Fonction exponentielle/Exercice/Équations comportant des exponentielles

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**Équations comportant des exponentielles**
Leçon : Fonction exponentielle

Exercice 1
Chapitre du cours :	Fonction exponentielle
Cet exercice est de niveau 12.

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Équations comportant des exponentielles
Fonction exponentielle/Exercice/Équations comportant des exponentielles », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Objectif : On se propose de résoudre un certain nombre d'équations où l'inconnue x est toujours "dans une exponentielle".

Principe général : On change d'inconnue en posant $X = e^x\,$ , on résout en X puis avec $~\ln$ , on revient à l'inconnue de départ x.

Sommaire

1 Équations se ramenant au premier degré
- 1.1 Exemple
- 1.2 Exercice
2 Équations se ramenant au second degré
- 2.1 Exemple
- 2.2 Exercices
3 Système avec exponentielles se ramenant à des systèmes linéaires
- 3.1 Exercice

[modifier] Équations se ramenant au premier degré

[modifier] Exemple

Résoudre dans $\R\,$ l'équation $(E1)~:~3e^x=5e^{x+1}-2$

Solution

Soit $x \in \R$

$(E1) \Leftrightarrow 3e^x=5e^x\times e-2$

On pose $X=~e^x$ . On obtient $(E1)\Leftrightarrow 3X=5e\times X-2$

NB : il n'y a plus d'exposant x , le nombre e (constant) ne gêne nullement la résolution. Il s'agit maintenant d'une équation du premier degré d'inconnue X.

$\begin{align} (E1) &\Leftrightarrow 2=(5e-3)X\\ &\Leftrightarrow X=\frac{2}{5e-3} \end{align}$

On revient à x grâce à la fonction logarithme :

$x=\ln X=\ln \left ( \frac{2}{5e-3} \right )\approx\ -1,67$

[modifier] Exercice

Résoudre dans $\R$ l'équation $(E2)~:~e^{x+2}=3e^x+5$

Solution

Soit $x \in \R$

$(E2)\Leftrightarrow e^x \times e^2 =3e^x+5$

On pose $X=~e^x$ . On obtient

$\begin{align} (E2) &\Leftrightarrow e^2\times X =3X+5\\ &\Leftrightarrow (e^2-3).X =5\\ &\Leftrightarrow X =\frac5{e^2-3}\\ \end{align}$

Comme $\frac5{e^2-3}>0$ , on peut utiliser la fonction ln pour trouver la solution de (E2) :

$x=\ln X=\ln \left ( \frac5{e^2-3} \right )$

[modifier] Équations se ramenant au second degré

[modifier] Exemple

Résoudre dans $\R\,$ l'équation $(E3)~:~-2e^{2x}+5e^x+3=0$ .

Solution

Soit $x \in \R$ :

$(E3) \Leftrightarrow -2(e^x)^2+5e^x+3=0$ .

On pose $X=~e^x$ . On a alors $(E3)\Leftrightarrow -2X^2+5X+3=0$

C'est une équation du second degré en X de discriminant $\Delta=49~>0$ . Elle admet donc deux racines réelles $X_1=~ 3$ et $X_2=-\frac12$

On revient à l'inconnue x grâce à la fonction logarithme : $x_1=\ln X_1=\ln~3 \approx 1,1$ et $x_2=~ \ln(-0,5)$ , qui n'est pas défini

L'ensemble de solutions de (E3) est donc $S_3=~\{\ln3\}$ .

NB : on peut aussi dire pour x₂ "il n'y a pas de nombre x₂ dont l'exponentielle soit -0,5, car une exponentielle est toujours positive"

[modifier] Exercices

Résoudre dans $\R$ l'équation $(E4)~:~-2e^{2x+1} +7 e^x = 3$

Solution

Soit $x\in \R$

$(E4)\Leftrightarrow -2e~(e^x)^2+7e^x-3=0$

On pose $X=~e^x$ : $(E4)\Leftrightarrow -2eX^2+7X-3=0$

Le discriminant de cette équation du second degré en X est $\Delta=7^2-4 \times (-2e) \times (-3)=49-24e~<0$ .

Cette équation du second degré en X n'admet donc pas de racine réelle.

L'ensemble des solutions de (E4) est $S_4=\empty$

Résoudre dans $\R$ l'équation $(E5)~:~(e^x + 3)(e^x -5) = 0$

Solution

Soit $x\in \R$

Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs (au moins) est nul, donc

$\begin{align} (E5) &\Leftrightarrow ((e^x + 3=0)~\textrm{ou}~(e^x -5= 0))\\ &\Leftrightarrow ((e^x=-3)~\textrm{ou}~(e^x=5)) \end{align}$

Comme l'équation $e^x=~-3$ d'inconnue x n'admet pas de solution, l'ensemble des solutions de (E5) est réduit à

$S_5=~\{\ln(5)\}$

Résoudre dans $\R$ l'équation $(E6) \frac{1}{2e^{-x}+2}=\frac{e^x}{2e^x+2}$

Solution

Soit $x\in \R$ .

$2e^x+2 \not =0$ et $2e^{-x}+2 \not =0$ donc les quotients n'engendrent pas de restrictions particulières.

$\begin{align} (E6) &\Leftrightarrow \frac 1{e^{-x}+1}=\frac{e^x}{e^x+1}\\ &\Leftrightarrow e^x+1=e^x(e^{-x}+1)\\ &\Leftrightarrow e^x+1=1+e^x\\ \end{align}$