Groupe (mathématiques)/Exercice/Groupes, premières notions

Montrons que le seul élément inversible de est 1. Soit a un élément inversible de . Il s'agit de prouver que a = 1. Puisque a est inversible, il existe un entier naturel b tel que a b = 1. Il est clair que a est différent de 0 (sans quoi a b serait égal à 0 et non à 1). Donc si, par absurde, a est distinct de 1, alors a ≥ 2. D'autre part, la relation a b = 1 entraîne aussi d'où b ≥ 1. De a ≥ 2 et b ≥ 1, on tire ab ≥ 2 (car deux inégalités au sens large de même sens entre cardinaux peuvent se multiplier membre à membre), ce qui contredit l'hypothèse a b = 1. La contradiction obtenue prouve que le seul élément inversible de est 1, donc n'est pas un groupe.
Montrons maintenant que 1 et -1 sont les seuls éléments inversibles de . Soit a un élément inversible de . Il existe donc un élément b de tel que a b = 1, d'où . Nous avons montré que 1 est le seul élément inversible de , donc donc a est égal à 1 ou à -1.

Cette loi n'est pas associative, car par exemple a - (0 - b) est égal à a + b et (a - 0) - b est égal à a - b, et que a + b et a - b sont distincts si b n'est pas nul.

Prouvons d'abord que cette loi est correctement définie, c'est-à-dire que si x et y appartiennent à S, alors 1 + xy n'est pas nul. Dans le cas contraire, nous aurions xy = -1, d'où donc un au moins des nombres et serait ≥ 1, ce qui est impossible, puisque x et y appartiennent tous deux à S et que S est l'ensemble des nombres réels dont la valeur absolue est < 1. La contradiction obtenue prouve que la loi est correctement définie.
Prouvons maintenant que cette loi est bien une loi de composition interne. L'ensemble S étant l'ensemble des nombres réels x tels que , il s'agit de prouver que si x, y sont deux nombres réels tels que et , alors

ce qui équivaut à

ou encore à

Puisque les deux membres de cette inéglité sont positifs, elle équivaut à l'inégalité obtenue en élevant les deux membres au carré, donc notre thèse (1) revient à

x² + 2xy + y² < 1 + 2 xy + :x²y²,

ce qui équivaut à

y²(1 - x²) < 1 - x².

Cette dernière relation est vraie, car l'inégalité stricte y² < 1 (qui provient de ce que y appartient à S) peut être multipliée par le nombre strictement positif 1 - x² (ce nombre est strictement positif parce que x appartient à S). Nous avons donc prouvé que la loi est une loi de composition interne.
Elle est associative, car le calcul montre que si x, y et z sont trois éléments de S, sont tous deux égaux à

Il est clair que 0 est neutre pour la loi et que tout élément x de S admet -x pour symétrique selon cett loi, qui est donc bien une loi de groupe (évidemment commutatif).

Soient H et K deux sous-groupes de G tels que H ∪ K soit un sous-groupe de G. Nous devons prouver qu'un des deux sous-groupes H, K est contenu dans l'autre. Supposons que H ne soit pas contenu dans K et prouvons que K est contenu dans H. Soit k un élément de K. Il s'agit de prouver que k appartient à H.
Puisque H n'est pas contenu dans K, il existe h ∈ H tel que h ∉ K. Puisque H ∪ K est un sous-groupe de G, nous avons
.
D'autre part, puisque h ∉ K et k ∈ K, nous avons hk ∉ K, donc, d'après (1), hk ∈ H, d'où k ∈ H. Comme nous l'avons vu, ceci prouve l'énoncé.

Soient x et y des éléments de G. Il s'agit de prouver que x y = y x. Par hypothèse, (x y)² = 1, autrement dit x y x y = 1. En multipliant à gauche par x et à droite par y, nous trouvons x²y x y² = x y. Par hypothèse, x² et y² peuvent être remplacés par 1, d'où y x = x y.

La permutation x ↦ x^-1 de G est un endomorphisme de G si et seulement si (xy)^-1 = x^-1y^-1 pour tous éléments x, y de G. Cette condition s'écrit encore y^-1x^-1 = x^-1y^-1 pour tous éléments x, y de G. Comme les inverses d'éléments de G sont exactement les éléments de G, cette condition revient à ce que G soit commutatif.

Si x² = 1 pour tout élément x de G, tout élément de G est son propre inverse, donc la permutation x ↦ x^-1 de G est la permutation identique et est donc un endomorphisme. D'après le point a), il en résulte que G est commutatif.

Soient M un monoïde régulier fini et x un élément de M. Il s'agit de prouver que x est inversible. Par hypothèse, x est simplifiable, et en particulier simplifiable à gauche, donc l'application de M dans lui-même est injective. Une application injective d'un ensemble fini dans lui-même est surjective, donc est surjective. En particulier, il existe un élément y de M tel que f_x(y) = 1, où 1 désigne l'élément neutre de M. Autrement dit, il existe un élément y de M tel que xy = 1, donc x admet un inverse à droite. Ceci étant vrai pour tout élément x de M, x^-1 admet un inverse à droite, d'où on tire facilement que x admet un inverse à gauche. (On pourrait aussi considérer l'application de M dans lui-même.) Ainsi, tout élément x de M admet un inverse à droite et un inverse à gauche. D'après la partie théorique, x admet donc un inverse, donc M est un groupe.

Puisque le monoïde S est sous-monoïde d'un groupe et que tout groupe est un monoïde régulier, S est régulier. Puisque, de plus, S est fini par hypothèse, c'est un monoïde régulier fini, donc, d'après le point a), c'est un groupe.