Fonctions d'une variable réelle/Continuité uniforme

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Continuité uniforme

Chapitre no8
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
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Fonctions d'une variable réelle/Continuité uniforme », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Définition et exemples

Voici une notion de continuité plus fine mais aussi moins intuitive. Elle sert d'un point de vue théorique notamment à construire l'intégrale de Riemann ou à démontrer le Théorème de Weierstrass pour l'approximation de fonctions.

Début d'une définition

Définition

Soit $f\,$ une fonction définie sur un intervalle $I\,$ . $f\,$ est dite uniformément continue sur $I\,$ , si, et seulement si :

$\forall \varepsilon > 0 , \exists \delta_{\varepsilon} > 0 | \forall x,y \in I , |x-y|<\delta_{\varepsilon} \Rightarrow |f(y)-f(x)|<\varepsilon\,$

Fin de la définition

La continuité « simple » de $f\,$ en $x\in I\,$ s'écrit par comparaison : $\forall y \in I, \forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \delta_{\varepsilon}> 0 | \ \forall y \in E, \ |x-y|< \delta_{\varepsilon}\ \Rightarrow \ |f(y)-f(x)| <\varepsilon \,\!$
Il faut comprendre que le terme uniforme signifie que le choix de $\delta_{\varepsilon}\,$ en fonction de $\varepsilon\,$ ne dépend pas du point considéré, il est uniforme sur $I\,$ (en effet, le $\forall y \in I\,$ est situé avant le $\forall \varepsilon > 0\,$ , ce qui signifie que $\delta_{\varepsilon}\,$ (parfois appelé "module de continuité uniforme") dépend de $y\,$ , alors que dans la continuité uniforme, ce $\delta_{\varepsilon}\,$ ne dépend pas de $y\,$ pusique le $\forall y \in I\,$ est placé après le $\forall \varepsilon > 0\,$.

Intuitivement, une fonction n'est pas uniformément continue si l'on peut prendre des points arbitrairement proches tels que leurs écarts ne soient pas arbitrairement proches. Ainsi, les fonctions $f(x)=x^2\,$ et $g(x)=\sin(e^x)\,$ ne sont pas uniformément continues sur $\R\,$.

(exemples à faire)

Propriétés

Début d'une propriété Propriété

Toute fonction uniformément continue est continue.

Début de la propriété

L'explication ci-dessus de la différence (en fait, c'est de la logique formelle) entre continuité simple et uniforme permet de démontrer cette propriété : il suffit de remarquer que si on a trouvé le $\delta_{\varepsilon}\,$ pour tous $x,y\in I\,$ en prouvant la continuité uniforme, alors on l'a trouvé pour un réel $x\,$ fixé (ce sera le même).

Le Théorème important sur la continuité uniforme est le suivant (c'est une réciproque partielle de la propriété précédente) :

Début d'un théorème

Théorème de Heine

Toute fonction continue sur un intervalle fermé borné est uniformément continue.

Fin du théorème

Démonstration

Soit $f\,$ une fonction continue sur un intervalle fermé borné $[a;b]\,$ (donc $a,b\in \R\,$ ).
On raisonne par l'absurde en supposant qu'elle n'est pas uniformément continue sur $[a;b]\,$ . Alors :

$\exist \varepsilon > 0 , \forall \delta > 0 | \exist x,y \in [a;b] , |x-y|<\delta \mathrm{\;mais\;} |f(y)-f(x)|>\varepsilon \;(\star)\,$.

En choisissant $\delta_n = \frac{1}{n} \;\forall n\in \mathbb N\,$ , on peut ainsi construire deux suites $x_n\,$ et $y_n\,$ vérifiant $(\star)\,$ .Les suites $x_n\,$ et $y_n\,$ sont à valeurs dans $[a;b]\,$ et sont donc bornées : le Théorème de Bolzano-Weierstrass assure qu'il existe deux suites $x_{\varphi(n)}\,$ et $y_{\varphi(n)}\,$ extraites respectivement de $x_n\,$ et $y_n\,$ et qui soient convergentes.
Donc (en prenant $\delta =\delta_{\varphi(n)} = \frac{1}{\varphi(n)}\,$):

$\exist \varepsilon > 0 ,\exist x_{\varphi(n)},y_{\varphi(n)} \in I | |x_{\varphi(n)}-y_{\varphi(n)}|<\frac{1}{\varphi(n)} \mathrm{\;mais\;} |f(y_{\varphi(n)})-f(x_{\varphi(n)})|>\varepsilon \,$.

Donc $\forall n \in \mathbb N, |x_{\varphi(n)}-y_{\varphi(n)}|<\frac{1}{\varphi(n)} \mathrm{\;et\;} \lim_{n\to +\infty}\frac{1}{\varphi(n)} = 0 \Rightarrow \lim_{n\to +\infty} x_{\varphi(n)}= \lim_{n\to +\infty} y_{\varphi(n)}= \ell \in [a;b]\,$ et,

par continuité de $f\,$ , il vient $\forall n\in \mathbb N ,\,|f(y_{\varphi(n)})-f(x_{\varphi(n)})|>\varepsilon>0 \Rightarrow |f(\ell)-f(\ell)|>0\,$ ce qui est absurde.On en déduit le résultat voulu.


Remarque : $\ell \in [a;b]\,$ car $[a;b]\,$ est fermé et $x_{\varphi(n)}\mathrm{\;et\;}y_{\varphi(n)}\in[a;b] \Rightarrow \ell \in[a;b]\,$ d'après le Théorème des Gendarmes.

 

Fonctions lipschitziennes et höldériennes

Début d'une définition

Définition : Fonction lipschitzienne

Soit $f : I\to \R\,$ une fonction définie sur un intervalle $I\,$ .
La fonction $f\,$ est dite lipschitzienne sur $I\,$ ,si, et seulement si :

$\exist k>0 | \forall x,y \in I , |f(y)-f(x)|\le k|y-x|\,$

Fin de la définition

On dit alors que $f\,$ est $k\,$-lipschitzienne.
Exemples :
1/ La fonction $f : x \mapsto x\,$ est 1-lipschitzienne sur $\R\,$ car bien sûr $\forall x,y \in \R , |f(y)-f(x)| = |y-x|\le |y-x| \;(k=1)\,$ .
2/ La fonction $f : x \mapsto \sin x\,$ est aussi 1-lipschitzienne sur $\R\,$ car $\forall x,y \in \R , |f(y)-f(x)| = |\sin y-\sin x|\le |y-x| \;(k=1)\,$ .
3/ En revanche, ce n'est pas le cas de la fonction $f : x \mapsto \sqrt x\,$ car $\forall x>0 ,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\,$, qui n'est pas borné au voisinage de $x=0\,$ .
(interprétation graphique à faire)

Début d'une définition

Définition : Fonction höldérienne

Soit $f : I\to \R\,$ une fonction définie sur un intervalle $I\,$ .
La fonction $f\,$ est dite höldérienne sur $I\,$ ,si, et seulement si :

$\exist \alpha\in ]0;1],\exist k>0 | \forall x,y \in I , |f(y)-f(x)|\le k|y-x|^{\alpha}\,$

Fin de la définition

On dit alors que $f\,$ est $\alpha\,$-höldérienne : si $\alpha = 1\,$ , on retrouve la notion de fonction lipschitzienne.
Exemple : La fonction $f : x \mapsto \sqrt x\,$ est 1/2-höldérienne sur $\R^+\,$ .

Début d'une propriété Propriété

Toute fonction höldérienne (et donc lipschtizienne) est uniformément continue.

Début de la propriété

En revanche, la réciproque est fausse (contre-exemple à faire).

Démonstration

Soit $\varepsilon>0\,$ .
Il suffit de prendre $\delta_{\varepsilon} = \left(\frac{\varepsilon}{k}\right)^{\frac{1}{\alpha}}\,$ dans la définition de la continuité uniforme.

 

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Convexité

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