Généralités sur les fonctions/Exercice/Calcul d'image

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Sommaire 1 Expressions (ou formules) 2 Egalité de deux expressions 3 Notion de fonction 4 Image d'un nombre par une fonction 5 Notation "f de x" 6 Différence entre la fonction et son expression 7 Exercice 8 Exercice

[modifier] Expressions (ou formules)

Une expression (ou formule) étant donnée.

On applique l'expression à une valeur particulière de x en remplaçant x par cette valeur.

(on dit aussi substituer la valeur particulière à x).

Appliquer l'expression suivante aux valeurs de x demandées :

Expression : .

Valeur de x  :  ; Valeur de l'expression  :

Valeur de x  :  ; Valeur de l'expression  :

Valeur de x  :  ; Valeur de l'expression  :

[modifier] Egalité de deux expressions

Définition

Deux expressions et sont égales sur une ensemble si : pour tout  : .

• Si l'ensemble est infini, pour démontrer que deux expressions sont égales sur ,

il faudrait faire une infinité de vérification.

Il est plus facile alors d'appliquer les règles du calcul littéral (réduire, développer, factoriser, etc).

[modifier] Notion de fonction

Dans l'exemple précédent, la fonction f est l'entité mathématique qui associe à x la valeur de l'expression. On note :

Décrire en français l'action de f sur x :

[modifier] Image d'un nombre par une fonction

L'image d'un nombre par une fonction est la valeur que la fonction lui associe, ainsi dans l'exemple précédent :

• l'image de par la fonction f est ..................

• l'image de par la fonction f est ................

• l'image de par la fonction f est ..................

[modifier] Notation "f de x"

Une expression qui définit une fonction f est souvent notée qui se lit "f de x"

pour signifier la dépendance à la valeur de la variable.

Attention : Ce n'est pas une multiplication par x !!!

Ainsi dans la question précédente on avait l'expression

Et on a calculé les valeurs : , et .

[modifier] Différence entre la fonction et son expression

Une fonction n'est pas une expression, mais un être mathématique qui peut être défini par une expression.

On peut écrire :

f est la fonction par

Remarque finale : Une fonction est un objet abstrait, qui ne se voit pas.

Une fonction, c'est une manière d'associer à un nombre son image.

Une expression est une façon de décrire le processus de manière visuelle, avec une formule.

Mais une fonction peut être définie par autre chose qu'une formule  : un tableau de valeurs, un graphique, une construction géométrique, une quantité physique, etc...

[modifier] Exercice

Voici un tableau de valeurs d'une fonction f définie sur l'intervalle .

x	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
f(x)	10	5	2	1	2	5	10	17

1. Images et antécédents.

a) Quelle estl'image de 2 par f ?

b) Donner f(3).

c) Donner le ou les antécédents de 2.

2. Représentation graphique et variations.

a) En centrant judicieusement un repère orthonormé d'unité graphique 1 cm.

Placer les points correspondants au tableau de valeur.

b) Proposer trois phrases aussi précises que possible décrivant le comportement supposé de f ,

utilisant respectivement les mots "décroissante", "croissante" et "minimum".

c) Proposer une expression algébrique qui pourrait définir la fonction f.

[modifier] Exercice

La courbe ci-dessous représente une fonction f définie sur [-4 ;2].

a) Par lecture graphique, donner le tableau de variations de f.

b) Par lecture graphique, donner une valeur approchée au dixième de f( − 2)

c) Par lecture graphique, donner une valeur approchée à l'unité des antécédents de 2 par f.

d) Soit k un réel quelconque. Discuter en fonction de k le nombre de ses antécédents par f.