Fonction exponentielle/Dérivée de exp(u)

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Dérivée de exp(u)
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Chapitre no6
Leçon : Fonction exponentielle
Chap. préc. : Croissances comparées
Chap. suiv. : Exponentielle de base a
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Dérivée de x → eax+b[modifier | modifier le wikicode]

On considère des fonctions de la forme x\mapsto e^{ax+b}.

Par exemple, soit la fonction ƒ définie par :

pour tout x\in\R,~f(x)=e^{2x+1}.

ƒ est la fonction composée de la fonction affine u:x\mapsto 2x+1, définie sur \R

et de la fonction exponentielle, ce que l’on représente par le schéma :


\begin{array}{ccccc}
x&\rightarrow&u(x)&~&~\\
~&~&t&\rightarrow&e^t=e^{u(x)}
\end{array}


Pour calculer l'expression de ƒ', on utilise le théorème suivant :


Début d'un théorème
Fin du théorème



Dans notre cas particulier

pour tout x\in\R,~f'(x)=2\cdot e^{2x+1}

Dérivée de e^u[modifier | modifier le wikicode]

Toujours dans l'exemple de la fonction ƒ, on avait pour tout x\in\R,~u'(x)=a=2.

On généralise ce procédé au cas où u n’est pas forcément affine.


Début d'un théorème
Fin du théorème


Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Sans se préoccuper de l’intervalle I, dériver les fonctions ƒ suivantes :

Exemple 1[modifier | modifier le wikicode]

f:x\mapsto e^{x^2+1}

Pour tout x\in I,~u(x)=\ldots
Pour tout x\in I,~u'(x)=\ldots
Donc pour tout x\in I,~f'(x)=\ldots

Exemple 2[modifier | modifier le wikicode]

f:x\mapsto e^{2x^3+1}

Exemple 3[modifier | modifier le wikicode]

f:x\mapsto e^{x^2+2x+1}

Exemple 4[modifier | modifier le wikicode]

f:x\mapsto e^{(x+1)^2}

Exemple 5[modifier | modifier le wikicode]

f_5:x\mapsto -3e^{5x^2+3}

Exemple 6[modifier | modifier le wikicode]

f_6:x\mapsto -3x\cdot e^{5x^2+3}

Exemple : l’exponentielle décroissante[modifier | modifier le wikicode]

On considère la fonction définie sur \R par f:x\mapsto e^{-x}.

On a alors pour tout x\in\R,~f'(x)=\ldots et le tableau de variations :

x
ƒ'
ƒ

Les limites aux bornes sont :

  • \lim_{x\to +\infty}e^{-x}=\ldots
  • \lim_{x\to -\infty}e^{-x}=\ldots



Fonction exponentielle
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