Fonctions circulaires/Exercice/Problème d'optimisation

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**Problème d'optimisation**
Leçon : Fonctions circulaires

Exercice 2
Chapitre du cours :	Formules de duplication
Cet exercice est de niveau 11.

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Fonctions circulaires/Exercice/Problème d'optimisation », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Problème 1 (simple)

(AB) est un rayon d'un cercle de rayon 1 et de centre A.

C est un point de ce cercle et D le point de [BA) tel que BD = 5.

On note $α$ l'angle $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$

Le but du problème est de trouver $α$ pour que l'aire du triangle BCD soit maximum.

Solution

Il faut exprimer l'aire de BCD en fonction de $α$ . Pour cela, on fait apparaître un point H, projeté orthogonal de C sur [BD). [CH] est donc une hauteur de BCD et :
$\sin(\alpha) = \frac{CH}{CA}\ = CH$ (car CA, rayon du cercle, vaut 1)

Et donc l'aire $\mathcal{A}$ du triangle vaut:
$\frac{BD \times CH}{2}\ = \frac{5 \times \sin(\alpha)}{2}\$

L'aire est donc maximale quand le sinus est maximal, c'est-à-dire pour $\alpha = \frac{\pi}{2}\$

Remarque : On a alors $\mathcal{A} = \frac{5}{2}$

[modifier] Problème 2

(AB) est un rayon d'un cercle de rayon 1 et de centre A.

C'est un point de ce cercle et D un point tel que BD = 5 et $(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BD})=\gamma=\frac{\pi}{6}$ .

On note $\alpha\,$ l'angle $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ et $\beta\,$ l'angle $(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC})$

Le but du problème est de trouver $β$ pour l'aire du triangle BCD soit maximum.

nb : On peut faire ce problème sans fixer $γ$ (comme sur la figure), mais c'est plus difficile.

On prend donc $\gamma=\frac{\pi}{6}$ pour fixer les idées.

1. Donner la relation entre $\alpha\,$ et $\beta\,$ .

2. Exprimer BC en fonction de $\alpha\,$

3. Exprimer la hauteur h du triangle ABC issue de C en fonction de $\beta\,$ et $\alpha\,$ .

4. Exprimer la hauteur h du triangle ABC issue de C en fonction de $\beta\,$ seul.

5. Dériver la fonction h par rapport à $\beta\,$ .

6. Simplifier cette dérivée.

7. Dans quel intervalle $\beta\,$ varie-t-il ?

8. Dresser le tableau de variations de h et conclure.

Solution

Dans le triangle ABC on a :

$\alpha+2(\beta+\frac{\pi}{6})=\pi$

De plus, $BC = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\,$

Soit h la hauteur du triangle ABC issue de C, on a alors :

$h=2\sin(\beta)sin(\frac{\alpha}{2})\,$

$=2\sin(\beta)\sin(\frac{\pi}{2}-(\gamma+\beta))\,$

$=2\sin(\beta)cos(\frac{\pi}{6}+\beta)\,$

Il s'agit à présent d'étudier la fonction $h\,$ .

Dérivons $h\,$ par rapport à $\beta\,$ :

$h'(\beta)=2\cos(\beta)\cos(\frac{\pi}{6}+\beta)-2\sin(\beta)\sin(\frac{\pi}{6}+\beta)$

D'après la formule $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\,$

$h'(\beta)=2\cos(2\beta+\frac{\pi}{6})\,$

$\beta+\frac{\pi}{6}$ varie dans $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$

donc $β$ varie dans

$]-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}]=]-\frac{2\pi}{3},\frac{\pi}{3}\,$ .

finalement $2\beta+\frac{\pi}{6}\,$ varie dans $]-\frac{7\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]$ .

Son cosinus s'annule donc pour :

$2\beta+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\,$

ou

$2\beta+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}\,$

c'est-à-dire :

$\beta=\frac{\pi}{6}\,$

ou

$\beta=-\frac{\pi}{3}\,$

[modifier] Balistique

On se place dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i} ,\overrightarrow{j}$ ).

Un projectile est lancé du point origine $(0;0)$ à une vitesse de $||\overrightarrow{v}||=5 m.s^{-1}$ .

On note : $\alpha =(\overrightarrow{i},\overrightarrow{v})$ .

Le but du problème est de trouver $α$ pour que le projetile touche le sol le plus loin possible du point O.

Les lois de la physique donnent en négligeant le frottement de l'air et la variation du champ de pesanteur :

$y=\tan(\alpha)x-\frac{x^2}{5\cos(\alpha)^2}$

1. Calculer l'abscisse $c\,$ du point de chute du projectile en fonction de $α$ .

2. Calculer la dérivée $c'(\alpha)\,$

3. Simplifier cette dérivée avec la formule : $\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2=\cos(2\alpha)\,$ .

4. En déduire le tableau de variations de $c(\alpha)\,$ .

5. Conclure.

Solution

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[modifier] Les anneaux

On considère un gymnaste aux anneaux.

A et A' sont les points de fixation des cordes,

D et D' les épaules du gymnaste, E et E' ses mains.

On note $\beta\,$ l'angle entre les cordes et la verticale,

$\alpha\,$ l'angle entre la ligne d'épaules et l'horizontale.

On note g l'intensité de la pesanteur, m la masse du gymnaste,

T la réaction des anneaux, supposée identique des deux côtés,

L la longueur des cordes (anneaux compris) et r la longueur des bras.

Le but du problème est d'étudier la force qui s'exerce

sur les mains du gymnaste en fonction de l'angle $\alpha\,$ .

1. Exprimer T en fonction de m, g et $β$

2. En exprimant la hauteur du triangle AED issue de E, exprimer $\beta\,$ en fonction de $\alpha\,$ , r et L.

3. En utilisant la formule : $\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}$ , exprimer T en fonction de $\alpha\,$

4. Tracer la fonction $T(\alpha)\,$ et dresser son tableau de variation.

Solution

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Sommaire

[modifier] Problème 1 (simple)

[modifier] Problème 2

[modifier] Balistique

[modifier] Les anneaux

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