Groupe (mathématiques)/Exercice/Groupes monogènes, ordre d'un élément

Soient G un groupe, x et y deux éléments de G. Prouvons que xy et yx ont le même ordre.

Soit n un nombre naturel > 0 tel que (xy)ⁿ = 1 (à supposer qu'un tel n existe). Nous avons donc :

,

le premier membre étant formé de n facteurs xy. Cela peut encore s'écrire :

,

avec n-1 facteurs yx. En multipliant à gauche par x⁻¹ et à droite par x, nous trouvons :

,

avec maintenant n facteurs yx. Comme le second membre est égal à 1, nous avons donc (yx)ⁿ = 1.

Nous avons ainsi prouvé que, pour tout nombre naturel n > 0 tel que (xy)ⁿ = 1, on a aussi (yx)ⁿ = 1. De même, pour tout nombre naturel n > 0 tel que (yx)ⁿ = 1, on a aussi (xy)ⁿ = 1.

Ainsi, l'ensemble (éventuellement vide) des nombres naturels n > 0 tels que (xy)ⁿ = 1 est égal à l'ensemble (éventuellement vide) des nombres naturels n > 0 tels que (yx)ⁿ = 1.

En tenant compte qu'un élément z est d'ordre fini si et seulement si l'ensemble des nombres naturels n > 0 tels que zⁿ = 1 n'est pas vide et que, dans ce cas, l'ordre de z est le plus petit élément de cet ensemble, nous trouvons que xy et yx ont le même ordre, fini ou infini.

Remarque : la considération de la relation de conjugaison dans un groupe nous fournira une démonstration plus élégante.

Soit a l'ordre de x. On peut évidemment se borner au cas où a est fini. Nous avons x^a = 1, d'où, puisque f est un homomorphisme, f(x)^a = 1. D'après la théorie, ceci entraîne que l'ordre de f(x) divise a.

Soit b l'ordre de x. D'après le problème précédent, l'ordre de f(x) divise b. D'autre part, puisque f(x) appartient à H, l'ordre de f(x) divise l'ordre a de H (théorie). Ainsi, l'ordre de f(x) divise à la fois a et b. Par hypothèse, a et b sont premiers entre eux, donc l'ordre de f(x) est égal à 1, autrement dit, f(x) = 1.

D'après le théorème de Bachet-Bézout, il existe des entiers rationnels r et s tels que ar + bs = 1, d'où

,

ce qui peut s'écrire

Par hypothèse, x^a = 1, donc notre résultat peut s'écrire

,

donc l'énoncé est vrai avec y = x^s.

Soit m le ppcm de r et s. Puisque a et b commutent, nous avons

(1) (ab)^m = a^mb^m.

Puisque m est multiple de l'ordre de a, a^m = 1. De même, b^m = 1. Donc la relation (1) donne (ab)^m = 1, donc l'ordre de ab divise m.

Soit a un élément d'ordre fini n > 1 (on sait que le cas se présente). Posons b = a^-1. Alors a et b commutent et dans les notations du point a), r = s = n. Puisque ab = 1, l'ordre de ab est égal à 1 et est donc distinct de ppcm(r, s) = ppcm(n, n) = n.

Soit d l'ordre de ab. D'après le point a), d divise ppcm(r, s). Il suffit donc de prouver que d est multiple de ppcm(r, s). Nous avons (ab)^d = 1, d'où, puisque a et b commutent, a^db^d = 1, d'où a^d = b^-d, donc la valeur commune de a^d et de b^-d appartient à <a> ⋂ <b> = 1, donc a^d = b^d = 1. Il en résulte que d est multiple à la fois de r et de s, donc est multiple de ppcm(r, s).
Remarque. Nous verrons au chapitre Produit de groupes que, sous les hypothèses du point c), le sous-groupe engendré par a et b est la somme directe de <a> et <b>, ce qui permet de rattacher l'énoncé à un fait plus général.

On vérifie facilement que a et b sont d'ordre 2. D'autre part, ab est la permutation qui applique 1 sur 2, 2 sur 3 et 3 sur 1. On vérifie facilement que cette permutation est d'ordre 3, donc l'ordre de ab ne divise pas le ppcm 2 des ordres de a et de b.

Le groupe <a> est d'ordre r et le groupe <b> d'ordre s. Si un élément x de G appartient à <a> ⋂ <b>, l'ordre de x divise à la fois r et s. Puisque r et s sont premiers entre eux, l'ordre de x est donc égal à 1, donc x = 1. Ceci montre que <a> ⋂ <b> = 1. D'après le point c), l'ordre de ab est donc ppcm(r, s). Puisque r et s sont premiers entre eux, leur ppcm est égal à leur produit, donc l'ordre de ab est rs.

Soit G un groupe d'ordre 4. D'après le théorème de Lagrange, l'ordre de tout élément de G divise 4. S'il existe un élément d'ordre 4, G est cyclique et donc commutatif. Dans le cas contraire, x² = 1 pour tout élément x de G, donc G est commutatif d'après un problème de la série Groupes, premières notions.

Puisque H ⋂ K est un sous-groupe de H, son ordre divise p, donc, puisque p est premier, l'ordre de H ⋂ K est égal à 1 ou à p. S'il était égal à p, alors H ⋂ K serait égal à H tout entier et, de même, à K tout entier, donc H et K seraient égaux, ce qui est contraire aux hypothèses. Donc l'ordre de H ⋂ K est égal à 1, autrement dit H ⋂ K = 1.

Tout élément d'ordre p de G appartient à un ensemble H - {1}, où H est un sous-groupe d'ordre p de G (prendre pour H le sous-groupe de G engendré par l'élément en question). Réciproquement, si H est un sous-groupe d'ordre p de G, tout élément de H - {1} est d'ordre p (car l'ordre d'un tel élément divise p et est distinct de 1). Donc l'ensemble des éléments d'ordre p de G est la réunion des ensembles H - {1}, où H parcourt les sous-groupes d'ordre p de G. D'après le point a), ces ensembles H - {1} sont deux à deux disjoints. Comme ils sont tous de cardinal p - 1, l'énoncé en résulte.

Si dx = 0, alors, puisque k est multiples de d, on a évidemment kx = 0. Réciproquement, supposons kx = 0. Alors l'ordre de x divise k. D'autre part, l'ordre de x, comme celui de tout élément de G, divise n. Donc l'ordre de x divise à la fois k et n, donc divise leur pgcd d, donc dx = 0.

D'après le point a), les éléments x de G tels que kx = 0 sont les éléments de G tels que dx = 0. Puisque d divise l'ordre de G, il résulte de la théorie que ces x sont les éléments du sous-groupe d'ordre d de G.