Fonction logarithme/Exercice/Utilisation des propriétés du logarithme

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Utilisation des propriétés du logarithme
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Exercice 2
Leçon : Fonction logarithme
Chapitre du cours : Propriétés algébriques du logarithme

Cet exercice est de niveau 12.
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Fonction logarithme/Exercice/Utilisation des propriétés du logarithme  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Propriétés algébriques

Propriété

Si a et b sont strictement positifs, et si n est un entier positif,

  • \ln(a^n)=n~\ln(a)
  • \ln \left (\frac 1{a^n} \right )=-n~\ln(a)
  • \ln \left(\frac ab \right ) =\ln(a)-\ln(b)

sont des conséquences de la propriété algébrique fondamentale.

1. Simplifier les nombres suivants au maximum.

a. \ln(81) = \cdots
b. \ln(0,0001) = \cdots
c. \ln \left (\frac{49}{12} \right ) = \cdots
d. \ln (1024) = \cdots
e. \ln (0,125) = \cdots


2. Simplifier au maximum les expressions algébriques suivantes.

a. 3\ln(x^2) = \cdots
b. \ln(x^2+2x+1) = \cdots
c. \ln(2x + 2)-\ln(x+1) = \cdots,
d. \ln\left(\frac{1}{x^3}\right) = \cdots
Solution

1. a. \ln(81)=\ln(9^2)=2~\ln(9)=2~\ln(3^2)=4~\ln(3)

b. \ln(0,0001)=\ln(10^{-4})=-4~\ln(10)
c. \ln \left (\frac{49}{12} \right )=\ln(49)-\ln(12)=\ln(7^2)-\ln(3 \times 4)=2~\ln(7)-\ln(3)-\ln(4)=2~\ln(7)-\ln(3)-\ln(2^2)=2~(\ln(7)-\ln(2))-\ln(3)
d. \ln(1024)=\ln(2^{10})=10\ln(2)\,
e. \ln(0,125)=\ln\left(\frac18\right)=-\ln(8)=-\ln(2^3)=-3\ln(2)

2. a. 3\ln(x^2)=6\ln(x)\,

b. \ln(x^2+2x+1)=\ln((x+1)^2)=2~\ln(x+1)
c. \ln(2x+2)-\ln(x+1)=\ln(2(x+1))-\ln(x+1)=\ln(2)+\ln(x+1)-\ln(x+1)=~\ln(2)
d. \ln\left(\frac1{x^3}\right)=-\ln(x^3)=-3\ln(x)

[modifier] Utilisation de la stricte croissance et du signe

1. Comparer les nombres suivants sans calculer de valeurs approchées.

a. \ln(20)\, et \ln(22)\, :
b. \ln(3)\, et 1\,
c. Quel est le plus petit entier n tel que 3^n > 6666666666\, ?

2. Comparer les expressions algébriques suivantes.

a. \ln(x^2+x+2)\, et 0\, pour x \in \R:
b. \ln(x^2 + 1)\, et \ln(2x)\, pour x \in \R^{+*}:

Piste de départ : Il faut remarquer qu'à l'intérieur des \ln\, qu'on nous demande de comparer, on peut retrouver une identité remarquable par regroupement.

Solution

1. a. *20<22

  • ~\ln~ est croissante
\ln(20)<~\ln(22)

b. *1=~\ln(e)

  • 3>e
  • ~\ln~ est croissante
\ln(3)>~1

c. On rappelle que la fonction logarithme est strictement croissante, ainsi, la relation :

3^n > 6666666666\,

Est équivalente à la relation :

\ln \left(3^n\right) > \ln \left(6666666666 \right) \,

Or on sait que \ln \left(3^n\right) =n \ln 3, par conséquent, on trouve :

n > \frac{\ln{6666666666}}{\ln 3}


n > \frac{\ln{2222222222} + \ln 3}{\ln 3}
n > 1 + \frac{\ln{2222222222}}{\ln 3}

Une dernière précaution : n est un entier, la solution est donc la partie entière de cette quantité. Sa valeur est à peu près 20,5 donc la solution est finalement :

n = 21 \,

Vérifions que cette solution marche : 321 = 10460353203 > 6666666666 ;

Vérifions que tout n plus petit ne marche pas : 320 = 3486784401 < 6666666666.

2. a. Soit x\in \R

  • 0=~\ln(1). On va donc chercher à comparer x^2+x+2\, à 1\,
  • Étude du signe de (x^2+x+2)-(1)\, :
    • On s'intéresse à l'équation x^2+x+1=0\, d'inconnue x.
    • Cette équation du second degré a pour discriminant \Delta=1-4 \times 1 \times 1= -3, donc n'admet pas de racine réelle et reste du signe du coefficient de plus haut degré.
    • Finalement (x^2+x+2)-1>0\,, c'est-à-dire (x^2+x+2)>1\,
  • \ln\, est une fonction croissante
Finalement, pour tout x \in \R, \ln(x^2+x+2)>0

b. Soit x \in \R^{+*}

  • (x-1)^2 \geq 0
  • Donc x^2-2x+1 \geq 0
  • Donc x^2+1 \geq 2x
  • \ln\, est croissante
Donc pour tout x \in \R^{+*},~\ln(x^2+1) \geq \ln(2x)

[modifier] Ensemble de définition

Démontrer que l’expression \ln(x^2-4x+5)\, est définie pour tout x.

Solution

Il s'agit de vérifier que pour tout x\in \R,~x^2-4x+5>0 :

  • On cherche les solutions de l'équation x^2-4x+5=~0 d'inconnue x. Cette équation est du second degré, de discriminant \Delta=4^2-4\times1\times 5=-4~<0, donc n'admet aucune solution réelle.
  • Le signe de x^2-4x+5\, est alors toujours le même que celui du terme de plus haut degré, c'est-à-dire positif.
L’expression \ln(x^2-4x+5)\, est donc bien définie pour tout x\in \R


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