Groupe (mathématiques)/Exercice/Automorphismes d'un groupe cyclique

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**Automorphismes d'un groupe cyclique**
Leçon : Groupe (mathématiques)

Exercice 22
Chapitre du cours :	Auromorphismes d'un groupe cyclique
Cet exercice est de niveau 13.

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Groupe (mathématiques)/Exercice/Automorphismes d'un groupe cyclique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Problème 1

a) Démontrer que si a et b sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, le groupe multiplicatif de l'anneau Z/abZ est isomorphe au produit direct du groupe multiplicatif de l'anneau Z/aZ par le groupe multiplicatif de l'anneau Z/bZ. (Indication : utiliser le théorème chinois.) En déduire que si n est un nombre naturel ≥ 1, si p₁, ... , p_r sont les différents facteurs premiers de n, si $\ n = p_{1}^{e_{1}} \ldots p_{r}^{e_{r}},$ alors le groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ est isomorphe au produit direct des groupes multiplicatifs des anneaux $\mathbb{Z}/p_{i}^{e_{i}}\mathbb{Z}.$ (Ceci détermine entièrement la structure du groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ, quel que soit le nombre naturel n ≥ 1, puisque, dans la partie théorique, nous avons déterminé la structure du groupe multiplicatif de l'anneau Z/p^mZ pour tout nombre premier p et tout nombre naturel m ≥ 1.)

Solution

Si x et y sont deux entiers rationnels congrus entre eux modulo ab, x et y ont la même classe modulo a et la même classe modulo b. Il existe donc une (et une seule) application f de $f : \mathbb{Z}/ab\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/a\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/a\mathbb{Z}$ telle que, pour tout entier rationnel x,

$f(x + ab\mathbb{Z}) = (x + a\mathbb{Z}, x + b\mathbb{Z}).$

Si x + abZ est un élément inversible de l'anneau Z/abZ, c'est-à-dire si x est premier avec ab, alors x est premier avec a et avec b, donc x + aZ est un élément inversible de l'anneau Z/aZ et x + bZ est un élément inversible de l'anneau Z/bZ. Donc, si, pour tout nombre naturel n, nous désignons par U_n l'ensemble des éléments inversibles de l'anneau Z/nZ, f induit une application $g : U_{ab} \rightarrow U_{a} \times U_{b}.$ On vérifie facilement que g est un homomorphisme de $\ U_{ab}$ dans le produit direct (externe) $\ U_{a} \times U_{b}.$ Si deux entiers rationnels sont congrus à la fois modulo a et modulo b, ils sont congrus modulo ab. Il en résulte que l'homomorphisme g est injectif. Prouvons qu'il est surjectif. Soient y un entier rationnel premier avec a et z un entier rationnel premier avec b; il s'agit de prouver qu'il existe un entier rationnel x premier avec ab tel que $x \equiv y \pmod{a}$ et $x \equiv z \pmod{v}$ . D'après le théorème chinois, il existe un entier rationnel x satisfaisant à ces congruences. De la première congruence et du fait que y est premier avec a, il résulte que x est premier avec a. De même, x est premier avec b, donc x est premier avec ab, ce qui achève la démonstration de la première partie de l'énoncé.
La seconde partie s'en déduit par récurrence sur r, compte tenu de l' « associativité » de la somme restreinte.

b) En déduire une nouvelle démonstration du fait que si a et b sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, $\ \varphi(ab) = \varphi(a) \varphi(b).$

Solution

C'est une conséquence immédiate du point a), puisque, pour tout nombre entier rationnel n ≥ 1, $\ \varphi(n)$ est égal à l'ordre du groupe multiplicatif de Z/nZ.

c) Pour quels nombres naturels n ≥ 1 le groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ est-il cyclique ?

Solution

Prouvons que le groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ est cyclique si et seulement si une des conditions suivantes est satisfaite :
1° n = 1;
2° n = 2;
3° n = 4;
4° n = p^r, où p est un nombre premier impair et r un nombre naturel ≥ 1;
5° n = 2 p^r, où p est un nombre premier impair et r un nombre naturel ≥ 1.
Si n est égal à 1, à 2 ou à 4, $\ \varphi(n)$ est égal à 1 ou à 2, donc l'ordre du groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ est égal à 1 ou à 2, donc ce groupe est cyclique. Si n est de la forme p^r, où p est un nombre premier impair et r un nombre naturel ≥ 1, le groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ est cyclique d'après la théorie. Enfin, si n est de la forme p^r, où p est un nombre premier impair et r un nombre naturel ≥ 1, il résulte du point a) que le groupe multiplicatif U_n de l'anneau Z/nZ est isomorphe à la somme directe de $U 2$ et de $U_{p^{r}}$ (où, comme plus haut, U_x désigne le groupe multiplicatif de l'anneau Z/xZ). Puisque $U 2$ est réduit à l'élément neutre, $U_{2p^{r}}$ est donc isomorphe à $U_{p^{r}}$ et est donc cyclique.
Prouvons maintenant que si aucune des conditions 1° à 5° n'est satisfaite, U_n n'est pas cyclique.Dans ce cas, ou bien n a au moins deux facteurs premiers impairs distincts, ou bien il est de la forme 2^sp^r, où p est un nombre premier impair, s ≥ 2 et r ≥ 1.
Si tout d'abord n a deux facteurs premiers impairs distincts, soit

$n = p_{1}^{e_{1}} p_{2}^{e_{2}} \ldots p_{u}^{e_{u}}$

la décomposition de n en facteurs premiers, avec u ≥ 2. Alors U_n est somme directe d'une famille de sous-groupes parmi lesquels figurent $U_{p_{1}^{e_{1}}}$ et $U_{p_{2}^{e_{2}}}$ . Les ordres de $U_{p_{1}^{e_{1}}}$ et de $U_{p_{2}^{e_{2}}}$ sont tous deux pairs et ne sont donc pas premiers entre eux, donc leur somme directe n'est pas cyclique. Donc U_n admet un sous-groupe non cyclique et n'est donc pas cyclique.
Si maintenant n est de la forme 2^sp^r, où p est un nombre premier impair, s ≥ 2 et r ≥ 1, alors U_n est isomorphe à la somme directe de $U_{2^{s}}$ et de $U_{p^{r}}$ . Ici encore, les ordres de $U_{2^{s}}$ et de $U_{p^{r}}$ sont tous deux pairs, donc leur somme directe n'est pas cyclique, donc U_n n'est pas cyclique.

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