Fonction exponentielle/Dérivée de exp(u)

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Dérivée de exp(u)
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Chapitre 6
Leçon : Fonction exponentielle
Chap. préc. : Croissances comparées
Chap. suiv. : Exponentielle de base a


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Fonction exponentielle/Dérivée de exp(u) », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Dérivée de x → eax+b

On considère des fonctions de la forme x\mapsto e^{ax+b}.

Par exemple, soit la fonction ƒ définie par :

pour tout x\in\R,~f(x)=e^{2x+1}.

ƒ est la fonction composée de la fonction affine

u:x\mapsto 2x+1, définie sur \R

et de la fonction exponentielle, ce que l’on représente par le schéma :

\begin{array}{ccccc} x&\rightarrow&u(x)&~&~\\ ~&~&t&\rightarrow&e^t=e^{u(x)} \end{array}


Pour calculer l'expression de ƒ', on utilise le théorème suivant :


Théorème

Soient a et b deux réels.

Soit g une fonction définie par g:x\mapsto f(ax+b) sur un intervalle I.

Si ƒ est dérivable au point d'abscisse x alors g est dérivable au point d'abscisse a x + b et :

pour tout x\in I,~g'(x)=a\cdot f'(ax+b)


Dans notre cas particulier

pour tout x\in\R,~f'(x)=2\cdot e^{2x+1}

[modifier] Dérivée de eu

Toujours dans l'exemple de la fonction ƒ, on avait pour tout x\in\R,~u'(x)=a=2.

On généralise ce procédé au cas où u n’est pas forcément affine.


Théorème

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

Alors eu est dérivable sur I et :

(e^u)'=u'\times e^u

[modifier] Exemples

Sans se préoccuper de l’intervalle I, dériver les fonctions ƒ suivantes :

[modifier] Exemple 1

f:x\mapsto e^{x^2+1}

Pour tout x\in I,~u(x)=\ldots
Pour tout x\in I,~u'(x)=\ldots
Donc pour tout x\in I,~f'(x)=\ldots
Solution
Pour tout x\in I,~u(x)=x^2+1
Pour tout x\in I,~u'(x)=2x
Donc pour tout x\in I,~f'(x)=2x\cdot e^{x^2+1}

[modifier] Exemple 2

f:x\mapsto e^{2x^3+1}

Solution
Pour tout x\in I,~u(x)=2x^3+1
Pour tout x\in I,~u'(x)=6x^2
Donc pour tout x\in I,~f'(x)=6x^2\cdot e^{2x^3+1}

[modifier] Exemple 3

f:x\mapsto e^{x^2+2x+1}

Solution
Pour tout x\in I,~u(x)=x^2+2x+1
Pour tout x\in I,~u'(x)=2x+2=2(x+1)
Donc pour tout x\in I,~f'(x)=2(x+1)\cdot e^{x^2+2x+1}

[modifier] Exemple 4

f:x\mapsto e^{(x+1)^2}

Solution
Pour tout x\in I,~u(x)=(x+1)^2
Pour tout x\in I,~u'(x)=2(x+1)
Donc pour tout x\in I,~f'(x)=2(x+1)\cdot e^{(x+1)^2}

[modifier] Exemple 5

f_5:x\mapsto -3e^{5x^2+3}

Solution
Pour tout x\in I,~u(x)=5x^2+3
Pour tout x\in I,~u'(x)=10x
Donc pour tout x\in I,~f_5'(x)=-30x\cdot e^{5x^2+3}

[modifier] Exemple 6

f_6:x\mapsto -3x\cdot e^{5x^2+3}

Solution

On remarque que pour tout x\in I,~f_6(x)=x\cdot f_5(x) Donc pour tout x\in I

\begin{align}f_6'(x)&=1\cdot f_5(x)+x f_5'(x)\\ &=-3e^{5x^2+3}-30x^2\cdot e^{5x^2+3}\\ &=-(3+30x^2)e^{5x^2+3} \end{align}

[modifier] Exemple : l’exponentielle décroissante

On considère la fonction définie sur \R par f:x\mapsto e^{-x}.

On a alors pour tout x\in\R,~f'(x)=\ldots et le tableau de variations :

x
ƒ'
ƒ

Les limites aux bornes sont :

  • \lim_{x\to +\infty}e^{-x}=\ldots
  • \lim_{x\to -\infty}e^{-x}=\ldots
Solution

Pour tout x\in\R,~f'(x)=-e^{-x}

  • \lim_{x\to +\infty}e^{-x}=0
  • \lim_{x\to -\infty}e^{-x}=+\infty

\begin{array}{c|ccc|} x&-\infty&&+\infty\\ \hline \textrm{Signe~de}~f'(x)&&-&\\ \hline &+\infty&&\\ \textrm{Variations~de}~f&&\searrow&\\ &&&0\\ \end{array}

On peut remarquer que ƒ' = - ƒ ce qui fait de ƒ l’archétype de la solution des situations où plus x augmente, plus ƒ diminue. Physiquement, on retrouve ce comportement dans de nombreuses situations : décharge d’un condensateur, freinage par frottements fluides, loi exponentielle en fiabilité, et bien d’autres…


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