Groupe (mathématiques)/Exercice/Action de groupe

Une page de Wikiversité.

**Action de groupe**
Leçon : Groupe (mathématiques)

Exercice 8
Chapitre du cours :	Action de groupe
Cet exercice est de niveau 13.

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Action de groupe
Groupe (mathématiques)/Exercice/Action de groupe », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Problème 1

Soit G un groupe opérant transitivement et fidèlement sur un ensemble X. Prouver que si G est commutatif, cette opération est simplement transitive^[1]. (Cet énoncé nous fournira une démonstration alternative d'un théorème sur les permutations cycliques.)

Solution

Il s'agit de prouver que l'opération de G sur X est libre. Soient x un élément de X et g un élément de G tels que gx = x; il s'agit de prouver que g = 1.
Soit y un élément de X. Puisque l'opération de G sur X est supposée transitive, il existe un élément h de G tel que y = hx. Alors gy = ghx, d'où, puisque G est supposé commutatif, gy = hgx, ce qui, d'après notre hypothèse gx = x, peut s'écrire gy = hx. Le second membre est égal à y, donc gy = y.
Ceci est démontré pour tout élément y de X. Comme l'opération de G sur X est supposée fidèle, nous avons donc g = 1, ce qu'il fallait démontrer.

[modifier] Problème 2. (Lemme dit de Burnside)

Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Pour tout élément g de G, désignons par F(g) le nombre des éléments de X fixés par g, c'est-à-dire le nombre des éléments x de X tels que gx = x. Prouver que

$\qquad \sum_{g\in G} F(g) = N \vert G \vert,$

où N désigne le nombre des orbites. (Indication : combien de fois un élément x de X est-il compté dans la somme ?)

Solution

L'idée essentielle est que dans $\sum_{g\in G} F(g) ,$ chaque élément de X est compté $\vert G_{x} \vert$ fois, où G_x désigne le stabilisateur de x. Voici une mise en forme rigoureuse.
Nous avons

$\sum_{g\in G} F(g) = \sum_{g\in G} \sum_{x\in X} f(g,x)$

où f(g, x) vaut 1 si gx = x et 0 sinon.
Donc

$\sum_{g\in G} F(g) = \sum_{x\in X} \sum_{g\in G} f(g,x).$

Pour un x donné, $\sum_{g\in G} f(g,x) = \vert G_{x}\vert,$ donc

$\sum_{g\in G} F(g) = \sum_{x\in X} \vert G_{x}\vert.$

Si Ω désigne l'ensemble des orbites, cela peut s'écrire

$\sum_{g\in G} F(g) = \sum_{\omega \in \Omega} \sum_{x\in \omega} \vert G_{x}\vert$

$\sum_{g\in G} F(g) = \sum_{\omega \in \Omega} \sum_{x\in \omega} \vert G \vert / \vert \omega \vert$

$\sum_{g\in G} F(g) = \sum_{\omega \in \Omega} \vert G \vert$

$\sum_{g\in G} F(g) = \vert \Omega \vert \vert G \vert$

$\sum_{g\in G} F(g) = N \vert G \vert .$

Remarque : le lemme dit de Burnside fut en fait démontré en 1887 par Frobenius.^[2]

[modifier] Notes et références

↑ N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, n° 6, exemple 2; Paris, 1970, p. 58.
↑ Voir J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4^e éd., tirage de 1999, p. 58, n. 1.

[0] N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, n° 6, exemple 2; Paris, 1970, p. 58.

[1] Voir J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4^e éd., tirage de 1999, p. 58, n. 1.

[1]

[2]

Groupe (mathématiques)/Exercice/Action de groupe

Une page de Wikiversité.

[modifier] Problème 1

[modifier] Problème 2. (Lemme dit de Burnside)

[modifier] Notes et références

Affichages

Outils personnels

Rechercher

Navigation

Contribuer

Imprimer / exporter

Boîte à outils