Fonction dérivée/Exercice/Cordes et tangentes

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**Cordes et tangentes**
Leçon : Fonction dérivée

Exercice 2
Chapitre du cours :	Nombre dérivé
Cet exercice est de niveau 11.

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Cordes et tangentes
Fonction dérivée/Exercice/Cordes et tangentes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

La fonction f est définie par :

$f(x)=0,25x^3-0,75x^2+0,5x+1 \,$

1. Tracer les cordes (BA), (CA), (DA), (EA) et (FA)

2. Calculer le coefficient directeur de (BA)

$a=\frac{.............}{.............}=.....................$

3. Compléter par le même calcul qu’en 2) le tableau ci-dessous :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} {\rm Corde}&({\rm BA})&({\rm CA})&({\rm DA})&({\rm EA})&({\rm FA})\\ \hline {\rm Coeff~dir}&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots \end{array}$

4. Soit le point $M(2+h ; f(2+h))\,$ . Compléter le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} h&0,1&0,01&0,001&0,000\,1&0,000\,01\\ \hline x_M&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ \hline y_M&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ \hline {\rm Coeff~dir~de~({\rm AM})}&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ \end{array}$

5. Quand h tend vers 0 :

la corde (AM) s’approche de la tangente à la courbe au point A.
Son coefficient directeur tend vers .................

Donc la tangente au point A a pour coefficient directeur ..................

Donc le nombre dérivé de f en 2 vaut ......

Solution

1. Tracer les cordes (BA), (CA), (DA), (EA) et (FA)

2. Calculer le coefficient directeur de (BA)

$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{f(1)-f(2)}{1-2}=0$

3. Compléter le tableau

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} {\rm Corde}&({\rm BA})&({\rm CA})&({\rm DA})&({\rm EA})&({\rm FA})\\ \hline {\rm Coeff~dir}&0&0,14&0,36&0,66&0,84 \end{array}$

4. Soit le point $M(2+h ; f(2+h))\,$ . Compléter le tableau

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} h&0,1&0,01&0,001&0,000\,1&0,000\,01\\ \hline x_M&2,1&2,01&2,001&2,000\,1&2,000\,01\\ \hline y_M&1,057\,75&1,005\,07&1,000\,50&1,000\,05&1,000\,01\\ \hline {\rm Coeff~dir~de~({\rm AM})}& 0,577\,5 & 0,507\,5 & 0,500\,75&0,500\,07&0,500\,01\\ \end{array}$

5. Quand h tend vers 0

la corde $(AM)$ s’approche de la tangente à la courbe au point A.
Son coefficient directeur tend vers $\frac12$

Donc la tangente au point A a pour coefficient directeur $\frac12$

Donc le nombre dérivé de f en 2 vaut $\frac12$

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