Fonction exponentielle/Exercice/Étude d'une fonction comportant des exponentielles

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**Étude d'une fonction comportant des exponentielles (bac S 2001)**
Leçon : Fonction exponentielle

Exercice 6
Chapitre du cours :	Fonction exponentielle
Cet exercice est de niveau 12.

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Fonction exponentielle/Exercice/Étude d'une fonction comportant des exponentielles », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

On appelle ƒ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par :

$f:x\mapsto\frac{e^x-e^{-x}}2$

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de ƒ dans le plan rapporté à un repère orthonormal.

Question 1
1. Déterminer les limites de ƒ en $-\infty$ et en $+\infty$ .
2. Calculer ƒ '(x) pour tout nombre réel x et en déduire le sens de variation de ƒ sur $\R$ .
Question 2
1. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
2. En étudiant le sens de variation de la fonction d définie sur $\R$ par $d:x\mapsto f(x)-x$ , préciser la position de $\mathcal{C}$ par rapport à T.
3. Tracer $\mathcal{C}$ et T.

Solution

1.1 Déterminer les limites de ƒ en $-\infty$ et en $+\infty$ .: $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$; $\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0$; Donc $\lim_{x\to+\infty}e^x+e^{-x}=+\infty$

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$

$\lim_{x\to-\infty}e^x=0$

$\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty$

Donc $\lim_{x\to-\infty}e^x+e^{-x}=+\infty$

$\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$

1.2 Calculer ƒ '(x) pour tout nombre réel x et en déduire le sens de variation de ƒ sur $\R$ .

ƒ est dérivable et, pour tout $x\in\R$

$f'(x)=\frac12\left(e^x-(-1)\times e^{-x}\right)=\frac{e^x+e^{-x}}2$

Une exponentielle est toujours strictement positive, donc pour tout $x\in\R,~f'(x)>0$

ƒ est strictement croissante.

2.1 Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.: L'équation de la tangente à $\mathcal C$ au point d'abscisse 0 est la droite d'équation $y=f(0)+f'(0)(x-0)\,$

La tangente à $\mathcal C$ au point d'abscisse 0 est la droite

y = x

2.2 En étudiant le sens de variation de la fonction d définie sur $\R$ par $d:x\mapsto f(x)-x$ , préciser la position de $\mathcal{C}$ par rapport à T.

d est dérivable et, pour tout $x\in\R$

$\begin{align} d'(x)&=f'(x)-1\\ &=\frac{e^x+e^{-x}}2-1\\ &=\frac{e^x-2+e^{-x}}2\\ &=\frac{(e^{x/2})^2-2e^{x/2}e^{-x/2}+(e^{-x/2})^2}2\\ &=\frac{(e^{x/2}-e^{-x/2})^2}2\\ \end{align}$

Un carré étant toujours positif, on obtient que d est croissante. Ce qui nous intéresse pour déterminer les positions relatives de T et $\mathcal C$ est le signe de d. On utilise les variations de d pour trouver son signe :

On remarque que d(0) = 0. Le tableau de variations est donc du type suivant :

$\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty&&0&&+\infty\\ \hline &&&&\nearrow&\\ \textrm{Variations~de}~d&&&0&&\\ &&\nearrow&&&\\ \hline \end{array}$

On en déduit que :

d est négative sur $\R^-$
d est positive sur $\R^+$

Finalement,

Sur $\R^-$ , T est au-dessus de $\mathcal C$
Sur $\R^+$ , T est en-dessous de $\mathcal C$

2.3 Tracer $\mathcal{C}$ et T.

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La fonction ƒ est une fonction classique en mathématiques qui s'appelle la fonction « sinus hyperbolique », notée sh.

${\rm sh}:x\mapsto\frac{e^x-e^{-x}}2$

Sa dérivée est la fonction « cosinus hyperbolique », notée ch.

${\rm ch}:x\mapsto\frac{e^x+e^{-x}}2$

Ces fonctions sont respectivement les parties impaire et paire de l'exponentielle :

pour tout $x\in\R,~{\rm sh}(-x)=-{\rm sh}(x)$
pour tout $x\in\R,~{\rm ch}(-x)={\rm ch}(x)$
pour tout $x\in\R,~{\rm ch}(x)+{\rm sh}(x)=e^x$

De plus, elles disposent de propriétés algébriques très ressemblantes aux fonctions de trigonométrie classique. Par exemple ${\rm ch}^2-{\rm sh}^2=1\,$ .

Pour aller plus loin, consulter le cours sur la trigonométrie hyperbolique.

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