Fonctions d'une variable complexe/Intégrales curvilignes

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Intégrales curvilignes

Chapitre no4
Leçon : Fonctions d'une variable complexe
Chap. préc. :	Le logarithme complexe
Chap. suiv. :	Formule intégrale de Cauchy

   

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Fonctions d'une variable complexe/Intégrales curvilignes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Chemins dans le plan complexe

Début d'une définition

Définitions

Un chemin est une application continue $\gamma : [a\;b] \rightarrow \C$ où [a,b] est un intervalle compact de $\R$.

On appelle $\gamma(a)$ l'origine du chemin et $\gamma(b)$ la fin du chemin. Si $\gamma(a)=\gamma(b)$ le chemin est appelé chemin fermé ou encore lacet.

Si $\gamma$ est $C^1([a,b])$ alors le chemin est dit continûment dérivable.

Enfin, si $\gamma$ est $C^1(I_k)$ où $[a,b]=\bigcup_{k=1}^{n} I_k \;\;\; k , n \in \N$ alors le chemin est dit continûment dérivable par morceaux.

Fin de la définition

Début de l'exemple

Exemple

Le cercle de rayon $R$ et de centre $z_0$ est l'image du chemin $\gamma(t)=Re^{it}+z_0, \; t \in [0,2\pi]$

Fin de l'exemple

On peut toujours se ramener à des chemin définis sur l'intervalle $[0,1]$ via un changement de variable affine. Ainsi, $\gamma(t)$ défini pour $t\in[a,b]$ se ramène à $\gamma_0:[0,1]\rightarrow \C$, avec $\gamma_0(u)=\gamma((b-a)u+a)$.

On confondra souvent dans le langage informel un chemin et son image.

Chemins homotopes

Soient $\gamma$ et $\Gamma$ deux chemins tels que :

$\gamma ,\; \Gamma :[a,b] \rightarrow \Omega \subset \C$

On introduit alors la notion suivante :

Début d'une définition

Chemins homotopes à extrémités fixes

Les chemins $\gamma$ et $\Gamma$ sont dits homotopes dans $\Omega$ comme chemins à extrémités fixes lorsqu'il existe une application continue

$H:[a,b] \times[0,1] \rightarrow \Omega \subset \C$

telle que :

• $\forall t\in [a,b], \quad \gamma(t)=H(t,0)\;$
• $\forall t\in [a,b], \quad \Gamma(t)=H(t,1)\;$
• $\forall s\in [0,1], \quad H(a,s)=\gamma(a)=\Gamma(a) \;$
• $\forall s\in [0,1], \quad H(b,s)=\gamma(b)=\Gamma(b) \;$

Fin de la définition

Cette définition signifie que deux chemins possédant les mêmes extrémités sont homotopes si l'un peut se déformer continûment sur l'autre. En particulier, l'image de $H$ dans $\C$ ne contient pas de "trou topologique".

Début d'une définition

Chemins fermés homotopes

Les chemins $\gamma$ et $\Gamma$ sont dits homotopes dans $\Omega$ comme chemins fermés lorsqu'il existe une application continue

$H:[a,b] \times[0,1] \rightarrow \Omega \subset \C$

telle que :

• $\forall t\in [a,b], \quad \gamma(t)=H(t,0)\;$
• $\forall t\in [a,b], \quad \Gamma(t)=H(t,1)\;$
• $\forall s\in [0,1], \quad H(a,s)=H(b,s) \;$

Fin de la définition

Connexité simple

Début d'une définition

Ouvert simplement connexe

Un ouvert (ensemble) $\Omega \subset \C$ est dit simplement connexe (ensemble) si tout chemin contenu dans cet ouvert est homotope à un point (i.e. un chemin constant), ou de façon équivalente, si tout lacet est homotope à un point.

Fin de la définition

Concrètement, lorsqu'un ensemble est "troué", on ne peut contracter les lacets qui font le tour d'un de ces trous, c'est le cas pour un anneau ou un disque épointé, par exemple. La simple connexité dans le plan est la propriété des ensembles qui n'ont pas de trou.

Début d'une propriété Proposition

Les (ouverts) convexes et, plus généralement, les ouverts (ensembles) étoilés sont simplement connexes.

Début de la propriété

Début de l'exemple

Quelques ouverts simplement connexes

• Le plan complexe $\C$,
• La boule (appelée aussi disque) ouverte de rayon R centrée en $z_0$ : $\mathrm B=\left \{z \in \C : |z-z_0|<\mathrm R \;\; \mathrm R \in \R \right \}$,
• Le domaine $\Omega=\C\backslash]-\infty,0]$ de définition de $Log$.

Fin de l'exemple

Intégrale curviligne

Début d'une définition

Définition de l'intégrale curviligne

Soit $f:\Omega \subset \C \rightarrow \C$ et un chemin continûment dérivable sur $[a,b] \subset \R$ tel que $\gamma : [a,b] \rightarrow \Omega \subset \C$.

On définit l'intégrale curviligne de ƒ le long de $\gamma$ par : $\int_{\gamma} f(z)\, \mathrm dz =\int_{a}^{b}f(\gamma(t)) \mathrm \gamma\,'\left(t\right) \, \mathrm dt$.

Si $\gamma$ est un chemin fermé on utilise parfois la notation (surtout dans les anciens ouvrages et les ouvrages de physique) : $\oint_{\gamma} f(z)\, \mathrm dz$.

Fin de la définition

Notation alternative pour l'intégrale curviligne et lien avec l'analyse vectorielle

On a aussi $\gamma(t) = \gamma_{1}(t)+i\gamma_{2}(t)\;$ où $\gamma(t)_1$ et $\gamma_2$ désignent respectivement les parties réelles et imaginaires de $\gamma$. On peut alors définir $\vec {\gamma(t)}=(\gamma_1(t),\gamma_2(t))$

$\int_{\gamma} f(z)\, \mathrm dz =\int_{\vec {\gamma}} f\, \mathrm dx+i f\mathrm dy$ (intégration par rapport à la partie réelle et imaginaire) ce qui montre le lien entre l'intégrale curviligne dans $\C$ et l'intégrale curviligne de fonctions vectorielles. Puisque toute fonction $f:\C \rightarrow \C$ est équivalente à une fonction vectorielle $f:\R^2 \rightarrow \R^2$

Inégalité ML

Début d'un lemme

Lemme d'estimation (standard)

Si $f:\Omega \subset \C \rightarrow \C$ telle que $|f|$ est bornée sur un chemin $\gamma$ rectifiable et continûment dérivable de longueur $L(\gamma)$, alors il existe $M\in \R$ tel que l'on a l'inégalité: $|\int_{\gamma}f(z)\mathrm{dz}| \leq M L(\gamma)$
Avec en particulier $M=\mathrm{sup_{\gamma}}|f(z)|$

Fin du lemme

Cette inégalité est très utile pour l'évaluation des intégrales curvilignes, en particulier pour montrer que certaines intégrales curvilignes sont nulles.

Théorème de Cauchy (invariance des intégrales curvilignes par homotopie)

Début d'un théorème

Théorème de Cauchy

Soit $f:\Omega \subset \C \rightarrow \C$ et $\gamma$ et $\Gamma$ deux chemins homotopes continûment dérivables sur $[a,b]\subset \R$ tels que $\gamma ,\Gamma: [a,b] \rightarrow \Omega \subset \C$.

On alors: $\int_{\gamma} f(z)\, \mathrm dz =\int_{\Gamma} f(z)\, \mathrm dz$

Fin du théorème

Indice d'un lacet

L'indice d'un lacet $\gamma$ par rapport à un point $z_{0} \in \C$, noté $Ind(\gamma,z_{0})$ est "le nombre de tours" que fait le lacet autour de ce point.Ce nombre est positif pour les tours dans le sens trigonométrique (direct,anti-horlogique) et négatif dans le sens inverse (indirect,horlogique).

Ce lacet a un indice égal à deux autour de p (Ind(C,p)=2).

Début d'une définition

indice d'un lacet autour d'un point

L'indice d'un lacet $\gamma$ par rapport à un point $z_{0} \in \C$ est défini par:
$\mathrm {Ind(\gamma,z_{0})} :=\frac{1}{2 \pi i}\int_{\gamma} \frac{1}{z-z_{0}} \mathrm{dz}$

Fin de la définition

Primitive des fonctions holomorphes

Début d'une définition

Définition

Soit $\Omega$ un ouvert de $\C$ et $f,\, F$ des fonctions définies sur $\Omega$. $F$ est appelée primitive de $f$ si elle est holomorphe sur $\Omega$ et qu'elle vérifie $F\,'=f$.

Fin de la définition

Début de la proposition

Proposition

Lorsque $\Omega$ est connexe, deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

Fin de la proposition

Début d'une propriété Propriété

Si $f$ est une fonction holomorphe définie sur un ouvert simplement connexe $\Omega$ de $\C$, alors il existe une fonction $F$ holomorphe sur $\Omega$ telle que $F\,'=f$.

Début de la propriété

Fonctions d'une variable complexe

Le logarithme complexe

Formule intégrale de Cauchy