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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Fonctions circulaires réciproques : Fonction arcsin Fonctions circulaires réciproques/Fonction arcsin », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
La fonction sinus est une surjection de
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
vers
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
. Elle devient bijective si l'on ne considère que les angles compris dans un intervalle de la forme
I
k
:=
[
−
π
2
+
k
π
,
π
2
+
k
π
]
,
k
∈
Z
{\displaystyle I_{k}:=\left[-{\frac {\pi }{2}}+k\pi ,{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right],\ k\in \mathbb {Z} }
, car sa restriction à
I
k
{\displaystyle I_{k}}
est strictement monotone donc injective. On choisit l'intervalle le plus simple (
I
0
{\displaystyle I_{0}}
), et l'on peut alors définir l'application réciproque de cette fonction :
Définition
Wikipedia-logo-v2.svg
On appelle arcsinus , et l'on note
arcsin
{\displaystyle \arcsin }
, la bijection de
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
dans
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}
qui,
à tout réel
x
∈
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle x\in [-1,1]}
, associe l'unique réel
θ
∈
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle \theta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}
tel que
sin
θ
=
x
{\displaystyle \sin \theta =x}
.
Autrement dit :
arcsin
x
=
θ
⇔
x
=
sin
θ
et
θ
∈
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle \arcsin x=\theta \Leftrightarrow x=\sin \theta \quad {\text{et}}\quad \theta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}
.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple
La courbe représentative de
arcsin
{\displaystyle \arcsin }
se déduit de celle de la fonction sinus (restreinte à
I
0
{\displaystyle I_{0}}
) par une symétrie axiale par rapport à la première bissectrice du repère :
Courbe représentative de
arcsin
{\displaystyle \arcsin }
.
Remarques
∀
θ
∈
[
−
π
2
,
π
2
]
arcsin
(
sin
θ
)
=
θ
{\displaystyle \forall \theta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\quad \arcsin(\sin \theta )=\theta }
.
∀
x
∈
[
−
1
,
1
]
sin
(
arcsin
x
)
=
x
{\displaystyle \forall x\in \left[-1,1\right]\quad \sin(\arcsin x)=x}
.
Puisque
sin
{\displaystyle \sin }
est continue et strictement croissante sur
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}
, on a :
Propriété
La fonction
arcsin
{\displaystyle \arcsin }
est continue et strictement croissante sur
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
.
Tableau de variation
x
{\displaystyle x}
−
1
{\displaystyle -1}
+
1
{\displaystyle +1}
arcsin
x
{\displaystyle \arcsin x}
+
π
2
{\displaystyle +{\frac {\pi }{2}}}
↗
{\displaystyle \nearrow }
−
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}
Début d’un théorème
Théorème
La fonction
arcsin
{\displaystyle \arcsin }
est dérivable sur
]
−
1
,
1
[
{\displaystyle \left]-1,1\right[}
et
∀
x
∈
]
−
1
,
1
[
arcsin
′
(
x
)
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle \forall x\in \left]-1,1\right[\quad \arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
.
Fin du théorème
Démonstration
Appliquons le théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque aux bijections
f
=
sin
:
]
−
π
2
,
π
2
[
→
]
−
1
,
1
[
{\displaystyle f=\sin :\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[\to \left]-1,1\right[}
et
f
−
1
=
arcsin
:
]
−
1
,
1
[
→
]
−
π
2
,
π
2
[
{\displaystyle f^{-1}=\arcsin :\left]-1,1\right[\to \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}
.
Puisque
∀
θ
∈
]
−
π
2
,
π
2
[
sin
′
θ
=
cos
θ
≠
0
{\displaystyle \forall \theta \in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[\quad \sin '\theta =\cos \theta \neq 0}
,
la fonction
arcsin
{\displaystyle \arcsin }
est dérivable sur
]
−
1
,
1
[
{\displaystyle \left]-1,1\right[}
et
∀
x
∈
]
−
1
,
1
[
arcsin
′
(
x
)
=
1
cos
(
arcsin
x
)
{\displaystyle \forall x\in \left]-1,1\right[\quad \arcsin '(x)={\frac {1}{\cos(\arcsin x)}}}
.
De plus,
∀
θ
∈
R
cos
θ
=
±
1
−
sin
2
θ
{\displaystyle \forall \theta \in \mathbb {R} \quad \cos \theta =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}
et
∀
θ
∈
]
−
π
2
,
π
2
[
cos
θ
>
0
{\displaystyle \forall \theta \in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[\quad \cos \theta >0}
donc
∀
θ
∈
]
−
π
2
,
π
2
[
cos
θ
=
+
1
−
sin
2
θ
{\displaystyle \forall \theta \in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[\quad \cos \theta =+{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}
,
ce qui se traduit par
∀
x
∈
]
−
1
,
1
[
cos
(
arcsin
x
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle \forall x\in \left]-1,1\right[\quad \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}}
.