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Groupe
Chapitres
| Chapitre 1 : |
 Lois de composition internes, monoïdes (?) |
| Chapitre 2 : |
Groupes, premières notions (?) |
| Chapitre 3 : |
Classes modulo un sous-groupe (?) |
| Chapitre 4 : |
Sous-groupe distingué et groupe quotient (?) |
| Chapitre 5 : |
Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z (?) |
| Chapitre 6 : |
Groupes monogènes, ordre d'un élément (?) |
| Chapitre 7 : |
Conjugaison, centralisateur, normalisateur (?) |
| Chapitre 8 : |
Action de groupe (?) |
| Chapitre 9 : |
Produit de groupes (?) |
| Chapitre 10 : |
Théorèmes de Sylow (?) |
| Chapitre 11 : |
Sous-groupes caractéristiques (?) |
| Chapitre 12 : |
Groupes symétriques finis (?) |
| Chapitre 13 : |
Théorème de Jordan-Hölder (?) |
| Chapitre 14 : |
Produit semi-direct (?) |
| Chapitre 15 : |
Commutateurs, groupe dérivé (?) |
| Chapitre 16 : |
Groupes résolubles (?) |
| Chapitre 17 : |
Groupes nilpotents (?) |
| Chapitre 18 : |
Groupes diédraux (?) |
| Chapitre 19 : |
Premiers résultats sur les groupes simples (?) |
| Chapitre 20 : |
Groupes commutatifs finis, 1 (?) |
| Chapitre 21 : |
Groupes commutatifs finis, 2 (?) |
| Chapitre 22 : |
Automorphismes d'un groupe cyclique (?) |
| Chapitre 23 : |
Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux (?) |
| Chapitre 24 : |
Théorèmes de Gaschütz et de Schur-Zassenhaus (?) |
Exercices
| Exercice 1 : |
Lois de composition internes, monoïdes |
| Exercice 2 : |
Groupes, premières notions (?) |
| Exercice 3 : |
Classes modulo un sous-groupe (?) |
| Exercice 4 : |
Sous-groupe distingué, groupe quotient (?) |
| Exercice 5 : |
Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z (?) |
| Exercice 6 : |
Groupes monogènes, ordre d'un élément (?) |
| Exercice 7 : |
Conjugaison, centralisateur, normalisateur (?) |
| Exercice 8 : |
Action de groupe (?) |
| Exercice 9 : |
Produit de groupes (?) |
| Exercice 10 : |
Théorèmes de Sylow (?) |
| Exercice 11 : |
Sous-groupes caractéristiques (?) |
| Exercice 12 : |
Groupes symétriques finis (?) |
| Exercice 13 : |
Théorème de Jordan-Hölder (?) |
| Exercice 14 : |
Produit semi-direct (?) |
| Exercice 15 : |
Commutateurs, groupe dérivé (?) |
| Exercice 16 : |
Groupes résolubles (?) |
| Exercice 17 : |
Groupes nilpotents (?) |
| Exercice 18 : |
Groupes diédraux (?) |
| Exercice 19 : |
Premiers résultats sur les groupes simples (?) |
| Exercice 20 : |
Groupes commutatifs finis, 1 (?) |
| Exercice 21 : |
Groupes commutatifs finis, 2 (?) |
| Exercice 22 : |
Automorphismes d'un groupe cyclique (?) |
| Exercice 23 : |
Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux (?) |
Les groupes constituent la structure algébrique de base des mathématiques, puisque à partir de ceux-ci sont créés les anneaux, corps, espaces vectoriels…
Objectifs
Les objectifs de cette leçon sont :
- premiers éléments sur les groupes, pouvant être considérés comme le début d'un cours d'algèbre
- introduction à la théorie des groupes
Note : pour une introduction très substantielle à la théorie des groupes finis, le lecteur est invité à consulter le cours Groupes finis de Jean-Pierre Serre, en ligne.
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Niveau et prérequis conseillés
Cette leçon est de niveau 13. Les prérequis conseillés sont :
- Loi de composition interne
- Cardinaux, nombres entiers naturels
- Après les premières notions relatives aux groupes (groupes quotients, groupe des entiers rationnels, groupes cycliques), il serait souhaitable, si ce n'est pas encore fait, d'acquérir les notions classiques d'algèbre linéaire (anneaux, modules, corps, espaces vectoriels, dimension, applications linéaires, matrices, déterminant), car ces notions doivent être utilisées tôt ou tard dans la théorie des groupes. Par exemple, une démonstration, donnée dans cette leçon, du théorème sur l'existence des sous-groupes de Sylow repose sur la théorie des espaces vectoriels sur les corps finis.
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Référents
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