Fonction exponentielle/Exercice/Étude de la fonction exponentielle

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**Étude de la fonction exponentielle**
Leçon : Fonction exponentielle

Exercice 4

Cet exercice est de niveau 12.

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Étude de la fonction exponentielle
Fonction exponentielle/Exercice/Étude de la fonction exponentielle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Un certain nombre d'études de fonctions ne peuvent se faire sans le théorème de dérivation d'une composée par une fonction affine (niveau 11).

[modifier] Exercice 1

ƒ est la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par :

pour tout $x\in[0;+\infty[,~f(x) = -x+\frac{5}{2}-e^{-x}$ .

1. Étudier les variations de ƒ.

2. Étudier la limite de ƒ en $+\infty$ .

3. Démontrer que la courbe représentative $\mathcal C$ de ƒ admet une asymptote oblique $\mathcal D$ dont on donnera une équation.

4. Étudier les positions relatives de $\mathcal C$ et $\mathcal D$ .

5. Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal C$ au point d'abscisse 2.

Solution

1. Étudier les variations de ƒ.

ƒ est dérivable sur $[0;+\infty[$ et, pour tout $x\in[0;+\infty[$ :

$f'(x)=-1-(-1)\times e^{-x}=e^{-x}-1$

Or, pour tout $x\in[0;+\infty[,~e^{-x}\leq 1$ donc $f'(x)\leq 0$

On en déduit que ƒ est décroissante.

2. Étudier la limite de ƒ en $+\infty$ .

$\lim_{x\to +\infty}-x+\frac52=-\infty$
$\lim_{x\to +\infty}e^{-x}=0$

Donc $\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$

3. Démontrer que la courbe représentative $\mathcal C$ de ƒ admet une asymptote oblique $\mathcal D$

On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :

une partie affine : $x\mapsto -x+\frac52$
une partie qui tend vers 0 : $x\mapsto e^{-x}$

Si on pose $g:x\mapsto -x+\frac52$ , définie sur $\R$ et de représentation graphique $\mathcal D$ , on a :

$\lim_{x\to+\infty} f(x)-g(x)=0$

Donc $\mathcal C$ a pour asymptote la droite $\mathcal D$ d'équation $y=-x+\frac52$

4. Étudier les positions relatives de $\mathcal C$ et $\mathcal D$ .

Pour tout $x\in[0;+\infty[,f(x)-g(x)=-e^{-x}$ , grandeur négative.

Donc $\mathcal C$ est en-dessous de son asymptote $\mathcal D$

5. Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal C$ au point d'abscisse 2.

D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à $\mathcal C$ au point d'abscisse 2 est :

$\begin{align} y&=f(2)+f'(2)\cdot(x-2)\\ &=-2+\frac52-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot(x-2)\\ &=\frac12-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot(x-2)\\ &=\frac12-e^{-2}-x+2+e^{-2}x-2e^{-2}\\ &=(e^{-2}-1)x-3e^{-2}+\frac52\\ \end{align}$

Donc la tangente à $\mathcal C$ au point d'abscisse 2 a pour équation $y=(e^{-2}-1)x-3e^{-2}+\frac52$

[modifier] Exercice 2

ƒ est la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par :

pour tout $x\in[0;+\infty[,~f(x) = 2x-\frac{5}{2}+2e^{-x}$ .

1. Étudier les variations de ƒ.

2. Étudier la limite de ƒ en $+\infty$ .

3. Démontrer que la courbe représentative $\mathcal C$ de ƒ admet une asymptote oblique $\mathcal D$ dont on donnera une équation.

4. Étudier les positions relatives de $\mathcal C$ et $\mathcal D$ .

5. Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal C$ au point d'abscisse 2.

Solution

1. Étudier les variations de ƒ.

ƒ est dérivable sur $[0;+\infty[$ et, pour tout $x\in[0;+\infty[$ :

$f'(x)=2+2\times(-1)e^{-x}=2(1-e^{-x})$

Or, pour tout $x\in[0;+\infty[,~e^{-x}\leq 1$ donc $f'(x)\geq 0$

On en déduit que ƒ est croissante.

2. Étudier la limite de ƒ en $+\infty$ .

$\lim_{x\to +\infty}2x-\frac52=+\infty$
$\lim_{x\to +\infty}2e^{-x}=0$

Donc $\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$

3. Démontrer que la courbe représentative $\mathcal C$ de ƒ admet une asymptote oblique $\mathcal D$

On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :

une partie affine : $x\mapsto 2x-\frac52$
une partie qui tend vers 0 : $x\mapsto 2e^{-x}$

Si on pose $g:x\mapsto 2x-\frac52$ , définie sur $\R$ et de représentation graphique $\mathcal D$ , on a :

$\lim_{x\to+\infty} f(x)-g(x)=0$

Donc $\mathcal C$ a pour asymptote la droite $\mathcal D$ d'équation $y=2x-\frac52$

4. Étudier les positions relatives de $\mathcal C$ et $\mathcal D$ .

Pour tout $x\in[0;+\infty[,f(x)-g(x)=2e^{-x}$ , grandeur positive.

Donc $\mathcal C$ est au-dessus de son asymptote $\mathcal D$

5. Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal C$ au point d'abscisse 2.

D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à $\mathcal C$ au point d'abscisse 2 est :

$\begin{align} y&=f(2)+f'(2)\cdot(x-2)\\ &=2\times2-\frac52+2e^{-2}+2(1-e^{-2})(x-2)\\ &=\frac32+2e^{-2}+2((1-e^{-2})x-2(1-e^{-2}))\\ &=-\frac52+6e^{-2}+2(1-e^{-2})x\\ \end{align}$

Donc la tangente à $\mathcal C$ au point d'abscisse 2 a pour équation $y=2(1-e^{-2})x-\frac52+6e^{-2}$

[modifier] Exercice 3

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.

1. $f_1:x\mapsto(3x-2)e^x$

2. $f_2:x\mapsto \frac{x^2}{e^{-x}}$

3. $f_3:x\mapsto 3xe^{-3x}$

Solution

Ces trois fonctions sont définies et dérivables sur $\R$ .

1. $f_1:x\mapsto(3x-2)e^x$

Cette fonction se dérive comme un produit.
- On pose sur $\R$ les fonctions $u:x\mapsto(3x-2)$ et $v:x\mapsto e^x$
- Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 3$ et $v':x\mapsto e^x$
- Finalement, pour tout $x\in\R, f_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3x+1)e^x$

2. $f_2:x\mapsto \frac{x^2}{e^{-x}}$

Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée.
- On remarque que pour tout $x\in\R,~f_2(x)=\frac{x^2}{e^{-x}}=x^2 e^x$
- On pose sur $\R$ les fonctions $u:x\mapsto x^2$ et $v:x\mapsto e^x$
- Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 2x$ et $v':x\mapsto e^x$
- Finalement, pour tout $x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^2+2x)e^x=x(x+2)e^x$

3. $f_3:x\mapsto 3xe^{-3x}$

On va utiliser ce théorème de niveau 11
- On pose sur $\R$ les fonctions $u:x\mapsto 3x$ et $v:x\mapsto e^{-3x}$
- Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 3$ et $v':x\mapsto -3e^{-3x}$
- Finalement, pour tout $x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3+3x\times(-3))e^{-3x}=3(-3x+1)e^{-3x}$

[modifier] Exercice 4

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.

1. $f_1:x\mapsto(5x-2)e^{-x}$

2. $f_2:x\mapsto\frac{x^2}{e^x}$

3. $f_3:x\mapsto 3xe^{-4x}$

4. $f_4:x\mapsto e^{2x+3}$

5. $f_5:x\mapsto 3e^{-4x}$

6. $f_6:x\mapsto xe^{2x-1}$

7. $f_7:x\mapsto 3x e^{\frac{x}{2}}$

Solution

1. $f_1:x\mapsto(5x-2)e^{-x}$

On pose sur $\R$ les fonctions $u:x\mapsto 5x-2$ et $v:x\mapsto e^{-x}$
Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 5$ et $v':x\mapsto -e^{-x}$
Finalement, pour tout $x\in\R, f_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(5-(5x-2))e^{-x}=(-5x+7)e^{-x}$

2. $f_2:x\mapsto\frac{x^2}{e^x}$

On pose sur $\R$ les fonctions $u:x\mapsto x^2$ et $v:x\mapsto e^x$
Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 2x$ et $v':x\mapsto e^x$
Finalement, pour tout $x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^2+2x)e^x=x(x+2)e^x$

3. $f_3:x\mapsto 3xe^{-4x}$

On pose sur $\R$ les fonctions $u:x\mapsto 3x$ et $v:x\mapsto e^{-4x}$
Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 3$ et $v':x\mapsto -4e^{-4x}$
Finalement, pour tout $x\in\R, f_3'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3-4\cdot 3x)e^{-4x}=3(-4x+1)e^{-4x}$

4. $f_4:x\mapsto e^{2x+3}$

On pose sur $\R$ la fonction $u:x\mapsto 2x+3$
Sa dérivée est définie par $u':x\mapsto 2$
Comme $f_4=e^u\,$ , on a pour tout $x\in\R, f_4'(x)=u'(x)e^{u(x)}=2e^{2x+3}$

5. $f_5:x\mapsto 3e^{-4x}$

Pour tout $x\in\R, f_5'(x)=-12e^{-4x}$

6. $f_6:x\mapsto xe^{2x-1}$

On pose sur $\R$ les fonctions $u:x\mapsto x$ et $v:x\mapsto e^{2x-1}$
Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 1$ et $v':x\mapsto 2e^{2x-1}$
Finalement, pour tout $x\in\R, f_6'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(2x+1)e^{2x-1}$

7. $f_7:x\mapsto 3x e^{\frac{x}{2}}$

On pose sur $\R$ les fonctions $u:x\mapsto 3x$ et $v:x\mapsto e^{\frac{x}{2}}$
Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 3$ et $v':x\mapsto \frac12e^{\frac{x}{2}}$
Finalement, pour tout $x\in\R, f_7'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\left(\frac32x+3\right)e^{\frac{x}{2}}$

[modifier] Exercice 5

Pour tout réel λ > 0, on note ƒ_λ la fonction définie sur $\R$ par :

pour tout $x\in\R,~f_{\lambda}(x)=\frac{e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}}{2\lambda}$

1. Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒ_λ pour λ = 0,5 et pour λ = 3.

2. Démontrer que ƒ_λ est paire, c'est-à-dire pour tout $x\in\R,~f_{\lambda}(-x)=f_{\lambda}(x)$ .

3. Étudier les variations de ƒ_λ et déterminer sa limite en $+\infty$ .

Solution

1. Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒ_λ pour λ = 0,5 et pour λ = 3.

$\color{red}\lambda=\frac12$
$\color{green}\lambda=3$

2. Démontrer que ƒ_λ est paire, c'est-à-dire pour tout $x\in\R,~f_{\lambda}(-x)=f_{\lambda}(x)$ .

Soit $x\in\R$

$\begin{align} f_{\lambda}(-x)&=\frac{e^{\lambda (-x)}+e^{-\lambda (-x)}}{2\lambda}\\ &=\frac{e^{-\lambda x}+e^{\lambda x}}{2\lambda} \end{align}$

Donc ƒ_λ est paire.

3. Étudier les variations de ƒ_λ et déterminer sa limite en $+\infty$ .

ƒ_λ est dérivable et, pour tout $x\in\R$ :

$\begin{align} f_{\lambda}'(x)&=\frac{\lambda e^{\lambda x}+(-\lambda)e^{-\lambda x}}{2\lambda}\\ &=\frac{e^{\lambda x}-e^{-\lambda x}}2\\ &=\frac{e^{\lambda x}\left(1-e^{-2\lambda x}\right)}2\\ \end{align}$

On déduit de cette expression le tableau de signes de ƒ_λ', donc les variations de ƒ_λ.

$\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty&&0&&+\infty\\ \hline \textrm{Signe~de}~e^{\lambda x}&&+&&+&\\ \hline \textrm{Signe~de}~1-e^{-2\lambda x}&&-&0&+&\\ \hline &+\infty&&&&+\infty\\ \textrm{Variations~de}~f_\lambda&&\searrow&&\nearrow&\\ &&&\frac1{2\lambda}&&\\ \hline \end{array}$

Comme $\lim_{x\to+\infty}e^{-\lambda x}=0$ et $\lim_{x\to+\infty}e^{\lambda x}=+\infty$ , on a $\lim_{x\to+\infty}f_\lambda =+\infty$
Comme $\lim_{x\to-\infty}e^{-\lambda x}=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}e^{\lambda x}=0$ , on a $\lim_{x\to-\infty}f_\lambda =+\infty$