Groupe (mathématiques)/Exercice/Classes modulo un sous-groupe
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| Exercice 3 | |||
| Leçon : Groupe (mathématiques) | |||
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| Chapitre du cours : | Classes modulo un sous-groupe | ||
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Cet exercice est de niveau 13. |
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Groupe (mathématiques)/Exercice/Classes modulo un sous-groupe », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
[modifier] Problème 1
Soient G un groupe, H et K des sous-groupes de G. Désignons par φ l'application canonique x ↦ xK de G sur l'ensemble G/K des classes à gauche de G modulo K. Prouver que l'ensemble H/ (H ⋂ K) des classes à gauche de H modulo H ⋂ K est équipotent à l'ensemble φ(HK), autrement dit à l'ensemble des classes à gauche modulo K des éléments de l'ensemble HK. (Rappel : HK est une partie de G mais n'est pas forcément un sous-groupe de G.)
On vérifie facilement que l'application h ↦ φ(h) de H dans φ(HK) est une surjection et que deux éléments h et h' de H ont même image par cette application si et seulement si h et h' ont la même classe à gauche modulo H ⋂ K. Donc l'application considérée induit une bijection de H/ (H ⋂ K) sur φ(HK), ce qui démontre l'énoncé.
Remarque : on pourra comparer cet énoncé au second théorème d'isomorphisme, qui sera démontré dans le chapitre Sous-groupe distingué, groupe quotient.
[modifier] Problème 2
a) Soient G un groupe, H et K des sous-groupes de G. Prouver que [G : H ⋂ K] ≤ [G : H] [G : K].
D'après le théorème des indices, [G : H ⋂ K] = [G : H] [H : (H ⋂ K)]. Il suffit donc de prouver que [H : (H ⋂ K)] ≤ [G : K]. Or le second membre est le cardinal de l'ensemble des classes à gauche de G modulo K et, d'après le problème précédent, le premier membre est le cardinal de l'ensemble des classes à gauche de HK modulo K. Comme HK est une partie de G, la thèse est claire.
b) Soient G un groupe, H et K des sous-groupes d'indices finis de G. Prouver que le sous-groupe H ⋂ K de G est d'indice fini dans G. (Théorème de Poincaré.)
C'est une conséquence immédiate du point a).
[modifier] Problème 3
Soient G un groupe, H et K des sous-groupes d'indices finis de G. On suppose que [G : H] et [G: K] sont premiers entre eux. Prouver que [G : H ⋂ K] = [G : H] [G : K].
D'après le théorème des indices, [G : H ⋂ K] = [G : H] [H : (H ⋂ K)], donc [G : H] divise [G : H ⋂ K]. De même, [G : K] divise [G : H ⋂ K]. Ainsi, [G : H] et [G : K] divisent tous deux [G : H ⋂ K]. Si [G : H] et [G : K] sont premiers entre eux, il en résulte que leur produit [G : H] [G : K] divise [G : H ⋂ K], d'où [G : H] [G : K] ≤ [G : H ⋂ K]. Joint au problème 2, a), cela prouve que [G : H ⋂ K] = [G : H] [G : K].
