Géométrie symplectique/Variété symplectique
Forme symplectique[modifier | modifier le wikicode]
Une variété symplectique est une variété différentielle M munie d'une 2-forme différentielle fermée et non dégénérée ω. Une telle forme s’appelle une forme symplectique.
En un point x, on dispose donc d'une forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée sur l'espace tangent . Cela implique en particulier que la dimension de M soit paire (voir chapitre 1). De plus, la puissance n-ième définit une forme volume, c'est-à-dire une forme de degré maximale de tout point non nulle. De fait, l’existence d'une forme symplectique implique que la variété soit orientable.
Exemples[modifier | modifier le wikicode]
- Espace vectoriel symplectique (voir le chapitre 1)
- Tore symplectique
Sous-variétés[modifier | modifier le wikicode]
- Sous-variétés lagrangiennes
Argument de Moser[modifier | modifier le wikicode]
Soient deux formes volume et sur une même variété compacte M. Alors il existe un difféomorphisme de M, isotope à l'identité, transformant en .
Théorème de Darboux[modifier | modifier le wikicode]
Pour toute variété symplectique de dimension 2n, et point x de M, il existe un difféomorphisme symplectique d'un voisinage de x sur un ouvert de .