Groupe (mathématiques)/Exercice/Commutateurs, groupe dérivé

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**Commutateurs, groupe dérivé**
Leçon : Groupe (mathématiques)

Exercice 15
Chapitre du cours :	Commutateurs, groupe dérivé
Cet exercice est de niveau 13.

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Groupe (mathématiques)/Exercice/Commutateurs, groupe dérivé », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Problème 1

a) Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Prouver que tout conjugué de H dans G est contenu dans HD(G).

Solution

Soit g un élément de G. Il s'agit de prouver que gHg^-1 est contenu dans HD(G). Soit h un élément de H. Il s'agit de prouver que ghg^-1 appartient à HD(G). Or ghg^-1 = h(h^-1ghg^-1), où le facteur h^-1ghg^-1 appartient à D(G), d'où l'énoncé.

b) En déduire que tout sous-groupe de G qui contient D(G) est distingué dans G.

Solution

Soit H un sous-groupe de G contenant D(G). D'après le point a), tout conjugué de H dans G est contenu dans HD(G). Puisque H est supposé contenir D(G), HD(G) = H, donc tout conjugué de H est contenu dans H, donc H est distingué.

[modifier] Problème 2

a) Soient $(G_{i})_{i \in I}$ une famille finie de groupes, $(A_{i})_{i \in I}$ et $(B_{i})_{i \in I}$ deux familles telles que pour tout i, A_i et B_i soient des sous-groupes de G_i. Prouver que

$(\prod_{i \in I} A_{i}, \prod_{i \in I} B_{i}) = \prod_{i \in I} (A_{i}, B_{i}).$

En particulier, soient G₁ et G₂ deux groupes, A₁ et B₁ deux sous-groupes de G₁, A₂ et B₂ deux sous-groupes de G₂; alors (A₁ × A₂, B₁ × B₂) = (A₁, B₁) × (A₂, B₂).

Solution

Le premier membre est le sous-groupe de $\prod_{i \in I} G_{i}$ engendré par les commutateurs

$((a_{i})_{i \in I})^{-1} ((b_{i})_{i \in I})^{-1} (a_{i})_{i \in I} (b_{i})_{i \in I}$

avec a_i dans A_i et b_i dans B_i pour tout i. Ces commutateurs sont les familles

$(a_{i}^{-1} b_{i}^{-1} a_{i} \ b_{i})_{i \in I}$

avec a_i dans A_i et b_i dans B_i pour tout i et forment donc le produit cartésien

$\prod_{i \in I} \mathrm{Commut}(A_{i}, B_{i}),$

où Commut(A_i, B_i) désigne l'ensemble des commutateurs a^-1b^-1ab avec a dans A_i et b dans B_i. Donc le premier membre de l'énoncé admet le produit cartésien

$\prod_{i \in I} \mathrm{Commut}(A_{i}, B_{i})$

comme partie génératrice.
D'autre part, chaque sous-groupe (A_i, B_i) admet Commut(A_i, B_i) pour partie génératrice. Il est clair que, pour chaque i, Commut(A_i, B_i) comprend l'élément neutre de G_i, autrement dit l'élément neutre du groupe (A_i, B_i), donc, d'après un exercice sur le chapitre des produits de groupes, le groupe produit

$\prod_{i \in I} (A_{i}, B_{i})$

admet le produit cartésien

$\prod_{i \in I} \mathrm{Commut}(A_{i}, B_{i})$

comme partie génératrice.
Ainsi, les deux membres de l'énoncé admettent une même partie génératrice, donc sont égaux.

b) Soit $(G_{i})_{i \in I}$ une famille finie de groupes. Prouver que

$D(\prod_{i \in I} G_{i}) = \prod_{i \in I} D(G_{i}).$

En particulier, si G₁ et G₂ sont deux groupes, D(G₁ × G₂) = D(G₁) × D(G₂).

Solution

Dans la partie a), faire A_i = B_i = G_i pour chaque i.

[modifier] Problème 3

Dans le chapitre Sous-groupes distingués des groupes alternés, on a considéré le sous-groupe V de A₄ formé par l'élément neutre et les trois éléments (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3). Prouver que V est le dérivé de A₄.

Solution

Nous avons vu que V est un sous-groupe distingué de A₄. Le quotient A₄ / V est d'ordre 3, donc commutatif, donc (théorie) le dérivé de A₄ est contenu dans V. Ce dérivé n'est pas réduit à l'élément neutre, car A₄ n'est pas commutatif. Nous avons vu que les seuls sous-groupes distingués de A₄ sont 1, V et A₄, donc le dérivé (qui est distingué dans A₄) ne peut être que V.

[modifier] Problème 4

Le but de cet exercice ^[1]est de prouver que tout élément du groupe alterné A_n est un commutateur d'éléments de S_n.

a) Montrer qu'un élément de S_n est un commutateur d'éléments de S_n si et seulement si c'est le produit de deux permutations ayant la même structure cyclique.

Solution

De façon générale, si G est un groupe, un élément de G est un commutateur si et seulement s'il est le produit de deux éléments de G dont l'un est conjugué de l'inverse de l'autre. Dans e cas où G est le groupe S_n, un élément est toujours conjugué de son inverse (puisqu'ils ont la même structure cyclique). Donc un élément de S_n est un commutateur d'éléments de S_n si et seulement s'il est le produit de deux éléments conjugués, autrement dit de deux permutations ayant la même structure cyclique.

b) Soit $\ \gamma \in S_{n}$ un cycle d'ordre impair. Prouver que $\ \gamma$ est le carré d'une permutation de même support que $\ \gamma$ .

Solution

Nous avons vu dans un exercice sur le chapitre Groupes monogènes, ordre d'un élément que si a et b sont des entiers rationnels premiers entre eux, si un élément x d'un groupe G est tel que $\ x^{a} = 1$ , alors x est la puissance b-ième d'un élément de <x>. En prenant pour G le groupe $\ S_{n}$ , pour x le cycle $\ \gamma$ , pour a l'ordre de $\ \gamma$ et en faisant b = 2, nous trouvons que $\ \gamma$ est de la forme $\ \gamma = \lambda^{2}$ , où $\ \ \lambda$ est une puissance de $\ \gamma$ . (On peut évidemment dire plus directement que $\ \gamma$ est le carré de $\ \gamma^{a+1/2}$ , où a désigne l'ordre de $\ \gamma$ .) On sait que le support d'une puissance d'une permutation est contenu dans le support de cette permutation. Puisque les permutations $\ \gamma$ et $\ \ \lambda$ sont puissances l'une de l'autre, elles ont donc le même support.

c) Soient $\ \alpha = (a_{1}\ a_{2} \ldots \ a_{2r} )$ et $\ \beta = (b_{1}\ b_{2} \ldots \ b_{2s} )$ deux cycles d'ordre pair à supports disjoints. Montrer que $\ \alpha \beta$ est le produit de deux cycles d'ordre r + s + 1 à supports contenus dans la réunion des supports de $\ \alpha$ et de $\ \beta$ . (Indication : regarder la solution.)

Solution

On a

$(a_{1}\ a_{2} \ldots \ a_{2r} )\ (b_{1}\ b_{2} \ldots \ b_{2s} ) =$

$\qquad (a_{1}\ a_{2} \dots a_{r} \ b_{1} \ b_{2} \ldots b_{s+1}) \ (a_{r} \ a_{r+1} \ldots a_{2r} \ b_{s+1} \ldots b_{2s}).$

d) Montrer que toute permutation paire $\sigma \in A_{n}$ peut s'écrire $\lambda_{1} \mu_{1} \ldots \lambda_{t} \mu_{t}$ , où pour chaque i, $λ i$ et $μ i$ sont des cycles de même longueur et où, pour tous i et j distincts, $\mathrm{supp}(\lambda_{i}) \cup \mathrm{supp}(\mu_{i})$ et $\mathrm{supp}(\lambda_{j}) \cup \mathrm{supp}(\mu_{j})$ sont disjoints. (Rappel : supp désigne le support.)

Solution

Puisque la permutation $σ$ est paire, sa décomposition canonique en cycles comprend un nombre pair de cycles d'ordre pair. Donc $σ$ peut s'écrire comme un produit $\ \rho_{1} \ldots \rho_{t}$ , où chaque facteur est soit un cycle d'ordre impair, soit le produit de deux cycles d'ordre pair à supports disjoints, les supports des $\ \rho_{i}$ étant deux à deux disjoints. D'après les points b) et c), les $\ \rho_{i}$ peuvent s'écrire sous forme des $\ \lambda_{i} \mu_{i}$ de l'énoncé.

e) Montrer que toute permutation paire $\sigma \in A_{n}$ est un commutateur d'éléments de S_n.

Solution

D'après le point a), il revient au même de prouver que $σ$ est le produit de deux permutations ayant la même structure cyclique. Mettons $\ \sigma$ sous la forme

$\sigma = \lambda_{1} \mu_{1} \ \lambda_{2} \mu_{2} \ldots \lambda_{t} \mu_{t},$

les conditions du point d) étant satisfaites. Le support de $\ \mu_{1}$ est disjoint de celui de tous les facteurs qui e trouvent à sa droite, donc $\ \mu_{1}$ commute avec chacun de ces facteurs, donc nous pouvons amener $\ \mu_{1}$ en dernière position. Nous pouvons ensuite amener $\ \mu_{2}$ en dernière position, etc. Nous trouvons ainsi

$\sigma = \lambda_{1} \lambda_{2} \ldots \lambda_{t} \mu_{1} \mu_{2} \ldots \mu_{t},$ .

Comme les supports de $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{t}$ sont deux à deux disjoints, et qu'il en est de même des supports de $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots , \mu_{t}$ , et que pour chaque i, $λ i$ et $μ i$ sont deux cycles de même longueur, les deux permutations $\ \lambda_{1} \lambda_{2} \ldots \lambda_{t}$ et $\mu_{1} \mu_{2} \ldots \mu_{t}$ ont la même structure cyclique, donc $\ \sigma$ est bien le produit de deux permutations ayant la même structure cyclique, comme annoncé.

[modifier] Problème 5

a) Soit G un groupe. Pour deux éléments x, y de G, posons x^y = y^-1xy (conjugué de x par y^-1). Prouver que, pour tous éléments x, y, z de G :

(x, yz) = (x, z) . (x,y)^z

et

(xy, z) = (x,z)^y . (y, z).

Solution

Nous avons (x, yz) = x^-1z^-1y^-1xyz = (x, z) z^-1 x^-1 y^-1xyz = (x, z) . (x,y)^z, ce qui prouve la première des deux assertions de l'énoncé.
La seconde peut se démontrer de façon analogue. On peut aussi passer de la première à la seconde en utilisant la relation (b, a) = (a, b)^-1. La première relation donne (z, xy) = (z, y) . (z, x)^y, d'où la seconde relation par passage aux inverses.

b) Déduire de a) que si A et B sont deux sous-groupes de G, A normalise (A, B).

Solution

Soient a, a' des éléments de A et b un élément de B. D'après la seconde assertion du point a), nous avons

(a, b)^a' = (aa', b) . (a', b)^-1,

ce qui montre que la conjugaison par un élément de A applique tout commutateur (a, b), avec a dans A et b dans B, sur un élément de (A, B). Il en résulte que A normalise B. (Soit f_a la conjugaison par un élément a de A, soit X l'ensemble des commutateurs (x, y) avec x dans A et y dans B. Nous venons de montrer que f_a(X) ⊆ (A, B), d'où <f_a(X)> ⊆ (A, B), autrement dit f_a(<X>) ⊆ (A, B). Comme <X> = (A, B), ceci montre bien que A normalise (A, B).)

c) Soit A un sous-groupe d'un groupe G. Prouver que (G, A) est un sous-groupe distingué de G.

Solution

D'après le point b), G normalise (G, A), ce qui revient à dire que (G, A) est un sous-groupe distingué de G.

[modifier] Problème 6. (Assez difficile)

Soient G un groupe, X une partie génératrice de G et Y une partie quelconque de G. Désignons par Commut(X, Y) l'ensemble des commutateurs (x, y), avec x dans X et y dans Y. Désignons par Dist(Y) le sous-groupe distingué de G engendré par Y. On va prouver que (G, <Y>) et (G, Dist(Y)) sont tous deux égaux au sous-groupe distingué H de G engendré par Commut(X, Y) (et sont donc égaux entre eux).

a) Prouver que H ⊆ (G, <Y>).

Solution

D'après un problème précédent (G, <Y>) est un sous-groupe distingué de G. Il est clair que ce sous-groupe contient Commut(X, Y), donc, par minimalité de H, H est contenu dans (G, <Y>).

b) Désignons par φ l'homomorphisme canonique de G sur G/H. Prouver que φ(Y) est contenu dans le centre de G/H.

Solution

Soient x un élément de X et y un élément de Y. Le commutateur (x, y) = x^-1 y^-1xy appartient à Commut(X, Y) et donc à H, donc φ(x) commute avec φ(y). D'après un théorème démontré au chapitre Conjugaison, centralisateur, normalisateur, il en résulte que tout élément de <φ(G)> = G/H commute avec φ(y), autrement dit φ(y) appartient au centre de G/H, ce qui prouve l'énoncé.

c) En déduire que le sous-groupe distingué de G/H engendré par φ(Y) est contenu dans le centre de G/H. (Indication : on a vu au chapitre Sous-groupe distingué et groupe quotient que tout sous-groupe du centre d'un groupe est un sous-groupe distingué de ce groupe.)

Solution

D'après le point b), φ(Y) est contenu dans le centre de G/H, donc

(1) <φ(Y)> est contenu dans le centre de G/H.

D'après le théorème rappelé dans l'indication, <φ(Y)> est donc un sous-groupe distingué de G/H. Il est donc clair que <φ(Y)> est le sous-groupe distingué de G/H engendré par φ(Y). La relation (1) signifie donc que le sous-groupe distingué de G/H engendré par φ(Y) est contenu dans le centre de G/H, ce qui est l'énoncé.

d) Prouver que (G, Dist(Y)) est contenu dans H.

Solution

D'après un exercice de la série Sous-groupe distingué, groupe quotient, le sous-groupe distingué de G/H engendré par φ(Y) est φ(Dist(Y)), donc l'énoncé c) signifie que φ(Dist(Y)) est contenu dans le centre de G/H. Donc, pour tout élément g de G et pour tout élément z de Dist(Y), le commutateur (φ(g), φ(z)) est égal à l'élément neutre de G/H, donc le commutateur (g, z) appartient à H, donc (G, Dist(Y)) est contenu dans H.

e) Prouver que, comme annoncé au début du problème, (G, <Y>) et (G, Dist(Y)) sont tous deux égaux au sous-groupe distingué H de G engendré par Commut(X, Y) (et sont donc égaux entre eux).

Solution

D'après les points a), et e), (G, Dist(Y)) ⊆ H ⊆ (G, <Y>). Comme le trosième membre est contenu dans le premier, les trois membres sont égaux.

Remarque. Nous utiliserons l'énoncé de ce problème dans un exercice sur les groupes nilpotents.

[modifier] Notes et références

↑ Jean Fresnel, Groupes, exerc. 8.29, Paris, Hermann, 2001, p. 92.

[0] Jean Fresnel, Groupes, exerc. 8.29, Paris, Hermann, 2001, p. 92.

[1]

Groupe (mathématiques)/Exercice/Commutateurs, groupe dérivé

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Sommaire

[modifier] Problème 1

[modifier] Problème 2

[modifier] Problème 3

[modifier] Problème 4

[modifier] Problème 5

[modifier] Problème 6. (Assez difficile)

[modifier] Notes et références

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