Fonction dérivée/Exercice/Dérivée et variations

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Sommaire 1 Dalle rectangulaire 2 Résistance de l'air 3 Volume d'une boîte 3.1 C'est les combles

[modifier] Dalle rectangulaire

Une dalle rectangulaire en béton a un périmètre de 24 mètres.

Soit x la longueur en mètres de l'un de ses côtés.

1. Exprimer en fonction de x la longueur y de l'autre côté.

2. Exprimer en fonction de x l'aire S(x) de la dalle.

3. Sur quel intervalle I peut-on définir la fonction S ?

4. Calculer .

5. En déduire la valeur de x pour laquelle l'aire de la dalle est maximale.

6. Calculer cette aire.

[modifier] Résistance de l'air

Lorsqu'un véhicule roule, la résistance R de l'aire qui s'oppose à son déplacement est donnée par la formule :

où C_x est le coefficient de "pénétration dans l'air" qui dépend de la forme du véhicule.

S est le maître-couple, c'est-à-dire l'aire de la plus grande section transversale du véhicule.

1. Pour C_x = 0,34 et S = 1,50m², étudier les variations de la fonction R(V) pour V variant entre 0 et 36 m/s.

2. Déterminer V pour R = 300N.

3. Illustrer graphiquement ces résultats.

[modifier] Volume d'une boîte

On étudie les variations du volume V d'une boîte à base carrée dont le coté dépend de x.

Soit une feuille carrée A'B'C'D' de côté 24 cm.

Dans chaque angle, on découpe un carré de côté x.

On obtient un carré ABCD.

1. Ensemble de définition de la fonction volume.

a. Déterminer en fonction de x la mesure du côté du carré ABCD.

b. Dans quel intervalle x varie-t-il ?

c. Dans quelle situation est-on aux bornes de cet intervalle ?

2. Calcul du volume en fonction de x.

a. Calculer l'aire A(x) du carré ABCD.

b. Calculer le volume V(x) de la boîte (sans couvercle) obtenue par pliage des cotés de ce carré.

3. Étude du signe de et variations de V.

a. Calculer

b. Étudier le signe de V'(x) sur [0;12].

x
V'(x)
V

4. Déterminer pour quelle valeur de x le volume de la boîte est maximal, et calculer alors ce volume :

[modifier] C'est les combles

On désire aménager les combles sous un toit en construisant une pièce d'habitation.

Le toit est représenté par un triangle isocèle ABC, de sommet C avec :

OC=5, OA=OB=6 (en mètres) où O est le milieu de [AB].

La pièce est représenté en coupe par le rectangle FDEG. On note x la longueur AF.

1. Dans quel intervalle x varie-t-il ?

2. Exprimer l'aire de FDEG en fonction de x.

3. Calculer .

4. Dresser en le justifiant le tableau de signe de .

5. En déduire le tableau de variations de f.

6. En déduire les dimensions du rectangle FDEG ayant l'aire maximale, et cette aire.