Groupe (mathématiques)/Commutateurs, groupe dérivé

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Définition

Soient G un groupe, x et y deux éléments de G. L'élément de G est appelé le commutateur de x et y et noté (x, y) ou [x, y].

Remarque. Cette définition est celle qu'adopte Bourbaki ^[1]. D'autres auteurs ^[2] désignent comme le commutateur de x et y l'élément . Il est clair que le commutateur de x et de y selon une de ces définitions est le commutateur de x^-1 et y^-1 selon l'autre définition, ce qui permet de traduire facilement un énoncé relatif à une définition en un énoncé relatif à l'autre définition.

Il est clair que (y, x) = (x, y)^-1. D'autre part, (x, y) = (yx)^-1xy, donc (x, y) = 1 si et seulement si x et y commutent.

Définition

Soient G un groupe, A et B deux sous-groupes de G. On note (A, B) le sous-groupe de G engendré par les éléments de la forme (a, b), avec .

Remarques.
1) Nous avons vu que, si x et y sont deux éléments de G, la relation (x, y) = 1 a lieu si et seulement si x et y commutent. Il en résulte que (A, B) = 1 si et seulement tout élément de A commute avec tout élément de B.
2) Il est clair que si A' et B' sont des sous-groupes de G contenus dans A et dans B respectivement, (A', B') est contenu dans (A, B).
3) Soit X l'ensemble des commutateurs (a,b) = a ^{− 1}b ^{− 1}ab avec et , soit Y l'ensemble des commutateurs (b,a) = b ^{− 1}a ^{− 1}ba avec et . Par définition, (A, B) est le sous-groupe de G engendré par X et (B, A) est le sous-groupe de G engendré par Y. Il est clair que Y = X ^{− 1}, donc X et Y engendrent le même sous-groupe, donc (A, B) = (B, A).

Proposition

Soient G un groupe, A et B des sous-groupes de G. La relation (A, B) ⊆ B a lieu si et seulement si A normalise B.

Démonstration. Supposons (A, B) ⊆ B et prouvons que A normalise B. Puisque l'ensemble des commutateurs a^-1b^-1ab, avec a dans A et b dans B, est contenu dans (A, B), nous avons a^-1b^-1ab ∈ B pour tout a ∈ A et tout b ∈ B. Cela entraîne a^-1b^-1a ∈ B pour tout a ∈ A et tout b ∈ B, donc A normalise B. Réciproquement, supposons que A normalise B. Alors a^-1b^-1a ∈ B pour tout a ∈ A et tout b ∈ B, donc a^-1b^-1ab ∈ B pour tout a ∈ A et tout b ∈ B, donc tout commutateur (a, b), avec a dans A et b dans B, appartient à B. Puisque (A, B) est le sous-groupe de G engendré par ces commutateurs et que B est un sous-groupe de G, (A, B) est donc contenu dans B.

Proposition

Soient G1 et G2 deux groupes, A et B deux sous-groupes de G1, f un homomorphisme de G1 dans G2. L'image de (A, B) par f est (f(A), f(B)).

Démonstration. Désignons par X l'ensemble des commutateurs (a, b) avec a dans A et b dans B. Il est clair que f(X) est l'ensemble Y des commutateurs (a', b') avec a' dans f(A) et b' dans f(B). En passant aux sous-groupes engendrés, nous trouvons <f(X)> = <Y>, ce qui peut s'écrire f(<X>) = <Y>. Par définition de (A, B), <X> est égal à (A, B) et, de même, <Y> est égal à (f(A), f(B)), d'où l'énoncé.

Définition

Soit G un groupe. On appelle groupe dérivé de G et on note D(G) le sous-groupe (G, G) de G, autrement dit le sous-groupe de G engendré par les commutateurs d'éléments de G.

Remarques.
1) Certains auteurs ^[3] notent G' le groupe dérivé de G.
2) Le groupe dérivé de G n'est pas forcément réduit à l'ensemble des commutateurs d'éléments de G ^[4].
3) Le groupe dérivé de G est parfois appelé groupe des commutateurs de G, ce qui est un abus de langage, vu la remarque précédente.
4) Nous avons vu que, si A et B sont deux sous-groupes de G, (A, B) = 1 si et seulement tout élément de A commute avec tout élément de B. En faisant A = B = G, nous trouvons que D(G) = 1 si et seulement G est commutatif.

Théorème

Soit f un homomorphisme d'un groupe G1 dans un groupe G2. Alors f(D(G)) est contenu dans D(G2). Si f est surjectif, on a l'égalité.

Démonstration. Nous avons vu que si A et B sont deux sous-groupes de G₁, l'image de (A, B) par f est (f(A), f(B)). En faisant A = B = G₁, nous trouvons que l'image de D(G₁) par f est (f(G₁), f(G₁)). Comme (f(G₁), f(G₁)) est contenu dans (G₂, G₂) = D(G₂) et lui est égal si f est surjectif, l'énoncé en résulte.

Théorème

Le groupe dérivé d'un groupe G est un sous-groupe caractéristique (et donc distingué) de G.

Démonstration. En faisant G₁ = G₂ = G dans le théorème précédent, nous touvons que D(G) est stable par tout endomorphisme de G. A fortiori, c'est un sous-groupe caractéristique de G.

Théorème

Soit f un homomorphisme d'un groupe G dans un groupe commutatif H. Le groupe dérivé de G est contenu dans le noyau de f. Si désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/D(G), tout homomorphisme de G dans un groupe commutatif H s'écrit de façon unique , où est un homomorphisme de G/D(G) dans H.

Démonstration. D'après un théorème précédent, f(D(G)) est contenu dans D(H). Puisque H est commutatif, D(H) = 1, donc f(D(G)) = 1, ce qui prouve la première assertion de l'énoncé. La seconde en résulte, compte tenu des théorèmes sur la décomposition d'un homomorphisme (chapitre sur les sous-groupes distingués et les groupes quotients).

Théorème

Soit G un groupe. Le groupe quotient G/D(G) est commutatif.

Démonstration. Soit l'homomorphisme canonique de G sur G/D(G). Puisque est surjectif, nous avons, d'après un précédent théorème, = D(G/D(G)). Le premier membre est égal à D(G)/D(G) et est donc réduit à l'élément neutre. Le second membre D(G/D(G)) est donc réduit à l'élément neutre. Nous avons vu que le dérivé d'un groupe est réduit à l'élément neutre si et seulement si ce groupe est commutatif, donc G/D(G) est commutatif. (On peut évidemment donner une démonstration plus directe.)

Théorème

Soit G un groupe. Tout sous-groupe de G contenant D(G) est distingué dans G.

Démonstration. Nous avons vu (chapitre Sous-groupes distingués et groupes quotients, section Sous-groupes d'un groupe quotient) que si G est un groupe et H un sous-groupe distingué de G, alors un sous-groupe K de G contenant H est distingué dans G si et seulement si K/H est distingué dans G/H. Dans le cas où H = D(G), le quotient G/H est commutatif, donc tous ses sous groupes sont distingués. Il en résulte que tout sous-groupe K de G contenant D(G) est distingué dans G.
Remarque. On trouvera une autre démonstration dans les exercices.

Théorème

Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de H. Pour que le quotient G/H soit commutatif, il faut et il suffit que H contienne D(G).

Démonstration. Si le quotient G/H est commutatif, alors, d'après un des théorèmes ci-dessus, D(G) est contenu dans le noyau de l'homomorphisme canonique de G sur G/H, c'est-àdire est contenu dans H. Réciproquement, soit H un sous-groupe distingué de G contenant D(G). Alors, d'après le troisième théorème d'isomorphisme, G/H est isomorphe au quotient de G/D(G) par H/D(G). Comme G/D(G) est commutatif et que tout quotient d'un groupe commutatif est commutatif, G/H est commutatif.

Théorème

Le dérivé du groupe symétrique Sn est le groupe alterné An.

Démonstration. Désignons par l'homomorphisme de de S_n dans {1, - 1} qui applique σ sur sa signature. Puisque le groupe d'arrivée de cet homomorphisme est commutatif, il résulte d'un théorème ci-dessus que D(S_n) est contenu dans le noyau de , autrement dit est contenu dans A_n. Prouvons que réciproquement, A_n est contenu dans D(S_n). Puisque A_n est engendré par les cycles d'ordre 3, il suffit de prouver que tout cycle d'ordre 3 est un commutateur. Soit (a b c) un cycle d'ordre 3. Puisqu'il est d'ordre 3, il est le carré de son inverse (c b a) :

.

Puisque (c b a) et (a b c) ont la même structure cyclique, ils sont conjuqués l'un de l'autre. Nous pouvons d'ailleurs préciser que (c b a) = (a c) (a b c) (a c)^-1. En remplaçant par cette valeur le second facteur (c b a) du second membre de (1), nous trouvons

(a b c) = (c b a) (a c) (c b a)^-1 (a c)^-1,

ce qui prouve bien que (a b c) est un commutateur, comme annoncé.

Remarques. 1) Pour prouver que (a b c) est un commutateur, on aurait aussi pu noter que (a b c) = (a b) (a c) (a b)^-1 (a c)^-1.
2) Comme déjà dit, le groupe dérivé d'un groupe G n'est pas forcément réduit aux commutateurs d'éléments de G. On verra cependant dans les exercices que tout élément de A_n est un commutateur d'éléments de S_n.

[modifier] Notes et références

1. ↑ N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, n° 2; Paris, 190, p. 65.
2. ↑ Par exemple P. Tauvel, Algèbre, 2^e éd., Paris, 2005, p. 42.
3. ↑ Par exemple J. J. Rotman, An introduction to the theory of groups, 4^e éd., tirage 1999, p. 33.
4. ↑ N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, exerc. 16, Paris, 1970, p. 137, en donne un exemple qui repose sur la théorie des espaces vectoriels. Voir aussi J. J. Rotman, An introduction to the theory of groups, 4^e éd., tirage 1999, pp. 34-35.