Fonctions circulaires/Exercice/Mesures d'angles en radians, cosinus et sinus

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Mesures d'angles en radians, cosinus et sinus
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Exercice 1
Leçon : Fonctions circulaires

Cet exercice est de niveau 10.
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Sommaire

[modifier] Mesures des angles orientés

Définition

Le cercle C de rayon 1 centré en l'origine est appelé cercle trigonométrique, on l'oriente positivement dans le sens anti-horaire et négativement dans le sens horaire.

Soit A le point de coordonnées (1,0).

On se place dans un repère orthonormé direct.

Une mesure en radian de l'angle orienté ( \vec{OA} , \vec{OM} ) est la longueur d'une ficelle joignant A à M, enroulée autour du cercle trigonométrique, comptée positivement ou négativement suivant le sens d'enroulement.

Remarque : Un angle donné possède une infinité de mesures qui se déduisent les unes des autres par addition ou soustraction de 2kπ, où k est entier relatif.

[modifier] Exercice 1

Donner 5 autres mesures de l'angle de mesure \frac{\pi}{3}

Remarque : Tout intervalle de longueur 2π, avec une borne exclue et l'autre incluse, possède exactement une mesure d'un angle donné.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. Comment faire ?

[modifier] Exercice 2

Donner une mesure dans [20;20 + 2π[ de l'angle de mesure \frac{\pi}{3}.

Remarque : Tout nombre réel est une mesure en radian d'un unique angle donné.

Solution

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[modifier] Exercice 3

Représenter sur le cercle trigonométrique l'angle de mesure 123456,123456.

Remarque : On appelle mesure principale d'un angle orienté son unique mesure appartenant à l'intervalle ] − π;π].

Solution

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[modifier] Exercice 4

Donner la mesure principale de l'angle de mesure 123456,123456.

Solution

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[modifier] Exercice 5

Donner le sinus et le cosinus du nombre réel \frac{256\pi}{3}

Solution

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[modifier] Sinus et cosinus d'un nombre réel quelconque

Soit x un nombre réel quelconque, son sinus et son cosinus seront respectivement le sinus et le cosinus de l'angle duquel x est la mesure.

Solution

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[modifier] Cercle trigonométrique

Placer sur le cercle les points correspondants aux angles orientés dont les mesures α sont données dans le tableau.

En déduire les mesures principales correspondantes.

Point A B C D E F G H K L
α \textstyle\frac{3\pi}{4} \textstyle\frac{5\pi}{6} \textstyle\frac{-4\pi}{3} \textstyle\frac{13\pi}{3} \textstyle\frac{-23\pi}{4} \textstyle{51\pi} \textstyle\frac{-38\pi}{3} \textstyle\frac{43\pi}{4} \textstyle\frac{-28\pi}{6} \textstyle\frac{11\pi}{2}
Cercle trigo deg rad.png
Solution

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