Fonction dérivée/Exercice/Vitesse moyenne et vitesse instantanée

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Vitesse moyenne et vitesse instantanée
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Exercice 1
Leçon : Fonction dérivée
Chapitre du cours : Nombre dérivé

Cet exercice est de niveau 11.
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Fonction dérivée/Exercice/Vitesse moyenne et vitesse instantanée  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Exercice 1

Un dragster atteint la vitesse de 360 km/h en 10 s. En supposant l'accélération constante, on démontre que cela exerce sur le pilote une poussée horizontale sensiblement égale à son propre poids, et que la distance (en mètres) au point de départ du dragster est donnée par la fonction :

d(t) = 5 t^2\,

On se propose de calculer la vitesse du dragster après 3 secondes.

1. Quelle est la distance parcourue en 10 secondes ?

2. Représenter graphiquement d en fonction de t.

3. Donner la formule qui donne la vitesse moyenne du dragster entre les instants 3 et 3 + h.

V_m(3;3+h) =\dots

4. Calculer cette vitesse moyenne pour h donné dans le tableau ci-dessous (en m.s-1).

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} h&1&0,1&0,01&0,001&0,000\,1&0,000\,01\\ \hline V_m(3;3+h)&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots \end{array}


5. D'après le tableau, que peut-on dire de V_m\, quand h devient petit ?

6. Que représente physiquement cette quantité ?

Solution
1. Quelle est la distance parcourue en 10 secondes ?
En utilisant la formule donnée, la distante parcourue en 10 secondes est :
d \left(10 \right) = 5 \times 10^2 = 500 \;\mathrm{m}
2. Représenter graphiquement d en fonction de t ci-dessous.
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3. Donner la formule qui donne la vitesse moyenne du dragster entre les instants 3 et 3 + h
La vitesse moyenne entre deux instants est égale au rapport de la distance parcourue sur la durée. Ainsi :
\begin{align} V_m\left(3;\,3+h\right) & = \frac{d(3+h) - d(3)}{(3+h) - (3)} \\ \ & = \frac{5(3+h)^2 - 5(3)^2}{h} \\ \ & = \frac{5(9+h^2 + 6h) - 45}{h} \\ \ & = \frac{45 + 5 h^2 + 30 h - 45}{h} \\ \ & = 5 h + 30 \end{align}
4. Calculer cette vitesse moyenne pour h donné dans le tableau ci-dessous (en m.s-1).

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} h&1&0,1&0,01&0,001&0,000\,1&0,000\,01\\ \hline V_m(3;3+h)&35&30,5&30,05&30,005&30,0005&30,000\,5 \end{array}

5. D'après le tableau, que peut-on dire de V_m\, quand h devient petit ?
Lorsque h devient petit, Vm se rapproche de plus en plus de 30 m.s-1
6. Que représente physiquement cette quantité ?
On regarde la vitesse moyenne sur un intervalle de plus en plus petit autour de la valeur à t = 3 s. Lorsque h devient très petit, Vm représente donc la vitesse instantanée à t = 3 s.

[modifier] Exercice 2

Calculer  : \lim_{h\to 0} V_m =\dots

en utilisant la formule du 3.

Solution

En faisant tendre h vers 0 dans la formule V_m(3;3+h)=5 h + 30\,, on trouve :

\lim_{h \to 0}V_m =30
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