Groupe (mathématiques)/Action de groupe

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**Action de groupe**
Leçon : Groupe

Chapitre 8
Chap. préc. :	Conjugaison, centralisateur, normalisateur
Chap. suiv. :	Produit de groupes

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Groupe (mathématiques)/Action de groupe », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Définition d'une action
2 Équation aux classes
3 Le centralisateur et le normalisateur vus comme stabilisateurs
4 Notes et références

[modifier] Définition d'une action

Une action à gauche d'un groupe G (de loi de groupe notée multiplicativement) sur un ensemble X est une application $G\times X\rightarrow X$ envoyant (g,s) sur un élément noté g.s, telle que :

Pour tous éléments g et h de G, $g .(h . s) = (g h). s$ ;
Pour tout élément s de X, $1. s = s$ .

Remarques :
1) Pour un élément g de G et un élément s de X, on écrit souvent gs au lieu de g.s. On utilise aussi parfois la notation exponentielle $\ ^{g}s$ ^[1]. La relation $g .(h . s) = (g h). s$ ci dessus devient alors $\ ^{g}(^{h}s)=^{gh}s$ .
2) On rappelle que l'ensemble des bijections d'un ensemble X dans X muni de la composition forme un groupe noté S(X) ou $\ S_{X}$ ou $\mathfrak{S}(X)$ (groupe des permutations de X) ; il a été introduit au chapitre 1. Si G agit sur X, l'application $m_g:X\rightarrow X:s\mapsto g.s$ est une bijection dont l'inverse est $m_{g^{-1}}$ . Les propriétés ci-dessus se traduisent :

$\forall g,h\in G, \; m_{gh}=m_g\circ m_h$ ;
$\ m_e=Id_X$ .

Autrement dit, l'application m: $G\rightarrow S(X)$ est un morphisme de groupes. Un tel morphisme est appelé opération de G sur X^[2]. Réciproquement, tout morphisme de groupes $G\rightarrow S(X)$ définit une action du groupe G sur X par : $g . x = m g (x)$ .

En raison de cette correspondance, on peut dire (un peu abusivement) :

Les actions de groupes de G sur X sont exactement les morphismes $G\rightarrow S(X)$ .

Nous dirons indifféremment : « soit G un groupe agissant sur un ensemble X », « soit G un groupe opérant sur un ensemble X » et « soit X un G-ensemble ».

Si G agit sur deux ensembles X et Y, une application $f:X\rightarrow Y$ est appelée ^[3] un homomorphisme de G-ensembles (ou un G-morphisme, ou une application compatible avec les opérations de G) si, pour tout x dans X et pour tout g dans G, on a :

f (g . x) = g . f (x)

.

Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. On dit ^[4] que ces opérations sont équivalentes s'il existe un isomorphisme $\ \sigma$ de G sur H et une bijection f de X sur Y tels que, pour tout élément g de G et tout élément x de X, on ait

f (g . x) = σ(g). f (x)

.

On dit aussi dans ce cas que le G-ensemble X et le H-ensemble Y sont isomorphes ^[5].

[modifier] Exemples

(On notera par juxtaposition aussi bien l'action de G sur X que la composition dans G.)

Action triviale de G sur X : pour tout élément g de G, la permutation de X associée à g est la permutation identique; autrement dit, g.x = x pour tout élément g de G et tout élément x de X; l'homomorphisme de G dans $\ S_{X}$ est l'homomorphisme trivial (valant partout l'élément neutre de $\ S_{X}$ ).
G agit sur lui-même (plus exactement : sur son ensemble sous-jacent) par translation à gauche : pour tout élément g de G, la permutation associée à g est la translation à gauche $x \mapsto gx$ , où gx désigne le produit de g et de x dans le groupe G; autrement dit, l'action en question, si on la considère comme une application de $G \times G$ dans $\ G$ , est identique à la loi de composition du groupe G.
Si H est un sous-groupe de G, G agit par translation à gauche sur l'ensemble G/H des classes à gauche de G suivant H : pour tout élément g de G, la permutation de G/H associée à g est la permutation $X \mapsto gX$ . (Si X est une classe à gauche xH, gX en est une aussi, à savoir la classe (gx)H de gx.)
Opération d'un groupe sur lui-même par conjugaison (ou par automorphismes intérieurs) : pour tout élément g du groupe G, la permutation (de l'ensemble sous-jacent) de G associée à g est l'automorphisme intérieur $x \mapsto gxg^{-1}$ , autrement dit $g . x = g x g - 1$ . Il s'agit bien d'une opération du groupe G sur (l'ensemble sous-jacent de) G, car nous avons vu que si Int(g) désigne l'automorphisme intérieur $x \mapsto gxg^{-1}$ de G, l'application $g \mapsto \mathrm{Int}(g)$ définit un homomorphisme de G dans Aut(G) et donc aussi dans le groupe des permutations de (l'ensemble sous-jacent de) G.
Si un groupe G opère sur un ensemble X, si H est sous-groupe de G, l'opération de G sur X induit de façon évidente une opération de H sur X : l'application $H \times X \rightarrow X$ est la restriction de l'application $G \times X \rightarrow X$ et l'homomorphisme $H \rightarrow S_{X}$ est la restriction de l'homomorphisme $G \rightarrow S_{X}$ .

[modifier] Vocabulaire

Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. On dit qu'un élément g de G agit trivialement (sur X) si, pour tout élément x de X, g x = x. Cela revient à dire que g appartient au noyau de l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à l'action de G sur X.
Une action d'un groupe G sur un ensemble X est dite fidèle si l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à cette action est injectif. Cela revient à dire que le seul élément de G qui agit trivialement est l'élément neutre.
L'orbite d'un point x de X pour une opération d'un groupe G sur l'ensemble X est l'ensemble des éléments g.x où g parcourt le groupe G. On parle de G-orbite d'un élément de X si la mention du groupe G suffit à faire comprendre de quelle opération il s'agit. Deux orbites sont égales ou disjointes, les orbites partitionnent X. Une orbite réduite à un seul élément est parfois appelée orbite ponctuelle^[6].
Si g est un élément de G et x un élément de X, si g.x=x, on dit que g fixe x ou que x est un point fixe de g. Les points fixes de g⁻¹ sont exactement les points fixes de g. (En effet, on passe de l'égalité g(x) = x à l'égalité g⁻¹(x) = x en multipliant les deux membres à gauche par g^-1} et de la seconde égalité à la première en multipliant les deux membres à gauche par g.)
On dit qu'un élément x de X est point fixe pour l'opération de G sur X si x est fixé par tout élément de G^[7], ce qui revient à dire que l'orbite de x est réduite à x.
Le stabilisateur d'un élément x de X est l'ensemble des éléments g de G qui fixent x, autrement dit tels que g.x=x. C'est un sous-groupe de G. Il en résulte qu'un élément x de X est point fixe d'un élément g de G si et seulement s'il est point fixe pour l'opération du sous-groupe <g> de G sur X. (Nous retrouverons ce fait dans l'étude des groupes symétriques finis.)
Une action est dite transitive lorsqu'elle possède une et une seule orbite. (Postuler l'existence d'une orbite revient à postuler que l'ensemble sur lequel le groupe opère n'est pas vide^[8].) Si un groupe G opère transitivement sur un ensemble X, on dit que X est un G-ensemble homogène^[9] ou encore un G-espace homogène^[10].
Une action est dite libre lorsque tout élément non neutre de G est sans points fixes.
Une action d'un groupe G sur un ensemble X est dite simplement transitive si elle est transitive et libre. On dit alors que X est un G-ensemble homogène principal^[11]. Pour tout élément x de X, l'application $\ f_{x} : G \rightarrow X : g \mapsto gx$ est alors une bijection de G sur X. En particulier, X est équipotent à G. (L'application $\ f_{x}$ est appelée l'application orbitale définie par x.)

Remarque : si x est un élément donné d'un G-ensemble X, on a vu qu'on définit de façon évidente une action à gauche de G sur G/Stab(x) (ensemble des classes à gauche de G modulo Stab(x)). L'application $g\mapsto gx$ induit un isomorphisme de G-ensembles $G/Stab(x)\rightarrow O(x)$ . En particulier, le cardinal de l'orbite d'un point est égal à l'indice dans G du stabilisateur de ce point. (Nous utiliserons ce fait dans l'équation aux classes.)

Les orbites de x et de y sont dites de même type lorsque leurs stabilisateurs sont conjugués comme sous-groupes de G.

[modifier] Action à droite

(Le lecteur peut se contenter de survoler cette section.)

Soient G un groupe et X un ensemble. Comme pour la définition d'une action à gauche, considérons une application $G\times X\rightarrow X$ envoyant (g,x) sur un élément noté g.x ou gx, telle que :

pour tout élément x de X, $1. x = x$

mais supposons maintenant que :

pour tous éléments g et h de G et tout élément x de X, $g .(h . x) = (h g). x$ .

Une telle application est appelée action à droite de G sur X. On vérifie facilement que, pour tout $g \in G$ , l'application $\sigma_{g} : x \mapsto gx$ de X dans lui-même est une bijection et que l'application $g \mapsto \sigma_{g}$ est un homomorphisme de G dans l'opposé du groupe des permutations de X. (Rappelons que cet opposé est l'ensemble des permutations de X muni de la loi de composition $f * g = g \circ f$ , de sorte que $f \star g (x) = g(f(x))$ .)
Réciproquement, pour tout homomorphisme $λ$ de G dans l'opposé du groupe des permutations de X, il existe une et une seule action à droite de G sur X telle que l'homomorphisme associé à cette action comme ci-dessus soit $λ$ .

Soient G un groupe et X un ensemble. On vérifie facilement les deux faits suivants :
1° une application $G\times X\rightarrow X : x \mapsto gx$ est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si elle est une action à gauche relativement au groupe opposé de G;
2° une application $G\times X\rightarrow X : x \mapsto gx$ est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si l'application $G\times X\rightarrow X : x \mapsto g^{-1}x$ est une action à gauche relativement au même groupe G.

Il est donc possible de passer mécaniquement d'un énoncé relatif aux actions à gauche à un énoncé relatif aux actions à droite. Cela explique que les auteurs qui considèrent des actions à gauche ne s'occupent généralement pas des actions à droite, et réciproquement. Quand on traite d'une action à droite d'un groupe G sur un ensemble X, on préfère placer l'élément (soit g) de G à droite de l'élément (soit x) de X et écrire xg plutôt que gx. La règle g(hx) = (hg)x prend alors la forme plus élégante (xh)g = x(hg). Toujours dans le cas d'une action à droite, on écrit aussi $x g$ au lieu de gx; ici encore, la règle se formule de façon plus élégante.

Les auteurs qui considèrent des actions à droite appellent en général groupe de permutations d'un ensemble X le groupe opposé du groupe qui est appelé ici le groupe des permutations de X^[12]. Dans la terminologie de ces auteurs, ce sont donc les actions à droite (et non à gauche) d'un groupe G sur un ensemble X qui correspondent aux homomorphismes de G dans le « groupe des permutations » de X. Ces auteurs désignent l'image d'un élément x par une permutation $α$ en plaçant $α$ à droite de x, c'est-à-dire que là où nous écrivons $α(x)$ , ils écrivent $x α$ ou $x α$ . La définition de ce qu'eux appellent le groupe des permutations est alors (avec la seconde notation) :

x α * β = (x α) β

,

ce qui rend l'harmonie des notations complète.

[modifier] Équation aux classes

Soit G un ensemble agissant sur un ensemble X. Soit $Ω$ l'ensemble des orbites. Puisque les orbites partitionnent X, nous avons

$\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} \vert \omega \vert$ ,
où $ω$ parcourt les orbites et où les barres verticales désignent le cardinal.
Soit $(x_{\omega})_{\omega \in \Omega}$ une famille d'éléments de X tels que, pour chaque orbite $ω$ , $x ω$ appartienne à $ω$ . (Nous choisissons donc un et un seul élément dans chaque orbite.) L'égalité ci-dessus peut s'écrire
$\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} \vert orb(x_{\omega}) \vert$
où $o r b (x)$ désigne l'orbite de x.
Nous avons vu que le cardinal de l'orbite d'un point x est égal à l'indice dans G du stabilisateur $G x$ de ce point, donc
$\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} [G:G_{x_{\omega}}]$ .
Il revient au même de dire que si $(x_{i})_{i \in I}$ est une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite $ω$ , il existe un et un seul $i \in I$ tel que $x_{i} \in \omega$ , on a
$\vert X \vert = \sum_{i \in I}{} [G:G_{x_{i}}]$ .

En séparant des autres les orbites ponctuelles (c'est-à-dire réduites à un élément) et en notant que le nombre des orbites ponctuelles est égal au nombre des points fixes de l'opération considérée, nous pouvons mettre l'égalité ci-dessus sous la forme suivante : soit X' l'ensemble des points fixes, soit $(x_{j})_{j \in J}$ une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite non ponctuelle $ω$ , il existe un et un seul $j \in J$ pour lequel $x_{j} \in \omega$ , alors
$\vert X \vert = \vert X' \vert + \sum_{j \in J}{} [G:G_{x_{j}}]$ .

L'égalité que nous venons de donner sous deux formes est parfois^[13] appelée « équation aux classes » ou « formule des classes », mais la plupart des auteurs réservent l'expression « équation aux classes » au cas où l'opération considérée est l'opération de G sur lui-même par conjugaison. Alors X' est le centre $Z (G)$ de G et les $G_{x_{j}}$ sont les centralisateurs $C G (x j)$ des $x j$ , donc si $(x_{j})_{j \in J}$ est une famille d'éléments de G telle que, pour toute classe de conjugaison $ω$ non réduite à un élément, il existe un et un seul $j \in J$ pour lequel $x_{j} \in \omega$ , alors
$\vert G \vert = \vert Z(G) \vert + \sum_{j \in J}{} [G:C_{G}{x_{j}}]$ .

Cette équation est utilisé par exemple pour démontrer le théorème de Cauchy^[14] ou encore la non-trivialité du centre de tout groupe fini non trivial dont l'ordre est une puissance de nombre premier^[15].

[modifier] Le centralisateur et le normalisateur vus comme stabilisateurs

Soient G un groupe et x un élément de G. Le centralisateur de x, c'est-à-dire le sous-groupe de G formé par les éléments de G qui commutent avec x, est le stabilisateur de x pour l'action du groupe G sur lui-même par conjugaison. D'autre part, l'orbite de x pour cette action est l'ensemble des conjugués de x dans G. Puisque le cardinal de l'orbite d'un élément est égal à l'indice du stabilisateur de cet élément dans le groupe opérant, nous pouvons énoncer :

Proposition

Soient G un groupe et x un élément de G. L'ensemble des conjugués de x dans G a pour cardinal l'indice (dans G) du centralisateur de x dans G.

Soient maintenant G un groupe et H un sous-groupe de G. Le groupe G agit transitivement par conjugaison sur l'ensemble des conjugués de H dans G. Le stabilisateur de H pour cette action est son normalisateur dans G. Donc, comme précédemment :

Proposition

Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. L'ensemble des conjugués de H dans G a pour cardinal l'indice (dans G) du normalisateur de H dans G.

[modifier] Notes et références

↑ Voir par exemple N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, n° 1, définition 2, Paris, 1970, p. 64.
↑ N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, n° 1, Paris, 1970, p. 49. N. Bourbaki, ib., p. 50, appelle loi d'opération ce qui est appelé ici action. Il donne un sens plus général au mot action (ib., § 3, n° 1, p. 23). D. Perrin, Cours d'algèbre, Paris, 2004, p. 13, ne parle que d'opération d'un groupe sur un ensemble, et non d'action.
↑ N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, Paris, 1970, p. 50.
↑ J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 206.
↑ J. J. Rotman, An introduction to the theory of groups, 4^e éd., tirage de 1999, p. 282.
↑ J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 184.
↑ N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, $ 6, n° 5, Paris, 1970, p. 73.
↑ Souligné par N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, n° 5, Paris, 1970, p. 56.
↑ N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, n° 5, Paris, 1970, p. 56.
↑ P. Tauvel, Algèbre, 2^e éd., Paris, 2005, p. 65.
↑ N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, n° 6, Paris, 1970, p. 58.
↑ Voir par exemple P.J. Cameron, Permutation groups, Cambridge, 1999, p.2; H. Kurzweil et B. Stellmacher, The theory of finite groups, New York, 2004, p. 55.
↑ Voir par exemple Jean Delcourt, Théorie des groupes, 2^e éd., Paris, 2007, p. 63.
↑ J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4^e édition, 2^e tirage, 1999, théor. 4.2, p. 74.
↑ J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4^e édition, 2^e tirage, 1999, théor. 4.4, pp. 74-75.

Groupe

Conjugaison, centralisateur, normalisateur

Produit de groupes

[0] Voir par exemple N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, n° 1, définition 2, Paris, 1970, p. 64.

[1] N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, n° 1, Paris, 1970, p. 49. N. Bourbaki, ib., p. 50, appelle loi d'opération ce qui est appelé ici action. Il donne un sens plus général au mot action (ib., § 3, n° 1, p. 23). D. Perrin, Cours d'algèbre, Paris, 2004, p. 13, ne parle que d'opération d'un groupe sur un ensemble, et non d'action.

[2] N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, Paris, 1970, p. 50.

[3] J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 206.

[4] J. J. Rotman, An introduction to the theory of groups, 4^e éd., tirage de 1999, p. 282.

[5] J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 184.

[6] N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, $ 6, n° 5, Paris, 1970, p. 73.

[7] Souligné par N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, n° 5, Paris, 1970, p. 56.

[8] N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, n° 5, Paris, 1970, p. 56.

[9] P. Tauvel, Algèbre, 2^e éd., Paris, 2005, p. 65.

[10] N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, n° 6, Paris, 1970, p. 58.

[11] Voir par exemple P.J. Cameron, Permutation groups, Cambridge, 1999, p.2; H. Kurzweil et B. Stellmacher, The theory of finite groups, New York, 2004, p. 55.

[12] Voir par exemple Jean Delcourt, Théorie des groupes, 2^e éd., Paris, 2007, p. 63.

[13] J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4^e édition, 2^e tirage, 1999, théor. 4.2, p. 74.

[14] J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4^e édition, 2^e tirage, 1999, théor. 4.4, pp. 74-75.

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Groupe (mathématiques)/Action de groupe

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Sommaire

[modifier] Définition d'une action

[modifier] Exemples

[modifier] Vocabulaire

[modifier] Action à droite

[modifier] Équation aux classes

[modifier] Le centralisateur et le normalisateur vus comme stabilisateurs

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