n un nombre naturel. Supposons (hypothèse de récurrence) que l'énoncé soit vrai pour tout nombre naturel < n et prouvons-le pour n.
Soit c la classe de nilpotence de G; donc c ≤ n. Si c < n, alors, par hypothèse de récurrence,

d'où, par élévation à la puissance r^n-c,

ce qui prouve l'énoncé dans le cas où c < n.
Soit maintenant c = n. Autrement dit, G est nilpotent de classe n exactement.
Si n = 0, le groupe G est réduit à l'élément neutre et l'énoncé est banalement vrai.
Supposons maintenant n ≥ 1. Nous pouvons considérer Cⁿ(G). D'après le problème 1, C/Cⁿ(G) est nilpotent de classe n – 1. Désignons par φ l'homomorphisme canonique de G sur G/Cⁿ(G). Pour tout élément x de X, nous avons φ(x)^r = φ(x^r) = φ(1) = 1, autrement dit la r-ième puissance de tout élément de φ(X) égale l'élément neutre de G/Cⁿ(G). Puisque X est une partie génératrice de G, φ(X) est une partie génératrice de φ(G) = G/Cⁿ(G). Donc, par hypothèse de récurrence, la puissance (r^n-1)-ième de tout élément de G/Cⁿ(G) est égale à l'élément neutre de G/Cⁿ(G). Cela revient à dire que, pour tout élément y de G,

D'après le point a), nous avons donc

pour tout élément y de G, autrement dit

pour tout élément y de G, ce qui achève de prouver l'énoncé par récurrence sur n.

Il est clair que l'invers d'un élément d'ordre fini de G est un élément d'ordre fini, donc tout se ramène à prouver que le produit ab de deux éléments a et b d'ordres finis de G est d'ordre fini. Si r désigne le plus petit commun multiple des ordres de a et b, si X désigne l'ensemble {a, b}, alors x^r = 1 pour tout élément x de X, avec r > 0. Il résulte donc du point c) que tout élément du sous-groupe <X> de G engendré par X est d'ordre fini. C'est vrai en particulier pour l'élément ab de X, ce qui démontre notre argument.

Soit X une partie finie de H. Il s'agit de prouver que le sous-groupe <X> de G engendré par X est fini. Puisque X est finie, nous pouvons considérer le plus petit commun multiple r des ordres des éléments de X. Nous avons alors x^r = 1 pour tout élément x de X, avec r > 0, donc, d'après le point b), tout élément de <X> est d'ordre fini. D'autre part, puisque X est finie, <X> est de type fini. Nous avons vu dans les exercices sur les groupes résolubles que tout groupe résoluble de type fini dont tous les éléments sont d'ordre fini est fini, donc <X> est fini, comme annoncé.