Fonction dérivée/Exercice/Dériver un polynôme

Une page de Wikiversité.

Dériver un polynôme
Nuvola apps edu mathematics-p.svg
Exercice 4
Leçon : Fonction dérivée
Chapitre du cours : Dérivées usuelles

Cet exercice est de niveau 11.
Icon falscher Titel.svg

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Dériver un polynôme
Fonction dérivée/Exercice/Dériver un polynôme  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Dérivée d'un monôme

  • f:x\mapsto x^2
    • Pour tout x\in\R,~f'(x)=\cdots
    • f'(1)=\cdots
Solution
  • Pour tout x\in\R,~f'(x)=2x\,
  • f'(1)=2\,


  • f:x\mapsto x^3
    • Pour tout x\in\R,~f'(x)=\cdots
    • f'(1)=\cdots
Solution
  • Pour tout x\in\R,~f'(x)=3x^2\,
  • f'(1)=3\,


  • f:x\mapsto x
    • Pour tout x\in\R,~f'(x)=\cdots
    • f'(2)=\cdots
Solution
  • Pour tout x\in\R,~f'(x)=1\,
  • f'(2)=1\,


  • f:x\mapsto x^4
    • Pour tout x\in\R,~f'(x)=\cdots
    • f'(3)=\cdots
Solution
  • Pour tout x\in\R,~f'(x)=4x^3\,
  • f'(3)=108\,


  • f:x\mapsto 1
    • Pour tout x\in\R,~f'(x)=\cdots
    • f'(-2)=\cdots
Solution
  • Pour tout x\in\R,~f'(x)=0\,
  • f'(-2)=0\,

[modifier] Constantes multiplicatives

Propriété

Si k est un réel et u une fonction dérivable sur I,

alors la fonction k\times u\, est dérivable sur I et : (k\times u)'=k\times u'\,

Grâce à cette formule, les constantes multiplicatives sont "transparentes" à la dérivation.
  • f:x\mapsto 5x^2
    • Pour tout x\in\R,~f'(x)=\cdots
    • f'(3)=\cdots
Solution
  • Pour tout x\in\R,~f'(x)=5\times 2x=10x
  • f'(3)=30\,


  • f:x\mapsto -6x
    • Pour tout x\in\R,~f'(x)=\cdots
    • f'(2)=\cdots
Solution
  • Pour tout x\in\R,~f'(x)=-6\times1=-6
  • f'(2)=-6\,


  • f:x\mapsto -7x^3
    • Pour tout x\in\R,~f'(x)=\cdots
    • f'\left(\frac13\right)=\cdots
Solution
  • Pour tout x\in\R,~f'(x)=-7\times3x^2=-21x^2
  • f'\left(\frac13\right)=-\frac73

[modifier] Dérivée d'une somme

Propriété

Si les fonctions u et v sont dérivables sur I,

alors la fonction u+v\, l'est aussi et : (u+v)'=u'+v'\,

Grâce à cette formule on dérive chaque terme d'une somme séparément pour dériver une somme.
  • f:x\mapsto 2x^2-3x
    • Pour tout x\in\R,~f'(x)=\cdots
    • f'(1)=\cdots
Solution
  • Pour tout x\in\R,~f'(x)=2\times2x-3\times1=4x-3
  • f'(1)=1\,


  • f:x\mapsto 2x^2-3x+4
    • Pour tout x\in\R,~f'(x)=\cdots
    • f'(3)=\cdots
Solution
  • Pour tout x\in\R,~f'(x)=2\times2x-3\times1+0=4x-3
  • f'(3)=9\,


  • f:x\mapsto \frac13x^2-6x+3
    • Pour tout x\in\R,~f'(x)=\cdots
    • f'\left(\frac25\right)=\cdots
Solution
  • Pour tout x\in\R,~f'(x)=\frac13\times2x-6\times1+0=\frac23x-6
  • f'\left(\frac25\right)=-\frac{86}{15}


  • f:x\mapsto \frac{x^2}3+\frac57x-12
    • Pour tout x\in\R,~f'(x)=\cdots
    • f'(2)=\cdots
Solution
  • Pour tout x\in\R,~f'(x)=\frac13\times2x+\frac57\times1-0=\frac23x+\frac57
  • f'(2)=\frac43+\frac57=\frac{43}{21}


  • f:x\mapsto 7x^3-\frac23x^2+x-7
    • Pour tout x\in\R,~f'(x)=\cdots
    • f'(-2)=\cdots
Solution
  • Pour tout x\in\R,~f'(x)=7\times3x^2-\frac23\times2x+1+0=21x^2-\frac43x+1
  • f'(-2)=\frac{115}3


  • f:x\mapsto 7\frac{x^3}5-5x^2+x-\frac78
    • Pour tout x\in\R,~f'(x)=\cdots
    • f'(2)=\cdots
Solution
  • Pour tout x\in\R,~f'(x)=\frac75\times3x^2-5\times2x+1=\frac{21}5x^2-10x+1
  • f'(2)=-\frac{11}5

[modifier] Avec des racines carrées

  • f:x\mapsto \sqrt x
    • Pour tout x\in]0:+\infty[,~f'(x)=\cdots
    • f'(6)=\cdots
Solution
  • Pour tout x\in]0:+\infty[,~f'(x)=\frac1{2\sqrt x}
  • f'(6)=\frac1{2\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{12}


  • f:x\mapsto 5\sqrt x
    • Pour tout x\in]0:+\infty[,~f'(x)=\cdots
    • f'(3)=\cdots
Solution
  • Pour tout x\in]0:+\infty[,~f'(x)=\frac5{2\sqrt x}
  • f'(3)=\frac{5\sqrt3}6
  • f:x\mapsto \frac32\sqrt x+2x-2
    • Pour tout x\in]0:+\infty[,~f'(x)=\cdots
    • f'(4)=\cdots
Solution
  • Pour tout x\in]0:+\infty[,~f'(x)=\frac32\frac1{2\sqrt x}+2=\frac3{4\sqrt x}+2
  • f'(4)=\frac{19}8
Récupérée de « http://fr.wikiversity.org/wiki/Fonction_d%C3%A9riv%C3%A9e/Exercice/D%C3%A9river_un_polyn%C3%B4me »