Fonction logarithme/Exercice/Une fonction logarithme comme solution d'une équation différentielle

Une page de Wikiversité.

Une fonction logarithme comme solution d'une équation différentielle
Nuvola apps edu mathematics-p.svg
Exercice 1
Leçon : Fonction logarithme
Chapitre du cours : Dérivée de ln(u)

Cet exercice est de niveau 12.
Icon falscher Titel.svg

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Une fonction logarithme comme solution d'une équation différentielle
Fonction logarithme/Exercice/Une fonction logarithme comme solution d'une équation différentielle  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

On considère la fonction

\begin{array}{ccccc} g&:&]-1;+\infty[&\rightarrow&\R\\ ~&~&x&\mapsto&\displaystyle{\frac12\ln(1+x)-\frac14} \end{array}

1. Calculer g '\,

2. Étudier les variations de g\,.

3. Étudier la limite de g\, en -1\,.

4. Étudier la limite de g\, en +\infty

5. Tracer la courbe représentative de g\,.

6. Démontrer que g\, est solution de l'équation différentielle (E)~:~(1+x)~y '+2y=\ln(1+x)


Solution

1. On pose deux fonctions u et v dérivables telles que

  • Pour tout x \in ]-1;+\infty[,~u(x)=1+x
  • Pour tout x \in ]-1;+\infty[,~v(x)=\ln(x)

On écrit que pour tout x \in ]-1;+\infty[: \begin{align} g(x)&=\frac12 v(u(t))+\frac14\\ &=\frac12 (v\circ u)(t)+\frac14 \end{align}

La dérivée de x \mapsto (v \circ u)(x) est x \mapsto u'(x)~v'(u(x))

  • Pour tout x \in ]-1;+\infty[,~u'(x)=1
  • Pour tout x \in ]-1;+\infty[,~v'(x)=\frac1x
  • Pour tout x \in ]-1;+\infty[,~g'(x)=\frac12~\left ( 1 \times \frac1{1+x} \right )
Finalement, pour tout x \in ]-1;+\infty[, g'(x)=\frac 1{2+2x}

2. Pour tout x\in ]-1;+\infty[,~2+2x>0, donc sur l'intervalle de définition, la fonction g'\, est strictement positive. Par conséquent :

g est une fonction strictement croissante.

3. \lim_{t\rightarrow -1^+} t+1 = 0^+ et \lim_{t\rightarrow0^+}\ln(t)=-\infty

donc \lim_{x\rightarrow-1^+}\ln(x+1)=-\infty

Donc \lim_{x\rightarrow-1^+}\frac12\ln(x+1)=-\infty

Donc \lim_{x \rightarrow -1^+}g(x)=-\infty

4. \lim_{t\rightarrow+\infty}t+1=+\infty et \lim_{t\rightarrow+\infty}\ln(t)=+\infty

donc \lim_{x\rightarrow+\infty}\ln(x+1)=+\infty

Donc \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac12\ln(x+1)=+\infty

Donc \lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=+\infty

5. WV-ExoMaths00001.gif

6. Soit x\in ]-1;+\infty[

\begin{align} (1+x)~g'(x)+2~g(x)&=(1+x)\frac 1{2(1+x)}+2\left (\frac12\ln(1+x)-\frac14 \right )\\ &=\frac 12 \ln(1+x)-\frac12\\ &=\ln(1+x) \end{align}

g est bien solution de l'équation différentielle (E)


Récupérée de « http://fr.wikiversity.org/wiki/Fonction_logarithme/Exercice/Une_fonction_logarithme_comme_solution_d%27une_%C3%A9quation_diff%C3%A9rentielle »