Groupe (mathématiques)/Exercice/Groupes diédraux

Nous savons que G contient un sous-groupe cyclique A d'ordre n tel que tout élément de G n'appartenant pas à A soit d'ordre 2. Prouvons que A est le seul sous-groupe cyclique d'ordre n de G. Soit B un sous-groupe cyclique d'ordre n de G; il s'agit de prouver que B est égal à A. Choisissons un générateur b de B. Ce générateur est d'ordre n ≥ 3, donc n'est pas d'ordre 2, donc appartient à A. Puisque b engendre B, B est donc contenu dans A. Puique A et B ont le même ordre et sont finis, on a donc B = A.

Si n est égal à 1 ou à 2, le groupe D_2n est commutatif, donc son centre est D_2n tout entier.
Supposons maintenant n ≥ 3. D'après l'exercice précédent, D_2n contient un unique sous-groupe cyclique A d'ordre n. Pour tout élément x de A et tout élément y de D_2n - A, y est d'ordre 2 et yxy = x^-1, autrement dit

yxy^-1 = x^-1.

Choisissons un générateur a de A. La précédente égalité est vraie pour x = a, donc yay^-1 = a^-1. Puisque a est d'ordre n ≥ 3, a^-1 est différent de a, donc yay^-1 ≠ a, donc y ne commute pas avec a. Ceci prouve qu'aucun élément y de D_2n - A n'appartient au centre de D_2n. Reste à voir quels éléments de A appartiennent au centre de D_2n. Choisissons un élément b de D_2n - A. Alors A et b engendrent D_2n. Comme A est commutatif, il en résulte qu'un élément x de A appartient au centre de D_2n si et seulement s'il commute avec b. Or bxb^-1 = bxb = x^-1, donc un élément x de A appartient au centre de D_2n si et seulement si x^-1 = x, c'est-à-dire si et seulement si x^-2 = 1, autrement dit si et seulement si x est d'ordre 1 ou 2. Si n est impair, A ne comprend pas d'élément d'ordre 2. Si n est pair, A comprend un seul élément d'ordre 2 (car on a vu au chapitre sur les groupes monogènes que pour tout diviseur d de l'ordre d'un groupe cyclique G, G contient un et un seul sous-groupe d'ordre d).
Nous avons donc prouvé que si n ≥ 3, alors :
1° si n est impair, le centre de D_2n est réduit à l'élément neutre:
2° si n est pair, le centre de D_2n est l'unique sous-groupe d'ordre 2 de l'unique sous-groupe cyclique d'ordre n de D_2n.

Si n ≤ 2, S_n est d'ordre n et ne contient donc pas de sous-groupe isomorphe à D²ⁿ, qui est d'ordre 2n.
Supposons maintenant n ≥ 3. Désignons par γ le cycle (1 2 ... n) et par σ la permutation i ↦ n + 1 - i, autrement dit la permutation (1 n) (2 n-1) ... . Il est clair que γ est d'ordre n, σ d'ordre 2 et que σ γ σ = σ γ σ^-1 = (n n-1 ... 2 1) = γ^-1. Puisque n ≥ 3, il en résulte, d'après une remarque faite dans la partie théorique, que le sous-groupe de S_n engendré par γ et σ est isomorphe à D_2n, d'où l'énoncé dans le cas n ≥ 3.
Remarques. 1° On aurait pu aussi utiliser la version géométrique des groupes diédraux : à chaque isométrie du plan qui conserve globalement les sommets d'un polygone régulier à n sommets, faisons correspondre la permutation de l'ensemble des sommets induite par cette isométrie. Nous définissons ainsi un homomorphisme du groupe diédral D_2n dans le groupe des permutations de l'ensemble des n sommets. Si n ≥ 3, cet homomorphisme est injectif, car si une isométrie a pour image la permutation identique de l'ensemble des sommets, elle fixe trois points non alignés et est donc l'identité (G. Choquet, L'enseignement de la géométrie, Paris, 1971, prop. 45.2, p. 73). Donc D_2n est isomorphe à un sous-groupe du groupe des permutations de l'ensemble des n sommets et est donc isomorphe à un sous-groupe de S_n.
2° On prouve facilement que si n ≥ 3, les n permutations x ↦ x + i (0 ≤ i ≤ n-1) de Z/nZ (« translations ») et les n permutations x ↦ i - x (0 ≤ i ≤ n-1) de Z/nZ (« symétries ») forment un sous-groupe du groupe des permutations de Z/nZ et que ce sous-groupe est isomorphe à D_2n. Ce fait peut être mis en rapport avec la version géométrique des groupes diédraux.

D'après le point a), D₆ est isomorphe à un sous-groupe H de S₃. Comme H et S₃ sont tous deux d'ordre 6, ils sont égaux, donc D₆ est isomorphe à S₃.

Pour que tous les groupes considérés soient multiplicatifs, nous utiliserons le groupe d'ordre 2 formé par la partie {1, - 1} de Z, munie de la multiplication.
Supposons tout d'abord n impair.
Nous savons que D_2n comprend un élément a d'ordre n et un élément b d'ordre 2 n'appartenant pas à <a> tels que bab = a^-1.
Prouvons que (a, -1) est un élément d'ordre 2n de D_2n × {1, -1}. Il est clair que (a, -1)²ⁿ = 1. Si r est un nombre naturel tel que (a, -1)^r = 1, alors a^r = 1 et (-1)^r = 1, donc r est divisible par n et par 2. Puisque nous supposons n impair, r est donc divisible par 2n, ce qui prouve que (a, -1) est d'ordre 2n, comme annoncé. (On montre d'ailleurs facilement que si x est un élément d'ordre fini d'un groupe G et y un élément d'ordre fini d'un groupe H, l'ordre de (x, y) dans le produit direct de G par H est le ppcm des ordres de x et de y.)
D'autre part, (b, 1) est un élément d'ordre 2 de D_2n × {1, -1}. Puisque b n'appartient pas à <a>, il est clair que (b, 1) n'appartient pas à <(a, -1)>. Enfin, (b, 1) (a, -1) (b, 1) = (bab, -1) = (a^-1, -1) = (a, -1)^-1. Puisque D_2n × {1, -1} est d'ordre 4n, nos résultats entraînent que D_2n × {1, -1} est isomorphe à D_4n.
La première partie de l'énoncé est donc démontrée. Soit maintenant n un nombre naturel pair > 0. Si n = 2, D_2n est un groupe de Klein et est donc commutatif, de sorte que son centre est d'ordre 4; si n > 2, il résulte d'un précédent exercice que le centre de D_2n est d'ordre 2. Donc, que n soit égal ou supérieur à 2, le centre de D_2n est d'ordre au mois égal à 2. Le centre de D_2n × {1, -1} est Z(D_2n) × Z({1, -1}) (voir exercices sur les produits de groupes), autrement dit Z(D_2n) × {1, -1} et est donc d'ordre au moins égal à 4. Mais l'ordre de D_2n × {1, -1} est au moins égal à 8, donc > 4, et il résulte d'un exercice ci-dessus que le centre d'un groupe diédral d'ordre > 4 est d'ordre au plus 2. Donc D_2n × {1, -1} n'est pas diédral.