Fonction exponentielle/Exercice/Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposant

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**Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposant**
Leçon : Fonction exponentielle

Exercice 2
Chapitre du cours :	Fonction exponentielle
Cet exercice est de niveau 12.

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposant
Fonction exponentielle/Exercice/Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposant », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Équations

Méthode : On prend le $\ln\,$ pour faire « descendre » l’exposant.

[modifier] Exemple

Existe-t-il un entier n tel que $3^n=14348907\,$ ?

Résoudre dans $\R$ l'équation $(E1)~:~3^x=19683\,$ d'inconnue x.

Solution

Soit $x \in \R^{+*}$ . On prend le $\ln\,$ des deux membres : $(E1) \Leftrightarrow \ln(3^x)=\ln(19683) \Leftrightarrow x~\ln(3)=\ln(19683)$ .

Or $19683=3^9\,$ donc $\ln(19683)=\ln(3^9)=9~\ln(3)$

Donc $(E1) \Leftrightarrow x=\frac{\ln(19683)}{\ln(3)}=9$

Résoudre dans $\R$ l'équation $(E1)~:~5^x=19100\,$ d'inconnue x.

[modifier] Exercice

Résoudre dans $\R$ l'équation $(E_2)~:~5\cdot(2,5)^x=411111$ d'inconnue x.

Solution

Soit $x\in\R$ Pour pouvoir résoudre cette équation, nous allons réécrire la puissance sous sa forme exponentielle :

$~5\cdot(2,5)^x=5\exp\left[x\,\ln(2,5)\right]$

On prend le logarithme des deux parties de l'équation à résoudre (411111 étant un nombre positif et non-nul) :

$\begin{align} (E_2)&\Leftrightarrow 5\exp\left[x\,\ln(2,5)\right]=411111\\ &\Leftrightarrow\ln(5)+x\,\ln(2,5)=\ln(411111)\\ &\Leftrightarrow x=\frac{\ln(411111)-\ln(5)}{\ln(2,5)}\\ &\Leftrightarrow x=\frac{\ln(82222,2)}{\ln(2,5)} \end{align}$

On peut donner une valeur approchée de la solution : $x\approx 12,3 \pm 0,1$ .

[modifier] Exercice

On note $u_0, u_1, u_2, \ldots, u_{10}$ les pressions atmosphériques, un jour donné, aux altitudes 0, 100, 200, et 1000 mètres.

La pression atmosphérique diminue approximativement de 1% lorsqu’on s’élève de 100 mètres. Ce jour-là $u 0 = 1000 h P$

1. Calculer

u n

en fonction de n, que représente ce nombre.

2. Déterminer en fonction de l’altitude x en centaines de mètres, la pression

p (x)

.

3. Le baromètre d’un ermite marque 950 hP, à quelle altitude se trouve-t-il ?

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

[modifier] Inéquations

Méthode : On prend le $\ln\,$ en prenant garde au changement de sens éventuel de l’inégalité.

[modifier] Exemple

Résoudre l'inéquation $I_1~:~(1,5)^x>15678$ d'inconnue $x\in \R$ .

Solution

Soit $x\in \R$ .

ln est croissante, on peut donc prendre le ln de ces deux membres sans changer le sens de l’inégalité :

$\begin{align} I_1 &\Leftrightarrow\ln((1,5)^x)>\ln(15678)\\ &\Leftrightarrow x~\ln(1,5)>\ln(15678) \end{align}$

$\ln(1,5)>0\,$ donc on peut diviser par ce nombre sans changer le sens de l’inégalité. On obtient :

$I_1 \Leftrightarrow x >\frac{\ln(15678)}{\ln(1,5)}\approx23,8\pm0,1$

L'ensemble des solutions de (I₁) est alors $\left]\frac{\ln(15678)}{\ln(1,5)};+\infty\right[$

[modifier] Exercice

Résoudre l'inéquation $(I_2)~:~(0,7)^x>0,000006$ d'inconnue $x\in\R$ .

Solution

Soit $x\in \R$ .

ln est croissante, on peut donc prendre le ln de ces deux membres sans changer le sens de l’inégalité :

$\begin{align} I_2 &\Leftrightarrow\ln((0,7)^x)>\ln(0,000006)\\ &\Leftrightarrow x~\ln(0,7)>\ln(0,000006) \end{align}$

$\ln(0,7)<0\,$ donc il faut changer le sens de l’inégalité en divisant par ce nombre. On obtient :

$I_2\Leftrightarrow x <\frac{\ln(0,000006)}{\ln(0,7)}\approx33,7\pm0,1$

L'ensemble des solutions de (I₂) est alors $\left]-\infty;\frac{\ln(0,000006)}{\ln(0,7)}\right[$

[modifier] Exercice

Résoudre l'inéquation $(I_3)~:~5^x<2,105647$ d'inconnue $x\in\R$ .

Solution

Soit $x\in \R$ .

ln est croissante, on peut donc prendre le ln de ces deux membres sans changer le sens de l’inégalité :

$\begin{align} I_3 &\Leftrightarrow\ln(5^x)<\ln(2,105647)\\ &\Leftrightarrow x~\ln(5)<\ln(2,105647) \end{align}$

$\ln(5)>0\,$ donc on peut diviser par ce nombre sans changer le sens de l’inégalité. On obtient :

$I_3 \Leftrightarrow x<\frac{\ln(2,105647)}{\ln(5)}\approx0,46\pm0,01$

L'ensemble des solutions de (I₃) est alors $\left]-\infty;\frac{\ln(2,105647)}{\ln(5)}\right[$

[modifier] Exercice

Résoudre l'inéquation $(I_4)~:~\left(\frac35\right)^x<0,000003$ d'inconnue $x\in\R$ .

Solution

Soit $x\in \R$ .

ln est croissante, on peut donc prendre le ln de ces deux membres sans changer le sens de l’inégalité :

$\begin{align} I_4 &\Leftrightarrow\ln\left(\left(\frac35\right)^x\right)<\ln(0,000003)\\ &\Leftrightarrow x~\ln\left(\frac35\right)<\ln(0,000003) \end{align}$

$\ln\left(\frac35\right)<0\,$ donc il faut changer le sens de l’inégalité en divisant par ce nombre. On obtient :

$I_2\Leftrightarrow x>\frac{\ln(0,000003)}{\ln\left(\frac35\right)}\approx24,9\pm0,1$

L'ensemble des solutions de (I₄) est alors $\left]\frac{\ln(0,000003)}{\ln\left(\frac35\right)};+\infty\right[$

[modifier] Exercice

Un capital de 2000€ est placé à intérêts composés à un taux annuel de 10%.

Combien d'années faudra-t-il pour que la somme placée dépasse 13455 € ?

Deux capitaux sont placés simultanément à intérêts composés : le premier de 35000 € à 12 % l’an, le second de 40000 € à 9 % l’an. Calculer le nombre d’années à partir duquel le premier placement dépassera le second.

Solution

Au terme de l'année i, les placements vaudront :

$C_1(i)=35\,000 \cdot 1,12^i$ pour le premier placement
$C_2(i)=40\,000 \cdot 1,09^i$ pour le premier placement

On cherche à déterminer à partir de quelle valeur de i on aura $C_1(i)\geq C_2(i)$

Soit $i\in\N$

$\begin{align} C_1(i)\geq C_2(i) &\Leftrightarrow 35\,000 \cdot 1,12^i \geq 40\,000 \cdot 1,09^i\\ &\Leftrightarrow \left(\frac{1,12}{1,09}\right)^i \geq \frac{40\,000}{35\,000}\\ &\Leftrightarrow \ln\left(\left(\frac{1,12}{1,09}\right)^i\right) \geq \ln\left(\frac{40\,000}{35\,000}\right)\\ &\Leftrightarrow i\ln\left(\frac{1,12}{1,09}\right) \geq \ln\left(\frac87\right)\\ &\Leftrightarrow i\geq \frac{\ln\left(\frac87\right)}{\ln\left(\frac{1,12}{1,09}\right)}\\ \end{align}$

On a $\frac{\ln\left(\frac87\right)}{\ln\left(\frac{1,12}{1,09}\right)}\approx 4,92$

Le premier placement dépassera donc le second au bout de 5 ans.

Food for thought : Combien de chiffres le nombre $2^{500}\,$ possède-t-il ?

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