Fonction logarithme/Exercice/Utilisation des propriétés du logarithme

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**Utilisation des propriétés du logarithme**
Leçon : Fonction logarithme

Exercice 2
Chapitre du cours :	Fonction logarithme
Cet exercice est de niveau 12.

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Fonction logarithme/Exercice/Utilisation des propriétés du logarithme », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Propriétés algébriques

Propriété

Si a et b sont strictement positifs, et si n est un entier positif.

$\ln(a^n)=n~\ln(a)$

$\ln \left (\frac 1{a^n} \right )=-n~\ln(a)$

$\ln \left(\frac ab \right ) =\ln(a)-\ln(b)$

sont des conséquences de la propriété algébrique fondamentale.

1. Simplifier les nombres suivants au maximum.

a) $\ln(81)~$ =

Solution

$\ln(81)=\ln(9^2)=2~\ln(9)=2~\ln(3^2)=4~\ln(3)$

b) $\ln(0,0001)~$ =

Solution

$\ln(0,0001)=\ln(10^{-4})=-4~\ln(10)$

c) $\ln \left (\frac{49}{12} \right )=$

Solution

$\ln \left (\frac{49}{12} \right )=\ln(49)-\ln(12)=\ln(7^2)-\ln(3 \times 4)=2~\ln(7)-\ln(3)-\ln(4)=2~\ln(7)-\ln(3)-\ln(2^2)=2~(\ln(7)-\ln(2))-\ln(3)$

2. Simplifier au maximum les expressions algébriques suivantes.

a) $\ln(x^2+2x+1)=\,$

Solution

$\ln(x^2+2x+1)=\ln((x+1)^2)=2~\ln(x+1)$

b) $\ln(2x + 2)-\ln(x+1)=\,$

Solution

$\ln(2x+2)-\ln(x+1)=\ln(2(x+1))-\ln(x+1)=\ln(2)+\ln(x+1)-\ln(x+1)=~\ln(2)$

[modifier] Utilisation de la stricte croissance et du signe

1. Comparer les nombres suivants sans calculer de valeurs approchées.

a) $\ln(20)\,$ et $\ln(22)\,$ :

Solution

20<22
$~\ln~$ est croissante

$\ln(20)<~\ln(22)$

b) $\ln(3)\,$ et $1\,$

Solution

$1=~\ln(e)$
3>e
$~\ln~$ est croissante

$\ln(3)>~1$

c) Quel est le plus petit entier n tel que $3^n > 6666666666\,$ ?

Solution

On rappelle que la fonction logarithme est strictement croissante, ainsi, la relation :

$3^n > 6666666666\,$

Est équivalente à la relation :

$\ln \left(3^n\right) > \ln \left(6666666666 \right) \,$

Or on sait que $\ln \left(3^n\right) =n \ln 3$ , par conséquent, on trouve :

$n > \frac{\ln{6666666666}}{\ln 3}$

On peut tenter de simplifier encore :

$n > \frac{\ln{2222222222} + \ln 3}{\ln 3}$

$n > 1 + \frac{\ln{2222222222}}{\ln 3}$

Une dernière précaution : n est un entier, la solution est donc la partie entière de cette quantité. Sa valeur est à peu près 20,5 donc la solution est finalement :

$n = 21 \,$

Vérifions que cette solution marche : $321 = 10460353203 > 6666666666$ ;

Vérifions que tout n plus petit ne marche pas : $320 = 3486784401 < 6666666666$ .

2. Comparer les expressions algébriques suivantes.

a) $\ln(x^2+x+2)\,$ et $0\,$ pour $x \in \R$ :

Solution

Soit $x\in \R$

$0=~\ln(1)$ . On va donc chercher à comparer $x^2+x+2\,$ à $1\,$

Étude du signe de $(x^2+x+2)-(1)\,$ :
- On s'intéresse à l'équation $x^2+x+1=0\,$ d'inconnue x.
- Cette équation du second degré a pour discriminant $\Delta=1-4 \times 1 \times 1= -3$ , donc n'admet pas de racine réelle et reste du signe du coefficient de plus haut degré.
- Finalement $(x^2+x+2)-1>0\,$ , c'est-à-dire $(x^2+x+2)>1\,$

$\ln\,$ est une fonction croissante

Finalement, pour tout $x \in \R, \ln(x^2+x+2)>0$

b) $\ln(x^2 + 1)\,$ et $\ln(2x)\,$ pour $x \in \R^{+*}$ :

Piste de départ

Il faut remarquer qu'à l'intérieur des $\ln\,$ qu'on nous demande de comparer, on peut retrouver une identité remarquable par regroupement.

Solution

Soit $x \in \R^{+*}$

$(x-1)^2 \geq 0$
Donc $x^2-2x+1 \geq 0$
Donc $x^2+1 \geq 2x$

$\ln\,$ est croissante

Donc pour tout $x \in \R^{+*},~\ln(x^2+1) \geq \ln(2x)$

[modifier] Ensemble de définition

Démontrer que l’expression $\ln(x^2-4x+5)\,$ est définie pour tout x.

Solution

Il s'agit de vérifier que pour tout $x\in \R,~x^2-4x+5>0$ :

On cherche les solutions de l'équation $x^2-4x+5=~0$ d'inconnue x. Cette équation est du second degré, de discriminant $\Delta=4^2-4\times1\times 5=-4~<0$ , donc n'admet aucune solution réelle.
Le signe de $x^2-4x+5\,$ est alors toujours le même que celui du terme de plus haut degré, c'est-à-dire positif.