Fonction dérivée/Exercice/Dérivée d'une fonction composée

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**Dérivée d'une fonction composée**
Leçon : Fonction dérivée

Exercice 7
Chapitre du cours :	Dérivée d'une fonction composée
Cet exercice est de niveau 12.

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Fonction dérivée/Exercice/Dérivée d'une fonction composée », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Exercice 1

Dans chacun des cas suivants, dériver ƒ en utilisant une formule de dérivation spécifique, que l'on précisera.

On ne se préoccupera pas de l'intervalle de dérivation.

Le résultat sera donné sous forme factorisée autant que possible.

$f_1:x\mapsto \left(\frac{3x-1}{5x+3}\right)^3$
$f_2:x\mapsto \cos\left(\frac{2}{x}\right)$
$f_3:x\mapsto \tan^4(x)$
$f_4:x\mapsto x^{1/x}$

Solution

1. $f_1:x\mapsto \left(\frac{3x-1}{5x+3}\right)^3$

On pose $u:x\mapsto\frac{3x-1}{5x+3}$ et $v:x\mapsto x^3$

On a $f_1=v\circ u$ .

Pour tout $x,~u'(x)=\frac{3(5x+3)-5(3x-1)}{(5x+3)^2}=\frac{14}{(5x+3)^2}$

Pour tout $x,~v'(x)=3x^2$

On applique alors la formule de dérivation. Pour tout x :

$\begin{align} f_1'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\ &=\frac{14}{(5x+3)^2}\times 3\left(\frac{3x-1}{5x+3}\right)^2\\ &=\frac{42(3x-1)^2}{(5x+3)^4}\\ \end{align}$

2. $f_2:x\mapsto \cos\left(\frac{2}{x}\right)$

On pose $u:x\mapsto\frac{2}{x}$ et $v:x\mapsto \cos(x)$

On a $f_2=v\circ u$ .

Pour tout $x,~u'(x)=-\frac2{x^2}$

Pour tout $x,~v'(x)=-\sin(x)$

On applique alors la formule de dérivation. Pour tout x :

$\begin{align} f_2'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\ &=-\frac2{x^2}\times\left(-\sin\left(\frac{2}{x}\right)\right)\\ &=\frac2{x^2}\sin\left(\frac{2}{x}\right) \end{align}$

3. $f_3:x\mapsto \tan^4(x)$

On pose $u:x\mapsto\tan(x)$ et $v:x\mapsto x^4$

On a $f_3=v\circ u$ .

Pour tout $x,~u'(x)=\frac1{\cos^2(x)}$

Pour tout $x,~v'(x)=4x^3$

On applique alors la formule de dérivation. Pour tout x :

$\begin{align} f_3'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\ &=\frac1{\cos^2(x)}\times 4\tan^3(x)\\ &=\frac{4\sin^3(x)}{\cos^5(x)}\\ \end{align}$

4. $f_4:x\mapsto x^{1/x}$

On commence par changer l'écriture : pour tout $x,~f_4(x)=\exp\left(\frac{\ln(x)}x\right)$

On pose $u:x\mapsto\frac{\ln(x)}x$ et $v:x\mapsto e^x$

On a $f_4=v\circ u$ .

Pour tout $x,~u'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^2}$

Pour tout $x,~v'(x)=e^x$

On applique alors la formule de dérivation. Pour tout x :

$\begin{align} f_4'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\ &=\frac{1-\ln(x)}{x^2}\exp\left(\frac{\ln(x)}x\right)\\ &=\frac{1-\ln(x)}{x^2}x^{1/x}\\ \end{align}$

[modifier] Exercice 2

Dans chacun des cas suivants, dériver ƒ en utilisant une formule de dérivation spécifique, que l'on précisera.

On ne se préoccupera pas de l'intervalle de dérivation.

Le résultat sera donné sous forme factorisée autant que possible.

$f_1:x\mapsto \left(\frac{3x+1}{5x-3}\right)^3$
$f_2:x\mapsto \sin\left(\frac{2}{x}\right)$
$f_3:x\mapsto \tan^3(x)$
$f_4:x\mapsto e^{-1/x}$

Solution

1. $f_1:x\mapsto \left(\frac{3x+1}{5x-3}\right)^3$

On pose $u:x\mapsto\frac{3x+1}{5x-3}$ et $v:x\mapsto x^3$

On a $f_1=v\circ u$ .

Pour tout $x,~u'(x)=\frac{3(5x-3)-5(3x+1)}{(5x+3)^2}=-\frac{14}{(5x+3)^2}$

Pour tout $x,~v'(x)=3x^2$

On applique alors la formule de dérivation. Pour tout x :

$\begin{align} f_1'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\ &=-\frac{14}{(5x+3)^2}\times 3\left(\frac{3x+1}{5x-3}\right)^2\\ &=-\frac{42(3x+1)^2}{(5x-3)^4}\\ \end{align}$

2. $f_2:x\mapsto \sin\left(\frac{2}{x}\right)$

On pose $u:x\mapsto\frac{2}{x}$ et $v:x\mapsto \sin(x)$

On a $f_2=v\circ u$ .

Pour tout $x,~u'(x)=-\frac2{x^2}$

Pour tout $x,~v'(x)=\cos(x)$

On applique alors la formule de dérivation. Pour tout x :

$\begin{align} f_2'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\ &=-\frac2{x^2}\times\cos\left(\frac{2}{x}\right)\\ &=-\frac2{x^2}\cos\left(\frac{2}{x}\right) \end{align}$

3. $f_3:x\mapsto \tan^3(x)$

On pose $u:x\mapsto\tan(x)$ et $v:x\mapsto x^3$

On a $f_3=v\circ u$ .

Pour tout $x,~u'(x)=\frac1{\cos^2(x)}$

Pour tout $x,~v'(x)=3x^2$

On applique alors la formule de dérivation. Pour tout x :

$\begin{align} f_3'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\ &=\frac1{\cos^2(x)}\times 3\tan^2(x)\\ &=\frac{3\sin^2(x)}{\cos^4(x)}\\ \end{align}$

4. $f_4:x\mapsto e^{-1/x}$

On pose $u:x\mapsto-\frac{1}{x}$ et $v:x\mapsto e^x$

On a $f_4=v\circ u$ .

Pour tout $x,~u'(x)=\frac1{x^2}$

Pour tout $x,~v'(x)=e^x$

On applique alors la formule de dérivation. Pour tout x :

$\begin{align} f_4'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\ &=\frac1{x^2} e^{-1/x} \end{align}$

Fonction dérivée

Fonction dérivée/Exercice/Dérivée d'une fonction composée

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