Groupe (mathématiques)/Classes modulo un sous-groupe

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Classes modulo un sous-groupe
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Chapitre 3
Leçon : Groupe (mathématiques)
Chap. préc. : Groupes, premières notions
Chap. suiv. : Sous-groupe distingué et groupe quotient
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Sommaire

[modifier] Classes à gauche et classes à droite suivant un sous-groupe

Soient (G,*) un groupe et H un sous-groupe de G. Le lecteur vérifiera que la relation x^{-1}y \in H est une relation d'équivalence dans G et que les classes d'équivalence correspondantes sont les parties de G de la forme xH, où x parcourt G. On appelle ces parties de G les classes à gauche (de G) suivant H, ou encore modulo H.
De même, la relation yx^{-1} \in H est une relation d'équivalence dans G et les classes d'équivalence correspondantes sont les parties de G de la forme Hx, où x parcourt G. On appelle ces parties de G les classes à droite (de G) suivant H, ou encore modulo H.
La classe à gauche et la classe à droite suivant H de l'élément neutre sont toutes deux égales à H lui-même. De façon générale, la classe à gauche xH d'un élément x de G est égale à H si et seulement x appartient à H. Même chose pour la classe à droite.
Il est clair que si G est commutatif, les classes à gauche suivant G sont identiques aux classes à droite. Plus généralement, même si G n'est pas commutatif, il se peut que les classes à gauche suivant un certain sous-groupe H de G soient identiques aux classes à droite. Un tel sous-groupe est dit normal, ou encore distingué, ou encore invariant. On y reviendra plus loin.
Nous noterons G/H l'ensemble des classes à gauche d'un groupe G modulo un sous-groupe H de G[1].

[modifier] Indice d'un sous-groupe

L'application X \mapsto X^{-1} est une bijection de l'ensemble des classes à gauche sur l'ensemble des classes à droite, donc l'ensemble des classes à gauche et l'ensemble des classes à droite ont même cardinal. Ce cardinal est appelé l'indice de H dans G et noté (G:H), ou encore [G:H], ou encore|G:H|.
Exemples : l'indice de G dans lui-même est égal à 1; l'indice dans G du sous-groupe réduit à l'élément neutre est égal à l'ordre de G.

Toutes les classes à gauche (et toutes les classes à droite) suivant H ont le même cardinal, à savoir l'ordre de H. Comme la somme des cardinaux des classes d'une relation d'équivalence sur un ensemble est le cardinal de cet ensemble, nous avons donc :

\vert G \vert = \vert G:H \vert \cdot \vert H \vert

Il en résulte que l'ordre de H divise celui de G, ce qui est banal si G est infini, mais constitue dans le cas fini l'important


Théorème de Lagrange

L'ordre d'un sous-groupe divise l'ordre du groupe.

Exemple :

  • Nous verrons plus loin qu'il existe des groupes finis d'ordre premier, dont l'exemple classique est le groupe additif \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, avec p premier. (Il s'agit d'un groupe quotient, dont la définition est donnée plus bas.) En raison du théorème de Lagrange, les seuls sous-groupes possibles de ce groupe sont d'ordre 1 ou p. Autrement dit, ce groupe n'a pas de sous-groupe propre (= différent de lui-même) non trivial.

Remarques :

  • Comme noté, les groupes finis sont les seuls groupes pour lesquels le théorème de Lagrange est intéressant. Il peut alors s'énoncer comme suit : soit G un groupe fini et d un nombre naturel. S'il existe un sous-groupe d'ordre d de G, d divise l'ordre de G. La réciproque du théorème ainsi formulé n'est pas vraie, en ce sens que si d est un diviseur de l'ordre d'un groupe fini, ce groupe n'admet pas forcément de sous-groupe d'ordre d : nous verrons, par exemple, dans les exercices sur le chapitre Groupes symétriques finis, que le groupe alterné A₄, qui est d'ordre 12, n' a pas de sous-groupe d'ordre 6. Par contre, nous montrerons plus loin que cette réciproque est vraie dans le cas des groupes abéliens. Dans le cas général, nous rencontrerons des réciproques partielles (théorèmes de Cauchy, de Sylow et de Hall).
  • La relation
\vert G \vert = \vert G:H \vert \cdot \vert H \vert

montre aussi que l'indice \vert G:H \vert divise \vert G \vert.


Formule des indices

Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et K un sous-groupe de H, autrement dit un sous-groupe de G contenu dans H. Alors \vert G:K \vert = \vert G:H \vert \cdot \vert H:K \vert.

Démonstration. Choisissons un système de représentants des classes à gauche de G suivant H, c'est-à-dire une famille (x_{i})_{i \in I} d'éléments de G telle que, pour toute classe à gauche de G suivant H, il existe un et un seul i \in I pour lequel \ x_{i} appartienne à cette classe; donc \vert G:H \vert = \mathrm{Card(I)}. De même, choisissons une famille (y_{j})_{j \in J} d'éléments de H telle que, pour toute classe à gauche de H suivant K, il existe un et un seul j \in J pour lequel \ y_{j} appartienne à cette classe; donc \vert H:K \vert = \mathrm{Card(J)}. Prouvons que la famille (x_{i}y_{j})_{(i,j) \in I \times J} est un système de représentants des classes à gauche de G suivant K.
Soit x un élément de G. Puisque les \ x_{i} forment un système de représentants des classes à gauche de G suivant H, il existe i \in I et h \in H tels que \ x = x_{i}h. Puisque les \ y_{j} forment un système de représentants des classes à gauche de H suivant K, il existe j \in J et k \in K tels que \ h = y_{j}k. On a alors \ x = x_{i}y_{j}k, ce qui montre que pour tout élément x de G, il existe un couple (i,j) \in I \times J tel que x soit de la forme \ x = x_{i}y_{j}k avec k \in K. Un tel couple est unique, car si (r,s) en est un autre, il existe k' \in K tel que \ x = x_{r}y_{s}k', d'où

(1) \quad x_{i}y_{j}k = x_{r}y_{s}k',

d'où tout d'abord (puisque \ y_{j},k,y_{s},k' appartiennent à H) x_{r}^{-1}x_{i} \in H, d'où, par hypothèse sur les \ x_{i}, \ r = i; dès lors, (1) donne \ y_{j}k = y_{s}k' avec k, k' \in K, d'où, par hypothèse sur les \ y_{j}, \ j = s.
Nous avons donc prouvé, comme annoncé, que la famille (x_{i}y_{j})_{(i,j) \in I \times J} est un système de représentants des classes à gauche de G suivant K. L'indice de K dans G est donc

\mathrm{Card}(I \times J) = \mathrm{Card}(I) \times \mathrm{Card}(J) = \vert G:H \vert \cdot \vert H:K \vert , ce qui démontre l'énoncé.

(Remarque : en prenant pour K dans la formule des indices le sous-groupe réduit à l'élément neutre, nous retrouvons l'égalité \vert G \vert = \vert G:H \vert \cdot \vert H \vert. Nous aurions donc pu ne pas démontrer cette égalité séparément et la déduire de la formule des indices.)

[modifier] Sous-groupe d'indice fini d'un groupe de type fini

Cette section peut être omise en première lecture. On y démontre un théorème qui intervient comme lemme dans une des démonstrations d'un théorème de Schur[2]. La démonstration donnée ici est empruntée à J. Fresnel, Groupes, Paris, Hermann, 2001, théorème 1.2.7, p. 20.

On dit qu'un groupe est de type fini s'il admet une partie génératrice finie. Si H est un sous-groupe d'un groupe G, nous dirons qu'une partie T de G est une transversale droite de H dans G, ou encore un système complet de représentants des classes à droite de G suivant H, si T comprend un et un seul élément de chaque classe à droite de G suivant H.
Il est clair que pour tout élément g de G, il existe un et un seul élément h de H tel que g soit de la forme ht avec t dans T. Posons p(g) = h. Nous définissons ainsi une application p de G dans H (dépendant évidemment de T). Cette application p est une surjection. En effet, si h est un élément de H, choisissons un élément t de T; alors h est image par p de l'élément ht de G.


Théorème

Soient G un groupe, H un sous-groupe de G. Si X est une partie génératrice de G, H admet une partie génératrice de cardinal ≤ [G:H] × Card(X).

Démonstration. Choisissons une transversale droite T de H dans G. Si nous remplaçons dans T l'unique élément de H ⋂ T par 1, le cardinal de T ne change pas et T reste une transversale droite de H dans G. Nous pouvons donc supposer que T comprend l'élément 1. Désignons par B l'ensemble des éléments de la forme p(tx), où t parcourt T et où x parcourt X ∪ X-1.
Prouvons d'abord que tout élément de H est un produit d'éléments de B. Pour tout élément g de G, il existe un nombre naturel n et des éléments x1, ... , xn de X ∪ X-1 tels que g = x1 ... xn (ceci parce que X est une partie génératrice de G). Puisque p est une surjection de G dans H, il en résulte que tout élément de H est de la forme p(x1, ... , xn) où x1, ... , xn sont des éléments de X ∪ X-1. Donc, pour prouver que tout élément de H est un produit d'éléments de B, il suffit de prouver que tout élément de la forme p(x1, ... , xn) où x1, ... , xn sont des éléments de X, est un produit d'éléments de B. Nous allons le prouver par récurrence sur n.
Pour n = 0, cela revient à dire que p(1) est un produit d'éléments de B. Or, puisque nous nous sommes ramenés au cas où T comprend 1, il est clair que p(1) = 1, donc p(1) est le produit de la famille vide d'éléments de B. Supposons maintenant que n est un nombre naturel ≥ 1 tel que tout élément de la forme p(x1, ... , xn-1), où x1, ... , xn-1 sont des éléments de X, est un produit d'éléments de B, et prouvons qu'il en est de même avec n au lieu de n – 1. Nous avons x1 ... xn-1 = p(x1 ... xn-1) t pour un certain t ∈ T, d'où x1 ... xn = p(x1 ... xn-1) t xn. Nous avons t xn = p(t xn) t' pour un certain t' ∈ T, d'où x1 ... xn = p(x1 ... xn-1) p(t xn) t', ce qui montre que p(x1 ... xn) = p(x1 ... xn-1) p(t xn). Comme p(t xn) appartient à B et que, par hypothèse de récurrence, p(x1 ... xn-1) est un produit d'éléments de B, il en résulte que p(x1 ... xn) est un produit d'éléments de B. Ceci est donc démontré par récurrence pour tout nombre naturel n. Comme nous l'avons vu, cela prouve que tout élément de H est produit d'éléments de B.
Rappelons que B désigne l'ensemble des éléments de la forme p(tx), où T parcourt T et où x parcourt X ∪ X-1. Désignons par A la partie de B formée par les éléments de la forme p(tx), où T parcourt T et où x parcourt X. Prouvons que A est une partie génératrice de A. Vu le précédent résultat, il suffit évidemment de prouver que B ⊆ A ∪ A-1 et pour cela, il suffit de prouver que pour tout élément x de X et tout élément t de T, p(tx-1) est l'inverse d'un élément de A. Or tx-1 = p(tx-1) t' pour un certain t' ∈ T, d'où, en multipliant à droite par x, t = p(tx-1) t' x. Mais t' x = p(t' x) t'' pour un certain t'' ∈ T, d'où t = p(tx-1) p(t' x) t''. D'après l'unicité de l'écriture d'un élément de G comme produit d'un élément de H par un élément de T, nous avons donc p(tx-1) p(t' x) = 1, donc p(tx-1) est bien l'inverse d'un élément de A, à savoir de p(t' x). Nous avons donc prouvé que B ⊆ A ∪ A-1 (et la démonstration montre même qu'on a l'égalité), ce qui, comme nous l'avons vu, prouve que A est une partie génératrice de H. Il est clair que le cardinal de A est ≤ [G:H] × Card(X), d'où l'énoncé.


Corollaire

Soit G un groupe de type fini. Tout sous-groupe d'indice fini de G est de type fini.

[modifier] Notes et références

  1. ↑ Cette notation est employée par N. Bourbaki, Algèbre, Paris, 1970, ch. I, § 5, n° 5, p. 56.
  2. ↑ J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Numbers (Springer), 4e éd., tirage de 1999, lemme 7. 56, p. 198
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