Fonction dérivée/Fiches/Définitions et opérations

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Fiche-mémoire sur les définitions et opérations sur les dérivées


[modifier] Niveau 11

[modifier] Nombre dérivé

Soit ƒ une fonction définie sur un domaine \mathcal D

Soit a\in\mathcal D

ƒ est dérivable en a si et seulement si le taux d'accroissement \frac{f(a+h)-f(a)}h admet une limite finie quand h tend vers 0.

Cette limite

  • s'appelle nombre dérivé de ƒ en a
  • est égale au coefficient directeur de la tangente à la courbe de ƒ au point d'abscisse a.
  • est notée f'(a)\,

[modifier] Opérations sur les dérivées

Soient \lambda\in\R et n\in\mathbb N^*

[modifier] Opérations simples

Soient ƒ et g deux fonctions définies et dérivables sur un domaine \mathcal D.

On note :

  • \mathcal D'_f=\mathcal D privé des points d'annulation de ƒ
  • \mathcal D'_g=\mathcal D privé des points d'annulation de g
\begin{array}{|c|c|c|} \textrm{Fonction}&\textrm{Domaine~de~derivabilite}&\textrm{Derivee}\\ \hline x\mapsto \lambda f(x) & \mathcal D & x\mapsto \lambda f'(x)\\ x\mapsto (f+g)(x) & \mathcal D & x\mapsto f'(x)+g'(x)\\ x\mapsto (f \times g)(x) & \mathcal D & x\mapsto f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\ x\mapsto f^n(x) & \mathcal D & x\mapsto n\cdot f'(x) f^{n-1}(x)\\ x\mapsto \displaystyle{\frac1f} & \mathcal D'_f & x\mapsto \displaystyle{-\frac{f'(x)}{f^2(x)}}\\ x\mapsto \displaystyle{\frac fg} & \mathcal D'_g & x\mapsto \displaystyle{\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}}\\ \end{array}


[modifier] Composition par une fonction affine

Soient a\in\R et b\in\R

Soit ƒ une fonction.

Soit g une fonction définie sur un domaine \mathcal D_1 par g:x\mapsto f(ax+b).

Soit x\in\mathcal D_1 Si ƒ est dérivable au point ax+b\,, alors g est dérivable au point x et g'(x) =a \cdot f'(ax+b)\,

[modifier] Niveau 12

[modifier] Composition

Si ƒ est une fonction dérivable sur I\, et g est une fonction dérivable sur f(I)\,

alors la composée g \circ f\, est dérivable sur I\, et, pour tout x\in I :

\begin{align} (g \circ f)'(x)&=(g' \circ f)\times f'\\ &= g'(f(x)) \times f'(x) \end{align}

[modifier] Compositions usuelles

On trouvera les domaines de validité de ces formules grâce au théorème précédent.

\begin{array}{|c|c|c|} \textrm{Fonction}&\textrm{Derivee}\\ \hline \sqrt u & \displaystyle{\frac{u'}{2\sqrt u}}\\ \sin(u) & u' \cdot \cos(u)\\ \cos(u) & -u'\cdot\sin(u)\\ e^u & u' \cdot e^u\\ \ln(u) & \displaystyle{\frac{u'}u}\\ \end{array}
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