Fonction dérivée/Exercice/Dériver des fractions rationnelles

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Dériver des fractions rationnelles
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Exercice 5
Leçon : Fonction dérivée
Chapitre du cours : Dérivée d'un quotient

Cet exercice est de niveau 11.
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Fonction dérivée/Exercice/Dériver des fractions rationnelles  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire



Théorème

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et si pour tout x de I, ~v(x) \neq 0\, alors la fonction ƒ définie sur I par :

pour tout x\in I,~f(x) =\frac{u(x)}{v(x)}

est dérivable sur I et sa fonction dérivée vaut :

pour tout x\in I,~f'(x)=\frac{u'(x) v(x)-u(x) v'(x)}{v(x)^2}

Les fonctions suivantes sont des quotients de polynômes qu'on appelle fonctions (ou fractions) rationnelles. Nous allons les dériver en utilisant le théorème ci-dessus.


[modifier] Exercice 1 : Inverses

  • f:x\mapsto \frac{1}{x^2}
ƒ est définie et dérivable sur I=\cdots
Pour tout x\in I,~u(x) = \cdots
Nature de la fonction u : \cdots
Pour tout x\in I,~u'(x) =\cdots
Nature de la fonction u' : \cdots
Pour tout x\in I,~f '(x)=\cdots
Solution
ƒ est définie et dérivable sur I=\R\backslash\{0\}
Pour tout x\in I,~u(x) = x^2
Nature de la fonction u : Fonction polynomiale
Pour tout x\in I,~u'(x) =2x
Nature de la fonction u' : Fonction affine
Pour tout x\in I
\begin{align}f '(x)&=-\frac{u'(x)}{u(x)^2}\\ &=-\frac{2x}{(x^2)^2}\\ &=-\frac2{x^3}\\ \end{align}


  • f:x\mapsto \frac{1}{x^3}
ƒ est définie et dérivable sur I=\cdots
Pour tout x\in I,~u(x) = \cdots
Nature de la fonction u : \cdots
Pour tout x\in I,~u'(x) =\cdots
Nature de la fonction u' : \cdots
Pour tout x\in I,~f '(x)=\cdots
Solution
ƒ est définie et dérivable sur I=\R\backslash\{0\}
Pour tout x\in I,~u(x) = x^3
Nature de la fonction u : Fonction polynomiale
Pour tout x\in I,~u'(x) =3x^2
Nature de la fonction u' : Fonction polynomiale
Pour tout x\in I
\begin{align}f '(x)&=-\frac{u'(x)}{u(x)^2}\\ &=-\frac{3x^2}{(x^3)^2}\\ &=-\frac3{x^4}\\ \end{align}


Déduire une règle générale de dérivation de la fonction f:x\mapsto\frac{1}{x^n} pour n\in\mathbb N^* à la lumière des exemples précédents.

Solution

On conjecture que la dérivée de f:x\mapsto\frac1{x^n} est f':x\mapsto-\frac{n}{x^{n+1}}

Cette formule est une généralisation à n\in\mathbb Z^* de la formule de dérivation de x\mapsto x^n, qui vaut x\mapsto n\cdot x^{n-1}, connue pour n\in\mathbb N^*.

En effet, pour tout x\in\R^*,~\frac1{x^n}=x^{-n} et la dérivée de x\mapsto x^{-n} est bien x\mapsto (-n)\cdot x^{-n-1}=\frac{-n}{x^{n+1}}

[modifier] Exercice 2 : Fraction rationnelle

  • f:x\mapsto \frac{-2x + 1}{x + 3}
ƒ est définie et dérivable sur I=\cdots
Pour tout x\in I,~u(x) = \cdots
Nature de la fonction u : \cdots
Pour tout x\in I,~v(x) = \cdots
Nature de la fonction v : \cdots
Pour tout x\in I,~u'(x) =\cdots
Nature de la fonction u' : \cdots
Pour tout x\in I,~v'(x) =\cdots
Nature de la fonction v' : \cdots
Pour tout x\in I,~f '(x)=\cdots
Solution
  • f:x\mapsto \frac{-2x + 1}{x + 3}
ƒ est définie et dérivable sur I=\R\backslash\{-3\}
Pour tout x\in I,~u(x) = -2x+1
Nature de la fonction u : Fonction affine
Pour tout x\in I,~v(x) = x+3
Nature de la fonction v : Fonction affine
Pour tout x\in I,~u'(x) =-2
Nature de la fonction u' : Constante
Pour tout x\in I,~v'(x) =1
Nature de la fonction v' : Constante
Pour tout x\in I
\begin{align}f '(x)&=\frac{u'(x) v(x)-u(x) v'(x)}{v(x)^2}\\ &=\frac{-2(x+3)-(-2x+1)\times 1}{(x+3)^2}\\ &=\frac{-2x-6+2x-1}{(x+3)^2}\\ &=\frac{-7}{(x+3)^2}\\ \end{align}


Remarque

Lorsque numérateur et dénominateur sont affines, la fonction rationnelle est dite homographique, et les x se simplifient toujours au numérateur quand on dérive.

[modifier] Exercice 3 : Fraction rationnelle

  • f:x\mapsto \frac{x}{x^2 + 1}
ƒ est définie et dérivable sur I=\cdots
Pour tout x\in I,~u(x) = \cdots
Nature de la fonction u : \cdots
Pour tout x\in I,~v(x) = \cdots
Nature de la fonction v : \cdots
Pour tout x\in I,~u'(x) =\cdots
Nature de la fonction u' : \cdots
Pour tout x\in I,~v'(x) =\cdots
Nature de la fonction v' : \cdots
Pour tout x\in I,~f '(x)=\cdots
Solution
ƒ est définie et dérivable sur I=\R
Pour tout x\in I,~u(x) = x
Nature de la fonction u : Fonction affine
Pour tout x\in I,~v(x) = x^2+1
Nature de la fonction v : Fonction polynomiale
Pour tout x\in I,~u'(x) =1
Nature de la fonction u' : Constante
Pour tout x\in I,~v'(x) =2x
Nature de la fonction v' : Fonction affine
Pour tout x\in I
\begin{align}f '(x)&=\frac{u'(x) v(x)-u(x) v'(x)}{v(x)^2}\\ &=\frac{1\times(x^2+1)-x\times 2x}{(x^2+1)^2}\\ &=\frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}\\ \end{align}

[modifier] Exercice 4 : Fraction rationnelle

  • f:x\mapsto \frac{x^2-3x}{-2x + 1}
ƒ est définie et dérivable sur I=\cdots
Pour tout x\in I,~u(x) = \cdots
Nature de la fonction u : \cdots
Pour tout x\in I,~v(x) = \cdots
Nature de la fonction v : \cdots
Pour tout x\in I,~u'(x) =\cdots
Nature de la fonction u' : \cdots
Pour tout x\in I,~v'(x) =\cdots
Nature de la fonction v' : \cdots
Pour tout x\in I,~f '(x)=\cdots
Solution
ƒ est définie et dérivable sur I=\R\backslash\left\{\frac12\right\}
Pour tout x\in I,~u(x) = x^2-3x
Nature de la fonction u : Fonction polynomiale
Pour tout x\in I,~v(x) = -2x+1
Nature de la fonction v : Fonction affine
Pour tout x\in I,~u'(x) =2x-3
Nature de la fonction u' : Fonction affine
Pour tout x\in I,~v'(x) =-2
Nature de la fonction v' : Constante
Pour tout x\in I
\begin{align}f '(x)&=\frac{u'(x) v(x)-u(x) v'(x)}{v(x)^2}\\ &=\frac{(2x-3)\times(-2x+1)-(x^2-3x)\times (-2)}{(-2x+1)^2}\\ &=\frac{-2x^2+4x+3}{(-2x+1)^2}\\ \end{align}
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