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Fonctions affines et linéaires : Fonctions linéaires Fonctions affines et linéaires/Fonctions linéaires », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition
Soit a un nombre réel fixé.
La fonction linéaire de coefficient a est la fonction qui, à tout réel x, associe ax, c'est-à-dire: Pour tout réel x,
f
(
x
)
=
a
x
{\displaystyle f(x)=ax}
Remarques :
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
pour toutes les fonctions linéaires, car
a
×
0
=
0
{\displaystyle a\times 0=0}
.
a
{\displaystyle a}
est toujours différent de x (a est fixé, x est la variable de la fonction).
Pour
x
,
y
{\displaystyle x,y}
deux réels, on a :
f
(
x
+
y
)
=
a
×
(
x
+
y
)
{\displaystyle f(x+y)=a\times (x+y)}
=
a
×
x
+
a
×
y
{\displaystyle =a\times x+a\times y}
f
(
x
+
y
)
=
f
(
x
)
+
f
(
y
)
{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}
Exemple : On pose
f
{\displaystyle f}
telle que pour tout réel x,
f
(
x
)
=
3
×
x
{\displaystyle f(x)=3\times x}
.
On a alors
f
(
8
)
=
f
(
4
)
+
f
(
4
)
=
f
(
2
)
+
f
(
6
)
{\displaystyle f(8)=f(4)+f(4)=f(2)+f(6)}
,
En effet
f
(
8
)
=
3
×
8
=
24
,
f
(
4
)
=
3
×
4
=
12
,
f
(
2
)
=
3
×
2
=
6
,
f
(
6
)
=
3
×
6
=
18
{\displaystyle f(8)=3\times 8=24,f(4)=3\times 4=12,f(2)=3\times 2=6,f(6)=3\times 6=18}
Pour
x
,
y
{\displaystyle x,y}
deux réels, on a :
f
(
x
×
y
)
=
a
×
(
x
×
y
)
{\displaystyle f(x\times y)=a\times (x\times y)}
=
a
×
x
×
y
{\displaystyle =a\times x\times y}
(la multiplication est dite associative, l'ordre des opérations ne compte pas).
=
x
×
a
×
y
{\displaystyle =x\times a\times y}
(la multiplication est commutative,
a
×
b
=
b
×
a
{\displaystyle a\times b=b\times a}
).
=
x
×
(
a
×
y
)
{\displaystyle =x\times (a\times y)}
f
(
x
×
y
)
=
x
×
f
(
y
)
{\displaystyle f(x\times y)=x\times f(y)}
Exemple : On reprend
f
{\displaystyle f}
telle que pour tout réel x,
f
(
x
)
=
3
×
x
{\displaystyle f(x)=3\times x}
.
On a alors
f
(
8
)
=
2
×
f
(
4
)
=
4
×
f
(
2
)
=
8
×
f
(
1
)
=
0
,
8
×
f
(
10
)
{\displaystyle f(8)=2\times f(4)=4\times f(2)=8\times f(1)=0,8\times f(10)}
,
f
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle f(x)=2x}
g
(
x
)
=
−
5
x
{\displaystyle g(x)=-5x}
Définition
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.
L'équation de sa droite est du type:
y
=
a
x
{\displaystyle y=ax}
.
Schéma de rédaction :
On sait que la représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.
Pour tracer une droite, il suffit d’avoir deux points:
x
{\displaystyle x}
0
a
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
0
b
Donc la représentation graphique de f est une droite passant par les points O(0;0) et A(a;b).
Exemple de représentation graphique :
Fonction linéaire