Fonction exponentielle/Exercice/Propriétés algébriques de l'exponentielle

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Propriétés algébriques de l'exponentielle
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Exercice 3
Leçon : Fonction exponentielle

Cet exercice est de niveau 12.
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Fonction exponentielle/Exercice/Propriétés algébriques de l'exponentielle  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Exercice 1

Soit x\in\R. Dans chaque cas, simplifier l'expression:

  1. (e^x)^5\times e^{-2x}
  2. \frac{e^{2x+3}}{e^{2x-1}}
  3. \frac{e^x+e^{-x}}{e^{-x}}


Solution
  1. (e^x)^5\times e^{-2x}=e^{5x}\times e^{-2x}=e^{5x-2x}=e^{3x}
  2. \frac{e^{2x+3}}{e^{2x-1}}=e^{2x+3}\times e^{-(2x-1)}=e^{2x+3-(2x-1)}=e^4
  3. \frac{e^x+e^{-x}}{e^{-x}}=\frac{e^x}{e^{-x}}+\frac{e^{-x}}{e^{-x}}=e^{x-(-x)}+1=1+e^{2x}

[modifier] Exercice 2

Soit x\in\R. Dans chaque cas, mettre sous la forme d'une seule exponentielle :

  1. (e^x)^6\times e^{-3x}
  2. \frac{e^{2x+5}}{e^{3x}\times e^{-1}}


Solution
  1. (e^x)^6\times e^{-3x}=e^{6x}\times e^{-3x}=e^{6x-3x}=e^{3x}
  2. \frac{e^{2x+5}}{e^{3x}\times e^{-1}}=\frac{e^{2x+5}}{e^{3x-1}}=e^{2x+5}\times e^{-(3x-1)}=e^{2x+5-(3x-1)}=e^{-x+6}

[modifier] Exercice 3

Soit x\in\R. Dans chaque cas, mettre sous la forme d'une seule exponentielle :

  1. (e^x)^5\times e^{-4x}
  2. \frac{e^{2x-5}}{e^{2x}\times e^{-1}}


Solution
  1. (e^x)^5\times e^{-4x}=e^{5x}\times e^{-4x}=e^{5x-4x}=e^x
  2. \frac{e^{2x-5}}{e^{2x}\times e^{-1}}=\frac{e^{2x-5}}{e^{2x-1}}=e^{2x-5}\times e^{-(2x-1)}=e^{2x-5-(2x-1)}=e^{-4}

[modifier] Exercice 4

Démontrer que pour tout réel x :

  1. \frac{e^x-1}{e^x+1}=\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}
  2. e^{-x}-e^{-2x}=\frac{e^x-1}{e^{2x}}
Solution

Soit x\in\R

  1. \frac{e^x-1}{e^x+1}=\frac{e^x(1-e^{-x})}{e^x(1+e^{-x})}=\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}
  2. e^{-x}-e^{-2x}=\frac{e^{2x}(e^{-x}-e^{-2x})}{e^{2x}}=\frac{e^{2x-x}-e^{2x-2x}}{e^{2x}}=\frac{e^x-1}{e^{2x}}

[modifier] Exercice 5

Démontrer que pour tout réel x :

  1. \frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}=\frac{1-e^{x}}{1+e^{x}}
  2. \frac{e^{-x}+1}{e^{-2x}}=e^{x}+e^{2x}
Solution

Soit x\in\R

  1. \frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}=\frac{e^x(e^{-x}-1)}{e^x(e^{-x}+1)}=\frac{1-e^x}{1+e^x}
  2. \frac{e^{-x}+1}{e^{-2x}}=\frac{e^{2x}(e^{-x}+1)}{e^{2x}\times e^{-2x}}=\frac{e^x+e^{2x}}{e^0}=e^x+e^{2x}
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