Fonction dérivée/Exercice/Approximation affine locale

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**Approximation affine locale**
Leçon : Fonction dérivée

Exercice 7
Chapitre du cours :	Équation d'une tangente
Cet exercice est de niveau 11.

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Fonction dérivée/Exercice/Approximation affine locale », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Une approximation affine locale : cas économique

La production d'une quantité x d'une marchandise coûte :

$C(x) = \frac{x^3}{4}-3x^2+63\frac{x}{4}+10$

avec $x \in [2 ; 6]$ .

Un chef d'entreprise utilise l'astuce suivante pour simplifier son calcul :

« Je multiplie la quantité par 15, je la divise par 4 et j'ajoute 26 pour obtenir le coût. »

On veut démontrer que son erreur ne dépasse pas 7 %.

1. Transformons la recette en formule mathématique :

pour tout $x\in[2;6],~C_{app}(x)=\cdots$

2. Tracer le graphe des fonctions C et C_app. Que remarque-t-on ?

3. Déterminons une approximation affine de $C(x)\,$ autour de x = 4,

en assimilant la courbe de C à sa tangente au point d'abscisse x = 4

a. Calculer :

pour tout $x\in[2;6],~C'(x) =\cdots$

b. Calculer :

$C'(4) = \cdots$

$C(4) = \cdots$

En déduire l'équation de la tangente en

x = 4

Pour tout $x\in[2;6],~C_{app}(x) =\cdots$

4. Soit la fonction "erreur" définie par :

pour tout $x\in[2;6],~e(x)= C(x)-C_{app}(x)$ .

Calculer :

pour tout $x\in[2;6],~e(x)=\cdots$

pour tout $x\in\cdots,~e'(x) = \cdots$

x
Signe de e'(x)
Variations de e

5. Calculer $C(2)\,$ et $C(6)\,$ et conclure quant au problème de départ :

Solution

1. Pour tout $x\in[2;6],~C_{app}(x)=\frac{15}4x+26$

2. Les graphes des fonctions sont :

On remarque qu'aux alentours du point d'abscisse x = 4, les deux courbes sont très proches. En s'éloignant de ce point, l'écart augmente.

3.a. Pour tout $x\in[2;6],~C'(x)=\frac34x^2-6x+\frac{63}4$

3.b. On a :

$C(4)=41\,$

$C'(4)=\frac{15}4$

d'où l'équation de la tangente à la courbe de C au point d'abscisse 4 :

Pour tout $x\in[2;6],~C_{app}(x)=C'(4)(x-4)+C(4)=\frac{15}4x+26$

4. On aboutit aux expressions suivantes

Pour tout $x\in[2;6],~e(x)=\frac{x^3}4-3x^2+12x-16$

La fonction e est dérivable sur $[2;6]\,$ et, pour tout $x\in[2;6],~e'(x) =\frac34 x^2-6x+12$

On cherche alors à étudier le signe de e'. Pour cela, écrivons que pour tout $x\in[2;6]$ :

$\begin{align} e'(x)&=\frac34 x^2-6x+12\\ &=\frac34\left(x^2-8x+16\right)\\ &=\frac34(x-4)^2 \end{align}$

On aboutit au tableau de signes suivant :

$\begin{array}{c|ccccc|} x&2&&4&&6\\ \hline \textrm{Signe~de}~e'(x)&&+&0&+&\\ \hline &&&&&2\\ &&&&\nearrow&\\ \textrm{Variations~de}~e&&&0&&\\ &&\nearrow&&&\\ &-2&&&&\\ \hline \end{array}$