Formules de Taylor/Formule de Taylor-Lagrange
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| Chapitre 1 | |||
| Leçon : Formules de Taylor | |||
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| Chap. suiv. : | Formule de Taylor-Young | ||
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Formules de Taylor/Formule de Taylor-Lagrange », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
[modifier] Formule de Taylor avec reste intégral
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Théorème |
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Soit f une fonction définie et n fois dérivable sur un segment
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![\left[a,b\right]](http://upload.wikimedia.org/math/f/9/4/f944498af9d6490b5599ba93146f9db8.png)
, 
Nous allons chercher à montrer cette propriété par récurrence :
- Initialisation
Pour le cas n=0, l'égalité s'écrit : 
, ce qui est vrai.
- Hérédité
Supposons l'égalité vraie pour n-1 :
Il suffit ensuite de faire une intégration par parties dans l'intégrale :
![\frac{1}{(n-1)!}\int_a^b (b-t)^{n-1} f^{(n)}(t) dt = \frac{1}{(n-1)!}\left[ - \frac{(b-t)^n}{n} f^{(n)}(t) \right]_a^b - \frac{1}{(n-1)!}\int_a^b - \frac{(b-t)^n}{n} f^{(n+1)}(t) dt](http://upload.wikimedia.org/math/d/a/e/dae99a9e9a48d9789d9f20ad75fe0b46.png)
On obtient ainsi l'égalité pour n.
[modifier] Formule de Taylor-Lagrange
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Théorème |
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Soit f une fonction définie et n fois dérivable sur un segment
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En utilisant la formule de Taylor avec reste intégral, on applique l'égalité de la moyenne sur le reste, les deux fonctions étant continues :
![\exists c \in ]a;b[ \frac{1}{n!}\int_a^b (b-t)^n f^{(n+1)}(t) dt = \frac{1}{n!} f^{(n+1)}(c) \int_a^b (b-t)^n dt= \frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(c)](http://upload.wikimedia.org/math/8/d/e/8de083f28f3a2c4ef7931be7525baf4a.png)
par intégration d'une fonction polynomiale.
