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Groupe (mathématiques)
Chapitres
| Chap. 1 : |
 Lois de composition internes, monoïdes (13) |
| Chap. 2 : |
Groupes, premières notions (14) |
| Chap. 3 : |
Classes modulo un sous-groupe (15) |
| Chap. 4 : |
Sous-groupe distingué et groupe quotient (15) |
| Chap. 5 : |
Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z (14) |
| Chap. 6 : |
Groupes monogènes, ordre d'un élément (14) |
| Chap. 7 : |
Conjugaison, centralisateur, normalisateur (15) |
| Chap. 8 : |
Action de groupe (15) |
| Chap. 9 : |
Produit de groupes (15) |
| Chap. 10 : |
Théorèmes de Sylow (15) |
| Chap. 11 : |
Sous-groupes caractéristiques (15) |
| Chap. 12 : |
Groupes symétriques finis (?) |
| Chap. 13 : |
Groupes alternés (?) |
| Chap. 14 : |
Théorème de Jordan-Hölder (?) |
| Chap. 15 : |
Produit semi-direct (?) |
| Chap. 16 : |
Commutateurs, groupe dérivé (?) |
| Chap. 17 : |
Groupes résolubles (?) |
| Chap. 18 : |
Groupes nilpotents (?) |
| Chap. 19 : |
Groupes diédraux (?) |
| Chap. 20 : |
Premiers résultats sur les groupes simples (?) |
| Chap. 21 : |
Groupes commutatifs finis, 1 (?) |
| Chap. 22 : |
Groupes commutatifs finis, 2 (?) |
| Chap. 23 : |
Automorphismes d'un groupe cyclique (?) |
| Chap. 24 : |
Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux (?) |
| Chap. 25 : |
Théorème de Gaschütz (?) |
| Chap. 26 : |
Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall (?) |
| Chap. 27 : |
Transfert, théorème du complément normal de Burnside (?) |
| Chap. 28 : |
Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives (?) |
| Chap. 29 : |
Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs (?) |
Annexes
Exercices
| Exercice 1 : |
Lois de composition internes, monoïdes (13) |
| Exercice 2 : |
Groupes, premières notions (13) |
| Exercice 3 : |
Classes modulo un sous-groupe (13) |
| Exercice 4 : |
Sous-groupe distingué, groupe quotient (13) |
| Exercice 5 : |
Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z (13) |
| Exercice 6 : |
Groupes monogènes, ordre d'un élément (13) |
| Exercice 7 : |
Conjugaison, centralisateur, normalisateur (13) |
| Exercice 8 : |
Action de groupe (13) |
| Exercice 9 : |
Produit de groupes (13) |
| Exercice 10 : |
Théorèmes de Sylow (13) |
| Exercice 11 : |
Sous-groupes caractéristiques (13) |
| Exercice 12 : |
Groupes symétriques finis (13) |
| Exercice 13 : |
Groupes alternés (13) |
| Exercice 14 : |
Théorème de Jordan-Hölder (13) |
| Exercice 15 : |
Produit semi-direct (13) |
| Exercice 16 : |
Commutateurs, groupe dérivé (13) |
| Exercice 17 : |
Groupes résolubles (13) |
| Exercice 18 : |
Groupes nilpotents (13) |
| Exercice 19 : |
Groupes diédraux (13) |
| Exercice 20 : |
Premiers résultats sur les groupes simples (13) |
| Exercice 21 : |
Groupes commutatifs finis, 1 (13) |
| Exercice 22 : |
Groupes commutatifs finis, 2 (13) |
| Exercice 23 : |
Automorphismes d'un groupe cyclique (13) |
| Exercice 24 : |
Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux (13) |
| Exercice 25 : |
Théorème de Gaschütz (13) |
| Exercice 26 : |
Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall (13) |
| Exercice 27 : |
Transfert, théorème du complément normal de Burnside (13) |
Les groupes constituent la structure algébrique de base des mathématiques, puisque à partir de ceux-ci sont créés les anneaux, corps, espaces vectoriels…
Objectifs
Les objectifs de cette leçon sont :
- premiers éléments sur les groupes, pouvant être considérés comme le début d'un cours d'algèbre
- introduction à la théorie des groupes
Note : pour une introduction très substantielle à la théorie des groupes finis, le lecteur est invité à consulter le cours Groupes finis de Jean-Pierre Serre, en ligne.
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Niveau et prérequis conseillés
Cette leçon est de niveau 14. Les prérequis conseillés sont :
- Loi de composition interne
- Cardinaux, nombres entiers naturels
- Après les premières notions relatives aux groupes (groupes quotients, groupe des entiers rationnels, groupes cycliques), il serait souhaitable, si ce n'est pas encore fait, d'acquérir les notions classiques d'algèbre linéaire (anneaux, modules, corps, espaces vectoriels, dimension, applications linéaires, matrices, déterminant), car ces notions doivent être utilisées tôt ou tard dans la théorie des groupes. Par exemple, une démonstration, donnée dans cette leçon, du théorème sur l'existence des sous-groupes de Sylow repose sur la théorie des espaces vectoriels sur les corps finis.
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Pour aller plus loin
Vous pouvez compléter ce paragraphe en modifiant cette section.
Référents
Ces contributeurs sont prêts à vous aider concernant ce cours :
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Représentations du groupe symétrique d'indice trois (?)
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